辽宁省沈阳市第七十六高级中学2022-2023学年高三数学文模拟试卷含解析

辽宁省沈阳市第七十六高级中学2022-2023学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．参考答案：A由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即，所以离心率，故选A．2.已知集合，，则(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知P是矩形ABCD所在平面内一点，AB=4，AD=3，,则

A.

0

B.-5或0

C.5

D.-5参考答案：A4.已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A5.集合，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.“，且”是“”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A7.设，则“”是“”成立的（

）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A等价于，令，则．∵在上单调递减，且，∴．∴“”是“”成立的充分不必要条件．故选．8.已知，，且，则向量与夹角的大小为A.

B.

C.

D.参考答案：C9.（本题满分12分）如图，在△ABC中，，D，E分别为AB，AC的中点．将△ADE沿DE折起到△PDE的位置．（1）证明：BC⊥平面PEC；（2）若，BC=CD，直线BP与平面PEC所成的角为45°，求四棱锥P-BCED的体积．

参考答案：（1）证明：因为分别为的中点，所以，因为，所以，所以翻折后，，所以，又因为，，平面，所以平面.（2）解法一：过点作于，由（1）知，平面，又平面，所以，又，平面，所以平面所以为四棱锥的高由（1）知，平面所以与平面所成角为，所以在中，因为，所以，在中，，所以，，所以在中，，，得又，得所以.所以四棱锥的体积为.解法二：（割补法）由（1）知，，，所以，所以由（1）知平面，所以由（1）知，平面，所以与平面所成的角为，在中，，，所以，在中，，所以，，在中，，，得所以，故四棱锥的体积为.

10.若函数的零点与g(x)=的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是（

）A.f(x)=2x+1;

B.f(x)=|2x-1|;

C.f(x)=;

D.f(x)=lg(2-x)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列的通项公式，其前项和为，则

．参考答案：1006略12.若动点P与定点F(1，1)的距离和动点P与直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹方程是______．参考答案：x－3y＋2＝013.已知变量满足约束条件，则的最小值为(

)A．

B．

C．

8

D．参考答案：C略14.已知，且是第一象限角，则________.参考答案：或【分析】先解出，的值再带入【详解】【点睛】本题考查半角的正切公式。15.(几何证明选讲选做题)已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB、DE、OC。若AD＝2，AE＝1，则CD的长为

。参考答案：316.设数列{an}的前n项和为Sn，已知数列{Sn}是首项和公比都是3的等比数列，则{an}的通项公式an=．参考答案：【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由等比数列的通项公式可得Sn=3n，再由a1=s1=3，n≥2时，an=Sn﹣sn﹣1，求出{an}的通项公式．【解答】解：∵数列{Sn}是首项和公比都是3的等比数列，∴Sn=3n．故a1=s1=3，n≥2时，an=Sn﹣sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2?3n﹣1，故an=．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，数列的前n项的和Sn与第n项an的关系，属于中档题．17.若数列满足(为常数，,)，则称数列为等方差数列，为公方差，已知正数等方差数列的首项，且，，成等比数列，，设集合，取的非空子集，若的元素都是整数，则为“完美子集”，那么集合中的完美子集的个数为

．参考答案：63根据等方差数列的即时定义得，，令，则，由得可取1,2,3……6，即集合中有六个整数，于是中的完美子集的个数为个．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分16分）和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“函数”.（1）若函数，，与互为“函数”,证明：.（2）若集合，函数，，判断函数与在上是否互为“

函数”，并说明理由.（3）函数(，在集合上互为“函数”,求的取值范围及集合.参考答案：（1）证明：函数与互为“函数“,则对于,

恒成立.即在上恒成立………………2分化简得………………2分所以当时，，即…1分（2）假设函数与互为“函数”，则对于任意的

恒成立.即，对于任意恒成立…2分.当时，.不妨取，则，所以………………2分

所以假设不成立，在集合上，函数与不是互为“函数”………1分.（3）由题意得，（且）………2分

变形得，，由于且

，因为，所以，即………2分

此时，集合………2分19.（14分）某高级中学共有学生3000名，各年级男、女生人数如下表：

高一年级高二年级高三年级女生523xy男生487490z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17.（1）问高二年级有多少名女生？（2）现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，问应在高三年级抽取多少名学生？参考答案：解析：（1）由题设可知，

所以x=510.

（2）高三年级人数为y＋z＝3000－（523＋487＋490+510）＝990，…………9分

现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为：

名.

………12分

答：（1）高二年级有510名女生；（2）在高三年级抽取99名学生．……………14分20.已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且经过点，离心率为，A为直线x=4上的动点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点B在椭圆C上，满足OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．参考答案：【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）列出，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）点B在椭圆C上，设B（m，n），，A（4，y）．通过，得到4m+ny=0．求出|AB|2的表达式，通过设t=n2，t∈（0，5]，利用函数的导数求解函数的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由解得，可得a=3，b=．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）点B在椭圆C上，设B（m，n），，A（4，y）．因为OA⊥OB，所以，即4m+ny=0．因为点B在椭圆C上，所以，所以|AB|2=（m﹣4）2+（n﹣y）2=m2﹣8m+16+n2﹣2ny+y2=m2﹣8m+16+n2+8m+y2，=m2+16+n2+y2==，=设t=n2，t∈（0，5]设．因为，所以g（t）在（0，5]上单调递减．所以当t=5，即时，．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，函数的导数求解函数的最值，考查转化思想以及计算能力．21.（本题满分12分）已知A、B、C为的三个内角且向量共线。（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角的对边分别是，且满足，试判断的形状．参考答案：（Ⅰ）∵与共线

∴

…………3分

得

…………4分

∴C=

……………6分（Ⅱ）方法1：由已知

（1）根据余弦定理可得：

（2）

……8分（1）、（2）联立解得：

………10分又.C=，所以△为等边三角形，

………………12分方法2：由正弦定理得：

……8分……………10分∴，∴在△中∠

又.C=，所以△为等边三角形，

……………12分方法3：由（Ⅰ）知C=，又由题设得：，在中根据射影定理得：

……8分

……………10分

又.C=，所以△为等边三角形，……………12分略22.如图，在四边形ABCD中，||=4，?=12，E为AC的中点．（1）若cos∠ABC=，求△ABC的面积S△ABC；（2）若=2，求?的值．参考答案：【分析】（1）容易求出sin∠ABC=，并且可求出的值，根据三角形面积公式即可求出△ABC的面积；（2）可以E为坐标原点，AC所在直线为x轴