非典型肺炎的人口控制模型

非典型肺炎的人口控制模型

0传染病数学模型的有效控制现在，世界上严重的非典型肺炎是一种高度流行的传染病，给人类带来了恐慌、破坏、甚至灾难。因此，有效控制传染病的方法值得所有关注。在这种特定的背景下，有效控制传染病数学模型是非常重要的。1承担非典型肺炎疫情的控制我们知道Kermack-Mckendrick模型的建立是基于以下三个基本假设:假设A:假设所研究地区的人口的总数量是常数,不因时间变化而改变.我们把所研究地区的人口分成三类:S类为易感者类,I类为染病者类,R类为消除者类.我们以S(t),I(t)和R(t)分别代表在时刻t时在S类、I类和R类中的人数,这样假设A即:假设B:设易感者由于受传染病的影响,其人数随时间而变化的变化率与当时易感者的人数和当时染病者的人数之积成正比.假设C:设从染病者类到消除者类的速度与当时染病者类的人数成正比.再假设,在所研究的时间区间内没有人口的自然出生与死亡率,则我们即可得传染病的数学模型(Kermack-Mckendrick模型):初值S(0)=S0>0,I(0)=I0>0,R(0)=0.其中参数β>0称为传染率,γ>0称为移除率,称为相对移除率,不妨设N=1,即S(t)+I(t)+R(t)=1引理1如果S0<ρ,则当t增加而趋于无穷时,染病的数量I(t)单调下降趋于零,如果S0>ρ,则当t增加时,染病者的数量I(t)增加到一定数量Imax后就单调减少趋于零,并且存在,它是下超越方程的唯一正根:从图1中看出,如果初值(S0,I0)落在直线S=ρ的左边,随t增加I(t)单调下降趋于零,也即流行病逐渐减少最终消失,如果S0>ρ则染病类的人数I(t)先是逐渐增加,直到S通过ρ染病者类的人数达到极大值后才开始下降,而后逐渐趋于零.定理2模型(1-3),当S0、I0为定值、ρ<S0时染病者的数量I(t)所达到的最大值Imax为ρ的减函数.证由(1)、(2)消去dt,可得:当S=S0,I=I0时,(4)的解为因为,当S=ρ时,I(t)为最大,此时所以显然当ρ<S0,所以.从而Imax为ρ的减函数.就是说,随着ρ的增大,染病者的数量I(t)所达到的最大值Imax减小.控制的目的就是要提高ρ,从而降低Imax.当ρ<S0时,I(t)人数有个高峰值,如果这种传染病无特效药治疗,这就意味着随患病人数的增加,死亡率也随之增加,从而给人类带来的灾难就越大.那么如何对此传染病进行控制,使得对任意初值(S0,I0)随t增加,I(t)单调下降趋于零,并且Imax=I0,或则使Imax控制在理想数值范围之内是十分重要的,控制的方法有多种,其中之一是对I类人群采取隔离控制,设隔离率为k,且k>0,则模型(1)(2)变为由(5)得令,即,由引理1得,当S<S0时,,由此得出以下结论.如果此次全球性暴发的非典型肺炎符合(1-3)的SIR模型,以北京市为例,截至2003年4月20日北京市已有非典型肺炎患者339人,出院33人,死亡18人.设北京人口总数为13800000人.以下为卫生部发布的:由和表01可得出ρ≈3129123.7713768043257542339147978,再由Imax=13799949-ρ+ρlnρ/13799610得Imax≈6027558人,这就意味着如果政府不对非典疫情采取任何控制措施,经过一段时间之后,非典病人最多可达6027558人左右.如图2所示,对于一个城市来说,这无疑是个灭顶之灾.令人倍感欣慰的是,自从我国内地发现非典疫情之后,政府就采取了各种措施,有效地控制了非典疫情的蔓延.从数学模型角度来看,如果采取前边所述的隔离控制(5),要想使北京地区非典病人累计总数不超过4000人,如图3所示:由,得k≈0.76792017993705681616788744656518.因此北京采取隔离措施,隔离率要高于76.79%,最终非典病人最多不超过4000人,疫情就不会蔓延.如果控制率K太小将无济于事.模型(1)-(3)是在假设人口没有出生率与自然死亡率的情况下建立起来,在满足该模型A、B、C三假设条件下,再假设易感者,染病者和消除类的人均有生育能力,而且新出生的人均属易感者类,还假定易感者、染病者和消除者均有自然死亡率,并且假定死亡率与出生率是相等的,即任何时候仍保持人口总数不变,此时模型(1-3)则变成:这里μ为人口的出生率与自然死亡率,且μ>0.引理4记(S(t),I(t))是(7-9)的解.我们有:(1)如果记ρ=β/(μ+γ)>1则D:{(S,I),0≤S≤1,0<I≤1}是关于平衡点(1/ρ,μ(ρ-1)/β)的一个渐近稳定的区域.(2)如果ρ<1,则D是平衡点(1,0)的一个渐近稳定区域.这就是说当ρ<1时,随着时间t增加趋于无穷大时,该传染病将消除.当ρ>1时,该传染病将成为该地的地方病.这时,我们对该地方采取上述相同的隔离控制,那么(7-9)变为由(10)得由引理2得,当ρ=(1-k)β/(μ+γ)>1,即时,此地方病将随着时间t趋于无穷大时而消除.定理5控制系统(9),当隔离率K满足时,此地方病将随着时间t趋于无穷大时而消除.2正常数与死亡率对于得病后一般可以治愈,而且之后还可能重新受传染再次得病的传染过程,用SIS模型(Kermack-mckendrick模型)来表示.为:其中β和τ为正常数,β为传染率,τ为平均染病周期,假设无出生率与死亡率,记.引理6如果ρ>N,则D:{(S,I),0≤S≤N,0<I≤N}是关于平衡点(N,0)的一个渐近稳定区域;如果ρ<N,则D是平衡点(ρ,N-ρ)的一个渐近稳定区域.就是说当ρ>N时,(N,0)为疾病消除平衡点,当ρ<N时,此传染病成为地方病,对此情形,我们也将采取上述的隔离控制,那么模型(11)变为定理7控制系统(13),当隔离率K满足时,此地方病将随着时间t趋于无穷大时而消除.3模型的施加隔离控制非典型肺炎的出现使我们再一次清醒认识到,人类在发展,新发疾病也在不断出现,人类与疾病的搏斗将永远没有止境,因而对传染病模型施加有效控制的各种方法也应运而生.本文所研究的对传染病模型施加隔离控制,其目的就是要提高ρ,降低Imax.,从而有效地控制疫情的蔓延,最终消除该传染病.但是隔离率必须满足一定条件,才能达到控制的目