一元一次方程的应用讲义人教版七年级数学上册

一元一次方程的应用【基础知识点】用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．特别说明：“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；“解”就是解方程，求出未知数的值；“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．【常见应用题类型】题型一：和、差、倍、分问题此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词,确定标准量与比校量,并注意每个词的细微差别。即：当较大量是/比较小量的几倍多几时，较大量=较小量×倍数+多余量；当较大量是/比较小量的几倍少几时，较大量=较小量×倍数-所少量；【例题精讲】例1：七年级1班全体学生为地震灾区共捐款428元，七年级2班每个学生捐款10元，七年级1班所捐款数比七年级2班少22元，两班学生人数相同，每班有多少学生？解：设每班有x名学生，由题意得：10x-22=428解得：x=45答：每班有45名学生。例2：已知甲种饮料比乙种饮料单价少2元，小峰买了3瓶甲种饮料和2瓶乙种饮料，共花了15元，如果设乙种饮料单价为x元/瓶，那么以下所列方程正确的是(B)A.3x+2(x+2)=15B.3(x-2)+2x=15C.3(x+2)+2x=15D.3x+2(x-2)=15例3：小明、小杰两人共有100本图书，如果小杰送给小明15本，两人的图书就一样多.如果设小明原来有x本图书，根据题意，可以列出方程:（2x+15×2=100）【巩固练习】1、网络直播带货逐渐走入人们的视野，某超市预计用3900元购进甲、乙两种商品,再通过网络直播平台销售出去，其中乙种商品的个数是甲种商品的2倍少30个,甲、乙两种商品的进价分别为20元/个、30元/个，该超市购进甲、乙两种商品各多少个?解:设购进乙种商品x个，则购进甲种商品工个，由题意得:解得:x=90,∴，答:该超市购进甲种商品60个,乙种商品90个。“腊味香肠”是我区居民冬季特别是春节餐桌上必不可少的传统美食,每年入冬以后，便进入灌香肠好时节，老李、老陈、老杨三人约定每人拿出相同数目的钱共同去灌制香肠，香肠灌制完成后，老李、老陈分别比老杨多分了8、13斤香肠,最后结算时，老李需付给老杨30元，则老陈应付给老杨（）元.解:设老陈应付给老杨x元，由题意得:，8x=390,x=48.75,答:老陈应付给老杨48.75元,故答案为:48.75.为了更好的落实国家“双减”政策,增强学生体质,某中学利用课后服务时间开设了花样跳绳社团兴趣小组。学校用1000元从体育用品商店购入A、B两种款式的跳绳各40条，且购买的B种跳绳的单价比A种跳绳单价的2倍还少5元，求购买A、B两种款式跳绳的单价各是多少元?解:设购买A种跳绳的单价为x元，则购买B种跳绳的单价(2x-5)元,依题意得:40(2x-5)+40x=1000,解得:x=10,∴2x-5=15,答:购买A种跳绳的单价为10元，购买B种跳绳的单价15元.题型二：配套问题“配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件数；（3）不同零件的配套比。利用（3）得到等量关系，先构造分式方程，再利用比例的性质交叉相乘积相等得到一元一次方程。【例题精讲】例1：某车间有27名工人,每个工人每天生产64个螺母或者22个螺栓，每个螺栓配套两个螺母,若分配x个人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下列所列方程中正确的是(）A.22x=64(27-x)B.2×22x=64(27-x)C.64x=22(27-x)D.2×64x=22(27-x)解：设分配x名工人生产螺栓，则(27-x)名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按1:2配套，可得出方程。设分配x名工人生产螺栓,则(27-x)名生产螺母，∵一个螺栓配套两个螺母，每人每天生产螺母64个或螺栓22个，∴可得2×22x=64(27-x)故选:B.例2：某口罩生产厂加工一批医用口罩，全厂共78名工人,每人每天可以生产800个口罩面或1000根口罩耳绳，1个口罩面需要配2根口罩耳绳，为使每天生产的口罩面和口罩耳绳刚好配套，问需要安排生产口罩面和口罩耳绳的工人各多少名？解:设需要安排x名工人生产口罩面，则(78-x)名工人生产口罩绳，根据题意得2×800x=1000(78-x),解得x=30，所以,78-x=78-30=48,答:需要安排30名工人生产口罩面，48名工人生产口罩绳。【巩固练习】用铁皮材料做罐头盒,每张铁皮可制盒身30个,或制盒底50个，一个盒身与两个盒底配成一套，现有33张铁皮材料，分别用多少张制盒身、盒底、才能保证既恰好用完铁皮材料。又使盒身和盒底正好配套?解:设x张铁皮制盒身，则(33-x)张铁皮制盒底，则有:30x=50(33-x)÷2,解得:x=15，答:用15张铁皮制盒身，18张铁皮制盒底正好配套。家具厂生产方桌，按设计1立方米木材可制作50个桌面或300个桌腿，现有10立方米木材、怎样分配木材才能使生产的桌面和桌腿恰好配套，并指出共可生产多少张方桌?(一张方桌按1个桌面4条桌腿配置)解:设分配x立方米木材制作桌面，则分配(10-x)立方米木材制作桌腿，根据题意得:4×50x=300(10-x)，解得:x=6，∴10-x=10-6=4,50x=50×6=300，答:分配6立方米木材制作桌面，4立方米木材制作桌腿,才能使生产的桌面和桌腿恰好配套,共可生产300张方桌。初一年级共45名学生参与科技节活动,制作纸飞机模型，每人每小时可做20个机身或60个机翼,一个飞机模型要1个机身配2个机翼，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配多少名学生做机身?多少名学生做机翼?在刚好配套的情况下，每小时能够做出多少套?解:设应该分配x名学生做机身，则有(45-x)名学生做机翼，由题意得:60(45-x)=2×20x,解得:x=27，45-x=18,即应该分配27学生做机身，18名学生做机翼，20×27=540(套)答:应该分配27名学生做机身，18名学生做机翼，每小时能够做出540套。批书分给一组学生，每人6本则少6本，每人5本则多5本，这批书共有（11）本。解:设有x人，则由题意可得:6x-6=5x+5,解得:x=11,故答案为:11.题型三、调配问题从调配后的数量关系中找等量关系,常见是“和、差、倍、分”关系,要注意调配对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化,常见题型有:①既有调入又有调出:②只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;③只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。【例题精讲】例1：甲车队有汽车56辆，乙车队有汽车32辆，要使两车队汽车一样多，设由甲队调出x辆汽车给乙队，则可得方程（

A

）A．56+x=32−x B．56−x=32+x C．56−x=32 D．32+x=56例2：某工厂甲车间有54人，乙车间有48人，要使甲车间人数是乙车间人数的2倍，则需要从乙车间调往甲车间_____人．解：设需从乙车间调往甲车间x人，则调动后甲车间的人数为（54+x)人，乙车间有（48-x)人，根据题意得：54+x=2(48-x)解得：x=14答：需要从乙车间调往甲车间14人。例3：在甲处劳动的有31人，在乙处劳动的有20人，现调来18人支援，要使甲处劳动的人是乙处劳动的人数的2倍，应往甲、乙两处各调去多少人?解：设乙队、处现在人数x人，甲处现在的人数2x人，x+2x=31+20+18,解得x=23,23×2=36（人），应往乙处人数：23-20=3人，应往甲处人数：46-31=15人，答：应往甲调去15人，应往乙处调去3人。【巩固练习】甲队有54人,乙队有66人,问从甲队调给乙队几人能使甲队人数是乙队人数的？解:设从甲队调给乙队x人能使甲队人数是乙队人数的，则，解得:x=24,答:从甲队调给乙队24人能使甲队人数是乙队人数的。2、甲班有54人，乙班有48人，要使甲班人数是乙班的2倍，设从乙班调往甲班x人，可列方程为(A)A.54+x=2(48-x）B.48+x=2(54-x）C.54-x=2×48D.48+x=2×543、在加固某段河坝时，需要动用15台挖土、运土机械，每台机械每小时能挖上18m³或运土12m³，为了使挖出的土能及时运走，若安排x台机械挖土，则可列方程为（B）A.18x-12x=15B.18x=12(15-x）C.12x=3(15-x)D.18x+12x=154、甲队人数是乙队人数的2倍，从甲队调12人到乙队后，甲队剩下来的人数是原乙队人数的一半还多15人。求甲、乙两队原有人数各多少人?解：设乙队人数为x人，（2x-12)-0.5x=15，解得x=18,2x=2×18=36，答：甲队原来有36人，乙队原来有18人。题型四、工程问题基本数量关系:工作总量=工作效率×工作时间;合做的效率=各单独做的效率的和。当工作总量未给出具体数量时,常设总工作量为“1”,分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。【例题精讲】例1：整理一批图书,由一个人做要40小时完成,现在计划由一部分人先做6小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，则具体先安排（）人工作.解:设具体应先安排x人工作，根据题意得:解得:x=1故答案为:1.例2：一项工程甲单独做要40天完成,乙单独做需要60天完成，甲先单独做4天，然后甲乙两人合作x天完成这项工程，则可以列的方程是(）B.C.D.由题意一项工程甲单独做要40天完成,乙单独做需要50天完成,可以得出甲每天做整个工程的140，乙每天做整个工程的160,解:设整个工程为1，根据关系式甲完成的部分+两人共同完成的部分=1列出方程式为:故选C。例3：要加工200个零件，甲单独加工了5小时，然后乙又和甲一起加工了4小时完成任务。己知甲每小时比乙多加工2个零件，求甲、乙每小时各加工多少个零件?若设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工（x+2)个零件，根据题意，可列方程(（5+4）x+4(x-2)=200)【巩固练习】一项工程甲单独做9天完成,乙,单独做12天完成，现甲、乙合作一段时间后乙休假、结果共用了6天完成这项工程，设乙休假x天，可列方程为（）设乙休假x天，则乙完成此项工程一共用(6-x)天，根据甲完成的部分+完成的部分=整个工作量（单位1），即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.解：设乙休假x天，则乙完成此项工程一共用(6-x)天，根据题意得：某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天，若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（C）B.C.D.3、一项工程，甲队单独完成需30天,乙队单独完成需45天,现甲队先单独做20天,之后两队合作.(1)甲、乙合作多少天才能把该工程完成?甲队施工一天需付工程款3.5万元,乙队施工一天需付工程款2万元，问由甲、乙两队全程合作完成该工程需要多少钱?解:(1)设甲、乙合作x天才能把该工程完成,根据题意得:，解得:x=6答:甲、乙合作6天才能把该工程完成;(2)设甲、乙两队全程合作y天才能完成该工程根据题意得:解得:y=18,∴（3.5+2)y=(3.5+2)×18=99，答:由甲、乙两队全程合作完成该工程需要99万元。题型五、行程问题要掌握行程中的基本关系:路程=速度×时间。相遇问题:相向而行：等量关系：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题同向而行：等量关系：甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程关系式为：①路程=速度×时间；②速度=；③时间=。2.流水行船关系：①顺流速度=静水速度+水流速度；②逆流速度=静水速度－水流速度。3.追击问题的一个最基本的公式：追击时间速度差追击的路程．相遇问题的基本公式为：速度和相遇时间路程．火车过桥问题：火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意的是从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速×过桥时间=车长+桥长。【典型例题】例1：一辆快车和一辆慢车分别从南京和扬州两地同时相向而行,经过2小时在离中点3千米处相遇，已知车平均每小时行75千米,慢车平均每小时行多少千米?解:慢车平均每小时行x千米,由题意可得:75×2-2x=3×2.解得x=72,答:慢车平均每小时行72千米.例2：轮船沿江从A港顺流行驶到B港,比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时,水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米，设A港和B港相距x千米，根据题意，可列出的方程是（）解：设A港和B港相距x千米，由题意得：例3：已知某铁路桥长1600米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒，求这列火车的长.解:设这列火车的长为x米，由题意得:解得x=200,答:这列火车的长为200米。例4：一辆豪华大巴从甲城开往乙城要8小时，一辆普通大巴从乙城开往甲城要12小时，两车同时从两城出发，相遇时豪华大巴行驶了264千米，求甲乙两城的距离.解:设甲乙两城的距离为x千米，由题意可得:解得x=440,答:甲乙两城的距离是440千米.例5：星期天早晨，小斌和小强分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆.已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，小斌每小时骑10km，他在上午10时到达；小强每小时骑15km，他在上午9时解：设他俩的家到雷锋纪念馆的路程为xkm根据题意，得解得x＝15.答：他们的家到雷锋纪念馆的路程为15km.【巩固练习】1、船在静水中的速度为36千米/时,水流速度为4千米/时，从甲码头到乙码头再返回甲码头,共用了9小时(中途不停留)，设甲、乙两码头的距离为x千米，则下面所列方程正确的是（）（36+4)x+（36-4）（9-x)=1B.(36+4)x=9D.解：设甲、乙两码头的距离为x千米，根据题意可得：故选D。甲、乙两站间的路程为360千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶88千米.两列火车同时开出，同向而行，慢车在前，快车在后,问经过几小时快车追上慢车?解:设经过x小时，快车追上慢车(88-48)·x=360，x=9.所以经过9小时快车追上慢车。甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，已知出发后3h两人相遇，相遇时乙比甲多行驶了60km，相遇后再经1h乙到达A地(1)甲、乙两人的速度分别是多少?(2)两人从A，B两地同时出发后，经过多长时间两人相距20km?解：（1）设甲的速度为km/h，易得乙的速度为(x+20)km/h.根据题意，得3x+3(x+20)=4(x+20),解得x=10.则x+20=30.答:甲的速度是10km/h，乙的速度是30km/h.(2)设经过th两人相距20km.①相遇前相距20km时，可得方程10t+30t+20=4×30,解得t=2.5;②相遇后相距20km时，可得方程10t+30t=4×30+20,解得t=3.5.答:经过2.5h或3.5h两人相距20km.5、甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇，若甲比乙每小时多骑2.5千米，则乙的时速是（B）AB.15千米/时CD.20千米/时6、一队学生去校外进行训练，他们以5km/h的速度行进，走了18min的时候，学校要将一个紧急通知传给队长，通信员从学校出发，骑自行车以14km/h的速度按原路追去，通信员需多少时间可以追上学生?解：设通信员需要xh可以追上学生，根据题意，得，解得.答：通信员需要h可以追上学生.题型六、利润问题标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)实际售价＝标价×打折率．【例题精讲】例1：已知一件标价为480元的上衣按八折销售,仍可获利50元，设这件上衣成本价为x元,根据题意,那么所列方程为（）利用利润=售价-成本，即可得出关于a的一元一次方程，此题得解。解:依题意得:480×-x=50故答案为:480×-x=50例2：某商场按标价销售某品牌电器一件可获利1250元,利润率为50%，为了让利顾客，提高销量，今年“五一”期间，该商场按同一标价打九折销售该品牌电器，那么“五一”期间销售一件该品牌电器可获得的纯利润为（）解:设某品牌电器的进价为x元，则标价为(x+1250)元，根据题意得:x+1250-x=50%x,解得:x=2500，∴0.9(x+1250)-x=0.9×(2500+1250)-2500=875,∴“五一”期间销售一件该品牌电器可获得的纯利润为875元。故选:A.例3：一件商品先按成本价提高50%后标价，再以8折销售，售价为180元(1)这件商品的成本价是多少?(2)求此件商品的利润率。解：(1)设这件商品的成本价为x元由题意得x(1+50%)×80%=180解得:x=150，（2）答:此件商品的利润率是20%。【巩固练习】1、某商品的进价是100元，按进价提高50%后标价出售，在销售旺季过后，经营者想得到5%的销售利润，请你帮他想一想，该商品需打几折销售（B）A.6折B.7折C.8折D.9折2、某种商品因换季准备打折出售，若按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，则这种商品的定价是（300）元.3、“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为2080元.设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（A）B.C.D.题型七：数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a。【例题精讲】例1：一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，把这个两位数加上9后，结果恰好成为数字对调后组成的新两位数，试求原两位数是多少？解：设个位数字x，则十位数字为(7-x)，根据题意列出关于x的方程，然后求解方程即可解:设个位数字x，则十位数字为(7-x)。依题意，得10(7-x)+x+9=10x+(7-x)解得x=4.7-4=3答:原两位数是34。例2：一个两位数的个位数字是1，十位数字是x，这个两位数可表示为（）；新数比原来两位数小18，则可列方程（）若把个位与十位数字对调位置，则新的两位数表示为（）①.10x+1②10+x③(10x+1)-(10+x)=18【巩固练习】有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大1,如果把这两位数的个位与十位对调,那么所得的新数与原数的和是121,求这个两位数，设十位上的数字为x,则可列方程为()。10x+(x+1)+10(x+1)+x=1212、一个两位数的十位数字和个位数字之和是7.如果这个两位数加上45，恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的新两位数。(1)设这个两位数的十位数字为x，用含x式子表示这个两位数，并化简。(2)求对调后新的两位数。(1)解:用含式子表示这个两位数为10x+(7-x)=9x+7;(2)解:依题意有9x+7+45=10(7-x)+x,解得x=1,10(7-x)+x=10×6+1=61。故对调后新的两位数为61。题型八：分段计费问题1.总费用=未超标部分的费用+超标部分的费用。2.已知费用求x需判定x的所属范围:若无法知道费用对应的具体范围时，需对其进行不同范围的分类讨论。注:需审题仔细，看清计费标准是否有“超过部分”。【例题精讲】例1：小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是:每户用水不超过5吨，每吨水费x元，超过5吨，超过部分每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨,共交水费为44元,根据题意列出方程为（）5x+(9-5)(x+2)=44例2：为了鼓励节约用电，供电局规定，如果每月每户用电不超过150度，那么每度电0.5元:如果该月用电超150度，那么超过部分每度电0.8元。(1)如果小明家6月份用电228度，那么这个月应缴纳电费多少元?(2)如果7月份小明家缴纳电费为123元，那么他们家这个月用电多少度?150×0.5+(228-150)×0.8=75+78×0.8=75+62.4=137.4(元)，∵这个月应缴纳电费137.4元,答:这个月应缴纳电费137.4元;(2)设小明家这个月用电x度，∴150×0.5=75<123,∵7月份小明家用电超过150度.∴150×0.5+0.8(x-150)=123解得x=210，∴小明家这个月用电210度。答:小明家这个月用电210度。【巩固练习】某市居民天然气收费标准如下:每户每月用气不超过4立方米,单价按1.8元/立方米计算,当超过4立方米时，超出部分按3元/立方米计算，李颖家这个月交了55.2元燃气费,超额用气多少立方米?解:.4×1.8=7.2<555.2,∴李颖家用气超过4立方米，设超额用气x立方米，由题意可得:4×1.8+3x=55.2，解得x=16,答:超额用气16立方米。；当超过4立方米的超出部分每立方米3元，某月A、B两户共用燃气28.8立方米,用气量之比为5:3.问:A、B两户各应缴费多少元?解:设A户用燃气x立方米,B户用燃气(28.8-x)立方米，根据题意得:x:(28.8-x)=5:3，解得:x=18,28.8-18=10.8(立方米),×4+3×(18-4)=49.2(元),×4+3×(10.8-4)=27.6(元),。题型九：方案选择问题（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．【典型例题】例1：为更好地开展阳光体育活动,学校准备到某体育用品店购进一批A型篮球和B型篮球，已知A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元(1)A型篮球和B型篮球的标价各是多少?(2)该体育用品店推出了以下优惠方案:方案一:所有商品按标价的九折销售;方案二:所有商品按标价购买，总费用超过2000元时，超过部分按七折收费学校计划在该店购买20个A型篮球和30个B型篮球，选择哪种方案更合算?请说明理由。解:(1)设每个A型篮球的标价为x元，则每个B型篮球的标价为(x-30)元,根据题意得8x+10（x-30）=1320，解得x=90，所以x-30=90-30=60,答:每个A型篮球的标价为90元，每个B型篮球的标价为60元。(2)选择方案二更合算，理由如下90×20+60×30=3600(元),所以，按标价购买20个A型篮球和30个B型篮球的总费用为3600元，选择方案一，总费用为:(元)选择方案二,总费用为:(元)因为3120元<3240元所以选择方案二更合算。例2：周末,某校七年级准备组织观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票,每班人数都多于40人,票价每张20元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说:40人以上的团体票有两个优惠方案可选择:方案1:全体人员可打8折;方案2:若打9折,有5人可以免票.七年级二班有48名学生，他该选择哪个方案比较省钱?请说明理由.一班班长思考一会儿说:“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的”，请求出一班的人数。解:(1)由题意可得，方案一的花费为:48×20×0.8=768(元),方案二的花费为:(48-5)××20=774(元)∵768<774，∴若二班有48名学生