拉普拉斯变换公式总结

拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及(1)定义B2jjB2jjB(5)s域平移(2)定义域0t)w00_00数f(t)的性质有关。(1)线性性1122121221122(2)原函数微分dt_式中f(r)(0)是r阶导数drf(t)在0时刻的取值。_dtr_(3)原函数积分若G[f(t)]=F(s)，则G[jtf(t)dt]=F(s)+f(_1)(0)_式中f(_1)(0)=j0f(t)dt_wss__w(4)延时性0(6)尺度变换aa(7)初值定理limf(t)f(0)limsF(s)toslimftlimsF(s)ts(9)卷积定理若[f(t)]F(s)，[f(t)]F(s)，则有[f(t)f(t)]F(s)F(s)221212FsjFpFspdp(1)部分分式展开法t(2)留数法点点iiiiiis=pii=1若p为k阶级点，则r=1[dk1(sp)kF(s)est]ii(k1)!dsk1is=pi4.系统函数(网络函数)H(s)(1)定义wws=jw(2)零极点分布图z为H(s)的零z为H(s)的零D(s)(sp)(sp)(sp)12m12n2n。(3)全通函数(4)最小相移函数(5)系统函数H(s)的求解方法(1)稳定系统的时域判决条件j+h(t)dtM(充要条件)①0s决条件数下列函数的拉氏变换f(t)=tu(t1)拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书以F(s)表示f(t)单边拉氏变换,以F(s)表示f(t)双边拉氏变换。若文字中未作说明,则指单边拉氏变换。单边拉氏变换只研B值定理等方面。本例只讨论时移定理。请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应求三角脉冲函数f(t)如图4-2(a)所示的象函数f(t)1和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，往往要借助基本信号的拉氏变换和拉氏变换的性方法一：按定义式求解求解求解s2s数的象函数容易求得，或者信号经过几次微分后将f(t)微分两次，所得波形如图4-2(b)所示。b看出113f(t)可看作是图4-2(c)所示的矩形脉冲f(t)自身的卷积1f(t)1性质而o1t1ss2s应用微分性质求图4-3(a)f中1(t),f2(t),f3(t)的象函数下面说明应用微分性质应注意f(t)f(t)f(t)f(t)23321ttttttt图4-4(b)图4-4(b)C线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的激励信号作用于系统。则y(t)=y(t)+g(t1)g(t3)电路如图4-5(a)所示(1)求系统的冲激响应。()()(2)求系统的起始状0、vC0()()2Ω1Hii(0)L-5(a)使系统对使系统对u(t)的激励时的完(1)求系统的冲激响应。利用s域模型图4-5(b)可直写出图4-5(a)电路的系统函数(2)求系统的起始状态上式中第二项只和系统起始状态有关，因此该项是零输入响应的拉氏变换。依题意的要求，该项应和H(s)相等，从而得通过本例可以看出，改变系统的起始状态可以使系统的完全响应满足某些特定要求。本质上，系统的零输入响应完全由系统的起始状态决定，对一个稳定系统而言，零输入响应是暂态响应中的一部分，因此，改变系统的起始状态只能改变系统的暂态响应，使暂态响应(3)求系统的起始状态的起始状态1.表A-1拉氏变换的基本性质1线性定齐次性理2微分定一般形式理3积分定一般形式理4延迟定理(或称t域平移定5衰减定理(或称s域平移定6终值定理77初值定理8卷积定理11234567t889变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进F(s)=B(s)=(n>m)A(s)asn+asn1+…+as+ann110nn1m1m112ini=1i(F-1)12niis)sis)si或i(F-3)1=cr1r+1nr+1n