矩阵的正交三角化及应用_第1页
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文档简介

矩阵的正交三角化及应用本节介绍初等反射阵及平面旋转阵，矩阵正交约化，它们在矩阵计算中起着重要作用.5.7.1初等反射阵定义9设向量w

Rn且wTw=1，称矩阵H(w)=I-2wwT为初等反射阵(或称为豪斯霍尔德(Householder)变换).如果记w=(w1,w2,

,wn)，则定理25设有初等反射阵H(w)=I-2wwT,其中wTw=1,则(1)H是对称矩阵,即HT=H.(2)H是正交矩阵,即H-1=H.(3)设A为对称矩阵,那么A1=H-1AH=HAH亦是对称矩阵.

证明只证H的正交性,其它显然.设向量u≠0,则显然是一个初等反射阵.定理26设x,y为两个不相等的n维向量,||x||2=||y||2,则存在一个初等反射阵H,使Hx=y.

证明令,则得到一个初等反射阵而且由||x||2=||y||2,有yTy=xTx,而数xTy=yTx,从而所以得Hx=x-(x-y)=y

.

容易说明,w是使Hx=y成立的唯一长度等于1的向量(不计符号).定理27(约化定理)设x=(x1,x2,

,xn)T≠0,则存在初等反射阵H,使Hx=-σe1,其中5.7.2平面旋转阵设x,y

R2,则变换是平面上向量的一个旋转变换，其中为正交矩阵.

Rn中变换：y=Px，称为Rn中平面{xi,xj}的旋转变换(或称为吉文斯(Givens)变换)，P=P(i,j,θ)=P(i,j)称为平面旋转矩阵.其中x=(x1,x2,

,xn)T,y=(y1,y2,

,yn)T,使而显然，P(i,j,θ)具有性质：(1)P与单位阵I只是在(i,i),(i,j),(j,i)

,(j,j)位置元素不一样，其它相同.(2)P为正交矩阵(P-1=PT).(3)P(i,j)A(左乘)只需计算第i行与第j行元素，即对A=(aij)m×n有其中，c=cosθ，s=sinθ.(4)AP(i,j)(右乘)只需计算第i列与第j列元素，即利用平面旋转变换，可使向量x中的指定元素变为零.定理28(约化定理)设x=(x1,

,xi,

,xj,

,xn)T,其中xi,xj不全为零，则可选择平面旋转阵P(i,j,θ)

，使其中

证明取由利用矩阵乘法，显然有于是，由c,s的取法得5.7.3矩阵的QR分解下面讨论用正交矩阵来约化矩阵，可得到下述结果.设有设A

Rm×n且为非零矩阵，则存在初等反射矩阵H1,

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