注重数学思想,研究正弦型曲线y=Asin(wx+Φ)

精品文档-下载后可编辑注重数学思想,研究正弦型曲线y=Asin(wx+Φ)【摘要】三角函数中含有丰富的数学思想方法，认真挖掘与提炼其数学思想，对培养学习能力，优化思维品质有着重要意义。

【关键词】数学思想正弦型

三角函数是中职数学的重要内容之一，在其他学科应用普遍，特别是正弦型曲线不论是在电工专业基础课的电工学中，还是在机械运动中都有广泛的应用，并且是其他学科的基本工具，物理学和运动学都离不开它，正弦型曲线部分也就成了高考命题的重要内容之一，那么如何学好正弦型曲线呢？我就这个问题进行研究，积累了一些做法。一是要熟悉三角函数的性质（单调性，奇偶性，周期性）和公式，切实夯实基础；二是灵活运用三角函数的图象和性质；三是注意挖掘正弦型曲线中丰富的数学思想方法，这对掌握知识，培养能力，优化思维品质有着重要意义。

1数型结合思想

类型一：由y=Asin（wx+Ф）的图象求函数式。这类由图象求函数式的问题中，如果对所求的函数式中的A，w，Ф不加限制（Aw正负，Ф的范围等），那么所求函数式应有无数多个不同的形式，这是因为所求的函数是周期函数，那解这样的问题就要数形结合，通过“五点法”的逆用，寻找“五点”中的第一零点（-Ф/w，0）或已知点作为突破口。

例1：下列函数中，图象的一部分如图是（）。

（A）y=sin（x+π/6）

（B）y=sin（2x-π/6）

（C）y=cos（4x-π/3）

（D）y=cos（2x-π/6）

解：从图象看出，T/4=π/12+π/6=π/4，所以函数的最小周期为π，函数应为y=sin2x向左平移了π/6个单位，即y=sin2（x+π/6）=sin（2x+π/3）=cos（-π/2+2x+π/3）=cos（2x-π/6），所以选D。

例2：y=2sin（wx+Ф），｜Ф｜＜π的图象过点A（7π/9，0），且图象关于点B（5π/18，0），且A、B是图象在x轴上相邻的两点，则Ф的一个值为：A.2π/9B.4π/9C.-2π/9D.-4π/9

分析：如图T/2=7π/9-5π/18=9π/18=π/2，w=2π/T=2π/π=2，分类：若B为起点，即wx+Ф=0，代入B（5π/18，0）得2×5π/18+Ф=0，Ф=-5π/9，若B为第三点，即wx+Ф=π代入B（5π/18，0）得2×5π/18+Ф=π，Ф=4π/9。

2类比对比思想

类型二：求三角函数的最值。

例3：已知：y=2sin（x+π/4）的图象x∈R，①当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。②该函数的图象由y=sinx的图象经过怎样的平移和伸展变换得到？

解：①对比函数y=sinx的性质，当y=1时，x=π/2+2kπ，k∈z，所以由y=sin（x+π/4）取得最大值必须且只需x+π/4=π/2+2kπ，k∈z即x=π/4+2kπ，k∈z，所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x｜x=π/4+2kπ，k∈z｝。

②变换的步骤是：把函数y=sinx的图象向左平移π/4个单位，得到y=sin（x+π/4）的图象，再把y=sin（x+π/4）的图象各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到y=2sin（x+π/4）的图象。

3转化思想

类型三：图象的转化。由y=sinx的图象变换出y=sin（wx+Ф）（w＞0）的图象可以有两条途径：①先将y=sinx向左（Ф＞0）或向右（Ф＜0）平移｜Ф｜个单位，再将图象的横坐标变为原来的1/w倍（w＞0），便得y=Asin（wx+Ф）；②也可以先将y=sinx的横坐标变为原来的1/w倍（w＞0），再将图象向左（Ф＞0）或向右（Ф＜0）平移｜Ф｜/w个单位，便得出y=sin（wx+Ф）的图象。

例4：将函数y=sinx图象向左平移π/3个单位，先将图象的横坐标变为原来的2倍，那么与最后图象对应的函数解析式为（）。

（A）y=sin（x/2-π/3）（B）y=sin（x/2+π/6）

（C）y=sin（x/2+π/3）（D）y=sin（2x+π/3）

解：这是第一途径，应选C。

4正难则反思想

类型四：逆向思维图象的转化。

例5：把函数y=3sin（Ax+Ф）（w＞0且｜Ф｜＜π）的图象向左平移π/6个单位，再将图象所有的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的解析式为y=3sinx，则（）。

（A）w=2Ф=π/6（B）w=2Ф=-π/3

（C）w=1/2Ф=π/6（D）w=1/2Ф=π/2

分析：直接思考，不易求解，这时就逆向思考，运用相位变化与周期变化的基本规律，把y=3sinx的图象所有点的横（下转第6页）

（上接第11页）

坐标缩短到原来的1/2（纵坐标不变），再将图象向右平移π/6个单位，所得图象的解析式为y=3sin2（x-π/6）=3sin（2x-π/3），再与y=3sin（wx+Ф）（w＞0且｜Ф｜＜π），易知选B。

5对称思想

类型五：有关对称轴条件的使用。正弦型曲线对称轴为y取最大值1和最小值-1对应的x=π/2+kπ，k∈z。

例6：函数y=sin（2x+Ф）图象的一条对称轴方程是x=π/8，其Ф∈（0，π），则Ф=（）。

解：代入对称轴坐标：2×π/8+Ф=π/2+kπ，Ф=π/4+kπФ∈（0，π），Ф=π/4。

根