专题24平面向量的线性运算与坐标运算-数学高频考点重点题型

专题24平面向量的线性运算与坐标运算一、核心体系平面向量的基本概念及其线性运算eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(相关概念\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(定义,表示方法,向量的模)),常用向量\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(零向量,单位向量,相等、相反向量,平行（共线）向量)),线性运算\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(向量加法,向量减法,数乘运算\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(概念,运算律,共线定理))))))基底→平面向量基本定理→平面向量的坐标表示eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(坐标运算\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(和差运算,数乘运算,两点坐标的向量坐标)),平面向量共线的坐标表示))二、关键能力了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义；理解向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理；了解向量的线性运算性质及其几何意义。了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件.三、教学建议从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查．预测2022年高考中，平面向量的线性运算与坐标运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题.四、高频考点 1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.4.平面向量的坐标运算运算坐标表示和(差)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)数乘已知a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)，其中λ是实数任一向量的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)5.平面向量共线（1）线性表示向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.（2）坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0,五、重点题型考点一、线性运算例1-1【2022年新高考1卷】在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=A．3m−2n B．−2m+3n【答案】B注：（向量的拆分）【详解】因为点D在边AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即所以CB=3CD−2故选：B．例1-2（2019·山东高考模拟）在正方形中，为的中点，若，则的值为（）A． B． C． D．1【答案】B注：（向量拆分求参）【解析】由题得,.故选：B例1-3.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上【答案】B注：（向量化简）【解析】因为2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，所以2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.训练题组一（向量的拆分）1、(2020·新高考全国卷Ⅱ)若D为△ABC的边AB的中点，则eq\o(CB,\s\up7(→))＝()A．2eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CA,\s\up7(→)) B．2eq\o(CA,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))C．2eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)) D．2eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))【答案】A【解析】∵D为△ABC的边AB的中点，∴eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))，∴eq\o(CB,\s\up7(→))＝2eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CA,\s\up7(→))，故选A.2.（2020·湖南衡阳·三模）在平行四边形中，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵∴∴.故选：D.训练题组二（向量拆分求参）1.（2019山东高考模拟）如图，在ΔABC中，AN=23NC，P是BN上一点，若AP【答案】16【解析】由题意及图，AP→=又AN→=23NC→，所以AN→=又AP→=tAB→+13AC→，所以1−m=t故答案为：16．2.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，则x的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))【答案】D【解析】设eq\o(CO,\s\up6(→))＝yeq\o(BC,\s\up6(→))，因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋y(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－yeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1＋y)eq\o(AC,\s\up6(→)).因为eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以x＝－y，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).训练题组三（向量化简）1.如图，在正六边形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝()A．0 B．eq\o(BE,\s\up7(→))C．eq\o(AD,\s\up7(→)) D．eq\o(CF,\s\up7(→))【答案】D【解析】由题图知eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(CF,\s\up7(→)).考点二、坐标运算例2-1.（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D点的坐标为___________.【答案】【解析】平行四边形中，，∴，即点坐标为，故答案为.例2-2．已知点C为扇形AOB的弧eq\x\to(AB)上任意一点，且∠AOB＝120°，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围为()A．[－2,2] B．(1，eq\r(2)]C．[1，eq\r(2)] D．[1,2]【答案】D【解析】设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，B(1,0)，C(cosθ，sinθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中∠BOC＝θ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f(2π,3)))))，有eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，即(cosθ，sinθ)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))＋μ(1,0)，整理得－eq\f(1,2)λ＋μ＝cosθ，eq\f(\r(3),2)λ＝sinθ，解得λ＝eq\f(2sinθ,\r(3))，μ＝cosθ＋eq\f(sinθ,\r(3))，则λ＋μ＝eq\f(2sinθ,\r(3))＋cosθ＋eq\f(sinθ,\r(3))＝eq\r(3)sinθ＋cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中0≤θ≤\f(2π,3)))，易知λ＋μ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))上单调递减，由单调性易得其值域为[1,2]．对点训练1.（2021·全国高一专题练习）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设，且.（1）求；（2）求满足的实数m，n；（3）求M，N的坐标及向量的坐标.【答案】（1）(6，-42)；（2）；（3）M(0，20)，N(9，2)，.【解析】（1）利用向量加、减、数乘的坐标运算即可求解.（2）利用向量加法的坐标运算以及向量相等即可求解.（3）利用向量减法的坐标运算即可求解.【详解】由已知得=(5，-5)，=(-6，-3)，=(1，8).（1）=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42).（2）∵=(-6m+n，-3m+8n)，∴，解得.（3）设O为坐标原点，∵，∴=(3，24)+(-3，-4)=(0，20).∴M(0，20).又∵，∴=(12，6)+(-3，-4)=(9，2)，∴N(9，2)，∴=(9，-18).2.如图，在同一个平面内，三个单位向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))满足条件：eq\o(OA,\s\up7(→))与eq\o(OC,\s\up7(→))的夹角为α，且tanα＝7，eq\o(OB,\s\up7(→))与eq\o(OC,\s\up7(→))的夹角为45°.若eq\o(OC,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))(m，n∈R)，求m＋n的值．【解析】以O为原点，eq\o(OA,\s\up7(→))的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，由tanα＝7知α为锐角，则sinα＝eq\f(7\r(2),10)，cosα＝eq\f(\r(2),10)，故cos(α＋45°)＝－eq\f(3,5)，sin(α＋45°)＝eq\f(4,5).∴点B，C的坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),10)，\f(7\r(2),10)))，∴eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),10)，\f(7\r(2),10))).又eq\o(OC,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),10)，\f(7\r(2),10)))＝m(1,0)＋neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－\f(3,5)n＝\f(\r(2),10)，,\f(4,5)n＝\f(7\r(2),10)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5\r(2),8)，,n＝\f(7\r(2),8).))∴m＋n＝eq\f(5\r(2),8)＋eq\f(7\r(2),8)＝eq\f(3\r(2),2).3．已知在平行四边形ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则eq\o(CO,\s\up6(→))的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5))【答案】C【解析】eq\o(CO,\s\up6(→))＝－eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)[(－2,3)＋(3,7)]＝－eq\f(1,2)(1,10)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)).考点三、共线向量例3-1.设，是平面内不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则____.【答案】注：（线性表示）【解析】求出，利用三点共线，得到，求出λ和k.【详解】由题意，，又，且A、B、D三点共线，由共线向量定理得，存在实数使得成立，即，则，解得.故答案为：.例3-2.已知三点共线，则，则______，______．【答案】3注：（坐标表示）【解析】由，可得，因为，即，可得，解得.故答案为：，.例3-3.(2022·重庆模拟)直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1－cosα)eq\o(OB,\s\up7(→))＋sinαeq\o(OC,\s\up7(→))(α是锐角)总成立，则α＝________．答案：45°解析：因为直线l上有不同的三点A，B，C，所以存在实数λ，使得eq\o(BA,\s\up7(→))＝λeq\o(BC,\s\up7(→))，所以eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝λ(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))，即eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1－λ)eq\o(OB,\s\up7(→))＋λeq\o(OC,\s\up7(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λ＝1－cosα，,λ＝sinα，))所以sinα＝cosα，因为α是锐角，所以α＝45°．对点训练1.已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，求x＋y的值．【答案】【解析】由于A，B，P三点共线，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1．2.(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________。【解析】因为2a＋b＝(4,2)，c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，解得λ＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)3.设向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)，其中O为坐标原点，a＞0，bA，B，C三点共线，则ab的最大值为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,8)D．eq\f(1,9)【答案】C【解析】因为eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a－1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－b－1,2)．因为A，B，C三点共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，即(a－1,1)＝λ(－b－1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝λ－b－1，,1＝2λ，))可得2a＋b＝1.因为a＞0，b＞0，所以1＝2a＋b≥2eq\r(2ab)，所以ab≤eq\f(1,8).当且仅当2a＝b＝eq\f(1,2)时取等号．4．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为()A．1B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)【答案】B【解析】由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又k<0，所以λ<0，故λ＝－eq\f(1,2).巩固训练一、单项选择题M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up6(→)) eq\o(OM,\s\up6(→)) eq\o(OM,\s\up6(→)) eq\o(OM,\s\up6(→))答案D解析eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OM,\s\up6(→))＝4eq\o(OM,\s\up6(→)).2.在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(－2,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－3)，则点D的坐标为()A．(6,1) B．(－6，－1)C．(0，－3) D．(0,3)答案A解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－2)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，－1)，则D(6,1)，故选A.3．已知正六边形ABCDEF中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝()A．eq\o(AF,\s\up7(→)) B．eq\o(BE,\s\up7(→))C．eq\o(CD,\s\up7(→)) D．0解析：D如图，连接AD，BE，设AD与BE交于点O，则eq\o(BO,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(EF,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))＝0．故选D．4．已知平面内一点P及△ABC，若eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，则点P与△ABC的位置关系是()A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上D．点P在△ABC外部解析：C由eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，得eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(PA,\s\up7(→))，即eq\o(PC,\s\up7(→))＝－2eq\o(PA,\s\up7(→))，故点P在线段AC上．5．已知向量a和b不共线，向量eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋mb，eq\o(BC,\s\up7(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝－3a＋3b，若A，B，C三点共线，则m＝()A．3 B．2C．1 D．－2解析：A因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得eq\o(BD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，因为eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝2a＋6b，所以2a＋6b＝λa＋mλb，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,6＝mλ，))解得m＝3．故选A．6．在△ABC中，点G满足eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.若存在点O，使得eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))，则m－n等于()A．2B．－2C．1D．－1答案D解析∵eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，可得eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴m＝－eq\f(3,2)，n＝－eq\f(1,2)，m－n＝－1，故选D.7．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3) C.3 eq\r(3)答案A解析如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，eq\r(3)m)(m≠0).eq\o(AD,\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)m)＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝eq\f(\r(3),2)m，所以eq\f(λ,μ)＝eq\f(2\r(3),3).8.已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0成立的实数x的取值集合为()A.{0} B.C.{－1} D.{0，－1}答案B解析法一若要x2eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0成立，eq\o(BC,\s\up6(→))必须与x2eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))共线，由于eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线，所以eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))的系数必须互为相反数，则x2＝－x，解得x＝0或x＝－1，而当x＝0时，eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，此时B，Cx＝－1.法二∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))，∴x2eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，即eq\o(OC,\s\up6(→))＝－x2eq\o(OA,\s\up6(→))－(x－1)eq\o(OB,\s\up6(→))，∵A，B，C三点共线，∴－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或xx＝0时，x2eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，此时B，Cx＝－1.6．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．(－1,0)答案B解析设eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OD,\s\up6(→))，则m>1，因为eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，所以meq\o(OD,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(λ,m)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(μ,m)eq\o(OB,\s\up6(→))，又知A，B，D三点共线，所以eq\f(λ,m)＋eq\f(μ,m)＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ>1，故选B.二、多项选择题9.在△ABC中，下列命题正确的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C.若(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC为等腰三角形eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＞0，则△ABC为锐角三角形答案BC解析由向量的运算法则知eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，故A错，B对；∵(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AC,\s\up6(→))2＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\o(AC,\s\up6(→))2，即AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，故C对；∵eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＞0，∴角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．故选BC.10．给出下列命题，其中假命题为()A．向量eq\o(AB,\s\up7(→))的长度与向量eq\o(BA,\s\up7(→))的长度相等B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同解析：BCD对于A，向量eq\o(AB,\s\up7(→))与向量eq\o(BA,\s\up7(→))，长度相等，方向相反，命题成立；对于B，当a＝0时，不成立；对于C，当a，b之一为零向量时，不成立；对于D，当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．11．在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是()A．eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up7(→)) B．eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up7(→))C．eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→)) D．eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(5,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))解析：AC易证△DEN∽△BAN，又OB＝OD，N是线段OD的中点，∴DE＝eq\f(1,3)AB，∴eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))，∴D说法错误；∵eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))，∴C说法正确；∵eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,4)(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))，∴A说法正确，B说法错误．故选A、C．12.已知向量e1，e2是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当eq\o(OP,\s\up6(→))＝xe1＋ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，关于下列命题正确的是()A．线段AB的中点的广义坐标为B．A，B两点间的距离为C．向量eq\o(OA,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))的充要条件是x1y2＝x2y1D．向量eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))的充要条件是x1x2＋y1y2＝0答案AC解析由中点的意义知A正确；只有在e1，e2互相垂直时，两点间的距离公式B才正确，B错误；由向量平行的充要条件得C正确；只有e1，e2互相垂直时，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))垂直的充要条件为x1x2＋y1y2＝0，D不正确；故选AC.三、填空题13．(2022·襄阳模拟)若|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2，则|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝________．答案：2eq\r(3)解析：因为|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2eq\r(3)．14.已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．答案(2，4)解析∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))．设点D的坐标为(x，y)，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝4))，故点D的坐标为(2，4)．15．在△ABC中，过中线AD中点E任作一条直线分别交边AB，AC于M，N两点，设eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，则4x＋y的最小值是________.答案eq\f(9,4)解析因为D是BC的中点，E是AD的中点，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,x)eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,y)eq\o(AN,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,4x)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(1,4y)eq\o(AN,\s\up6(→)).因为M，E，N三点共线，所以eq\f(1,4x)＋eq\f(1,4y)＝1，所以4x＋y＝(4x＋y)＝eq\f(1,4)≥eq\f(1,4)＝eq\f(9,4)．（当且仅当时取等号）16．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\f(1,|\o(BA,\s\up6(→))|)·eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,|\o(BC,\s\up6(→))|)·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3),|\o(BD,\s\up6(→))