第6讲-高斯光束的传输变换

5.1均匀介质中的高斯光束高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面波，在传播过程中曲率中心不断改变，其振幅在横截面内为一高斯分布，强度集中在轴线及其附近，且等相位面保持球面。前面推导均匀介质中的基模高斯光束解时曾假设振幅横向分布与方位角无关，如果考虑方位角的变化，则算符可以表示为：此时波动方程的特解为：代入波动方程，分离变量后解得：5.2均匀介质中的高阶高斯光束其解为厄米多项式

仍为基本高斯光束解，所以总的解为其中的m、n为x、y方向上的零点数，此时高阶高斯光束分布为厄米-高斯光束，表示为TEMmn模式。5.2均匀介质中的高阶高斯光束5.2均匀介质中的高阶高斯光束几种高阶高斯光束的光强分布图TEM0TEM1TEM2厄米Hm(x)Hm(x)FI∝H2m(x)F25.2均匀介质中的高阶高斯光束5.3类透镜介质中的高斯光束类透镜介质中k2≠0，此时的简化波动方程为：

其解仍可以采用与均匀介质中相类似的处理方式得到，最终可以求出：5.3类透镜介质中的高斯光束前面得到了类透镜介质中高斯光束参数q(z)的复数表达形式：q0是由边界条件求出的光束初始条件，将上式同前面得到的光线矩阵比较：主题高斯光束的传输与变换（q参数变换规律）高斯光束的特征参数1、由(1)、(2)式可知，只要确定了束腰的位置和半径ω0，就可以确定任何位置的光束半径和等相位面半径等参数；6.1高斯光束的表述:束腰的位置和半径ω0高斯光束的特征参数2、当确定了某一确定位置z处的ω(z)和R(z)后，也可以通过(1)、(2)式求出束腰位置及大小；6.1高斯光束的表述:

ω(z)和R(z)3、用q参数表示由q参数的定义：可知q参数将R(z)和ω(z)联系在一起了，可以求得：令q0=q(0)，则：通过这些公式，我们可以用高斯光束的q参数来描述高斯光束。以上三组参数都可以用来确定高斯光束的具体结构，需要根据实际问题来灵活选择使用哪种参数。6.1高斯光束的表述:

q(z)q参数的单位？核心6.2高斯光束的传输与q参数

普通球面波波前曲率半径的传播规律

普通球面波在自由空间的传播6.2高斯光束的传输与q参数

普通球面波波前曲率半径的传播规律

当球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前曲率半径满足：该式描述球面波曲率半径R在通过光学系统时的变换规律，称为ABCD定律。高斯光束在近轴部分可以看作一系列非均匀、曲率中心不断改变的球面波，也具有类似于普通球面波的曲率半径R的参数，即q参数：整理可得：其中6.2高斯光束的传输与q参数

高斯光束在自由空间的传输

通过整理q的表达式可以得到：可以得到通过长度为L的均匀介质后的q参数如下，其中q2=q(z2)，q1=q1(z1)分别为z1和z2面处的q参数6.2高斯光束的传输与q参数

高斯光束在自由空间的传输

由薄透镜性质可知，在紧靠薄透镜的M1和M2两个面上的光斑大小和强度分布是一样的，即：经过薄透镜变换后在像方继续传输的光束仍为高斯光束。

薄透镜：强度分布不变

球面波前曲率半径的变换：R2为等相位面曲率半径，由球面波球率半径的变换公式可得：6.2高斯光束的传输与q参数

高斯光束透过薄透镜

6.2高斯光束的传输与q参数

高斯光束透过薄透镜

前面得到了类透镜介质中高斯光束参数q(z)的复数表达形式：q0是由边界条件求出的光束初始条件，将上式同前面得到的光线矩阵比较：6.2高斯光束的传输与q参数

高斯光束透过类透镜介质

问题：q到底是什么？？q----表示高斯光束的复数曲率半径。q=实数（幅值）+虚数（相位）。q----非均匀波。因为是高斯分布。R---均匀球面波。曲率半径。实数。q----表达式---将等相位面曲率R和束腰w联系。特点。q主要用于表达。R、z、w主要用于计算。球面波和高斯光束的比较（1）--直线传播球面波和高斯比较（2）--透镜--ABCD通过将上面推出的公式同球面波的传播特性公式相比较，可以看到无论是在对自由空间的传播或对通过光学系统的变换，高斯光束的q参数都起着和普通球面波的曲率半径R相同的作用，因此有时将q参数称作高斯光束的复曲率半径；高斯光束通过光学元件时q参数的变换规律可以类似的用光线矩阵表示出来：由前面的讨论我们知道可以用q参数描述一个高斯光束的具体特征，而且可以通过q参数和ABCD法则很方便的描述一个高斯光束在通过光学元件时的传输规律，因此我们将主要采用q参数来分析薄透镜高斯光束传输问题。经过两个光学元件的高斯光束设两个光学元件的光线矩阵为入射高斯光束参数为q1，经过第一个光学元件后有：经过第二个光学元件后：其中：其规律同光线传输规律相同，可以推广到任意个光学元件的传输情况。6.2高斯光束的传输与q参数

高斯光束透过两个光学元件6.3高斯光束在透镜波导中的传播光线通过双周期透镜波导单元的光线矩阵为（ABCD），那么经过S个周期后，联系S＋1面和第1面的光线矩阵是：其中：用数学归纳法可以证明6.3高斯光束在透镜波导中的传播高斯光束通过透镜波导的稳定性条件由光束参数变换法则：要使得上式中qs+1为有限值，即光束约束在透镜波导内传播，就要求

θ为实数，即

，由此可得到光束稳定性条件：如果θ为虚数，不妨设θ=ia，则会随着S的增加而增加，qs+1没有确定值，不稳定。高斯光束的传播