全等三角形的判定（知识点串讲）

专题02全等三角形的判定知识网络重难突破知识点一全等三角形的概念1.全等图形：能够完全重合的两个图形称为全等图形.2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形3.对应元素：两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角.【典例1】下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等【点拨】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．【解析】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的概念．【变式训练】下列各组的两个图形属于全等图形的是（）A． B． C． D．【点拨】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．【解析】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；B、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；D、两个图形能够完全重合，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．知识点二全等三角形的判定1.三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）3.两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角边角”或“ASA”）4.两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）【典例2】（2019秋•瑞安市期中）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AE，下列条件无法确定△ABC≌△ADE的是（）A．∠C＝∠E B．BC＝DE C．AB＝AD D．∠B＝∠D【点拨】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）判断即可．【解析】解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE；A、∵∠C＝∠E，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，∴根据ASA可以推出△ABC≌△ADE，正确，故本选项错误；B、根据∠BAC＝∠DAE，AC＝DE，BC＝DE不能推出△ABC≌△ADE，错误，故本选项正确；C、∵AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∴根据SAS可以推出△ABC≌△ADE，正确，故本选项错误；D、∵∠BAC＝∠DAE，AC＝DE，∠B＝∠D，∴根据AAS可以推出△ABC≌△ADE，正确，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．【变式训练】1．（2019秋•温州期中）如图，点D，E分别在AC，AB上，BD与CE相交于点O，已知∠B＝∠C，现添加下面的哪一个条件后，仍不能判定△ABD≌△ACE的是（）A．AD＝AE B．AB＝AC C．BD＝CE D．∠ADB＝∠AEC【点拨】已知∠B＝∠C，再加上条件∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的判定定理可得添加条件必须是边相等，故可得出答案．【解析】解：已知∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAE，若添加AD＝AE，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故A选项不合题意；若添加AB＝AC，可利用ASA定理证明△ABE≌△ACD，故B选项不合题意；若添加BD＝CE，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故C选项不合题意；若添加∠ADB＝∠AEC，没有边的条件，则不能证明△ABE≌△ACD，故D选项合题意．故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．（2019秋•诸暨市校级月考）如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，添加下列条件，其中不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝DE D．∠ACB＝∠DFE【点拨】运用全等三角形的判定可求解．【解析】解：∵BF＝CE，∴BC＝EF，∵AB∥DE∴∠B＝∠E，当∠A＝∠D时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“AAS”可证△ABC≌△DEF，当AC＝DF时，不能判定△ABC≌△DEF，当AB＝DE时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“SAS”可证△ABC≌△DEF，当∠ACB＝∠DFE时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“ASA”可证△ABC≌△DEF，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．3．（2019春•西湖区校级月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等．【点拨】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．【解析】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∠B＝∠C，∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，此时，5＝8﹣3t，解得t＝1，∴BP＝CQ＝3，此时，点Q的运动速度为3÷1＝3厘米/秒；②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，此时，3t＝8﹣3t，解得t＝，∴点Q的运动速度为5÷＝厘米/秒；故答案为：3厘米/秒或厘米/秒．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．4．（2018•柯桥区模拟）如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．【点拨】先根据AB∥DE，利用两直线平行，同位角相等，可得∠ABC＝∠DEF，再结合∠A＝∠D，BC＝EF，利用AAS可证△ABC≌△DEF．【解析】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．【点睛】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证三角形全等的三个条件是解此题的关键．5．（2019秋•椒江区校级月考）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BAC＝∠D，∠B+∠AEC＝180°，BC＝CE．求证：AC＝DC．【点拨】由∠B+∠AEC＝180°，∠DEC+∠AEC＝180°，推出∠B＝∠DEC，由AAS证得△ABC≌△DEC，即可得出结论．【解析】证明：∵∠B+∠AEC＝180°，∠DEC+∠AEC＝180°，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）∴AC＝DC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．知识点三直角三角形全等的判定1.直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）2.直角三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL【典例3】1．（2018秋•湛江期末）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角对应相等 B．一条边和一个锐角对应相等 C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和一条斜边对应相等【点拨】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【解析】解：A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符合题意；B、符合判定ASA或AAS，故本选项正确，不符合题意；C、符合判定SAS，故本选项不符合题意；D、符合判定HL，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1．（2018•南浔区一模）如图，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，AC＝DF，则△ABC≌△DEF的理由是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．HL【点拨】根据直角三角形的判定定理进行选择．【解析】解：∵在Rt△ABC与Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．（2018秋•慈溪市期中）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4．直线l上有一点C在点P右侧，PC＝4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连结AF．当△AFC与△ABQ全等时，AQ＝12cm．【点拨】根据直角三角形的全等的判定解答即可．【解析】解：如图，要使△AFC与△ABQ全等，则应满足，∵AQ：AB＝3：4，AQ＝AP，PC＝4cm，设AQ＝3x，AB＝4x，则有4x﹣3x＝4，∴x＝4，∴AQ＝12（cm），故答案为：12．【点睛】此题考查直角三角形的全等问题，关键是根据SAS证明三角形的全等．巩固训练1．（2019秋•慈溪市期中）下列条件中，不一定能作出唯一的一个三角形的是（）A．已知两边的长和夹角的三角形 B．已知两个角及夹边的长的三角形 C．已知两边的长及其中一边的对角的三角形 D．已知直角边和斜边的直角三角形【点拨】根据三角形全等的判定定理，结合选项进行判定．【解析】解：A、已知两边的长和夹角的两三角形，一定全等，故本选不符合题意；B、已知两个角及夹边的三角形证明两个三角形全等，故本选项不符合题意；C、已知两边的长及其中一边的对角的三角形，因为角的位置没有确定，不一定全等，故本选项符合题意；D、已知直角边和斜边的直角三角形可根据HL判定全等，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．（2018•金华）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是AC＝BC．【点拨】添加AC＝BC，根据三角形高的定义可得∠ADC＝∠BEC＝90°，再添加AC＝BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．【解析】解：添加AC＝BC，∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC（AAS），故答案为：AC＝BC．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．（2018秋•柯桥区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数为70°．【点拨】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠B＝∠C及∠B的度数，结合BD＝CF、BE＝CD，即可证出△BDE≌△CFD（SAS），根据全等三角形的性质可得出∠CDF＝∠BED，再根据三角形内角和定理及平角等于180°，即可得出∠EDF＝∠B，此题得解．【解析】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°．在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（SAS），∴∠CDF＝∠BED．∵∠B+∠BED+∠BDE＝180°，∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，∴∠EDF＝∠B＝70°．故答案为：70°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据全等三角形的判定定理SAS证出△BDE≌△CFD是解题的关键．4．（2019秋•台州期中）已知：如图，A，E，B，D在同一直线上，AE＝DB，∠A＝∠D，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．【点拨】利用等式的性质可得AB＝DE，再利用平行线的性质可得∠ABC＝∠DEF，然后可利用ASA判定△ABC≌△DEF．【解析】证明：∵AE＝DB，∴AE+EB＝DB+EB，∴AB＝DE，∵BC∥EF，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．（2010•十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB．求证：BD＝CE．【点拨】欲证BD、CE两边相等，只需证明这两边所在的△ABD与△ACE全等，这两个三角形，有一对直角相等，公共角∠A，AB＝AC，所以两三角形全等．【解析】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS）．∴BD＝CE．【点睛】本题考查证明两边相等的方法，证明这两边所在的三角形全等．选择要证的三角形时要结合图形及已知条件．6．（2019秋•义乌市校级月考）如图：AB＝AC，AD＝AE，AB⊥AC，AD⊥AE．（1）求证：△EAC≌△DAB；（2）判断线段EC与线段BD的关系，并说明理由．【点拨】（1）根据垂直的定义可得∠BAC＝∠DAE＝90°，然后求出∠BAD＝∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠BFC＝∠BAC＝90°，再根据垂直的定义证明即可．【解析】证明：（1）∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△EAC≌△DAB（SAS）；（2）如图，∵△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C，又∵∠B+∠BAC＝∠C+∠BFC，∴∠BFC＝∠BAC＝90°，∴BD⊥CE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法，并求出∠BAD＝∠CAE是解题的关键，也是本题的难点．7．（2019秋•台州期中）如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以