用分离变量法求解混合问题

用分离变量法求解混合问题

0分离变量法的适用条件首先，解决数学物理方程的通解方法仅适用于极少数的定解问题，而分离变量法是定解问题的基本解决方案。它适用于各种有限区域的混合问题。所使用的术语和符号来自文本。1简化常微分方程初值问题这种方法的基本思想是把求解偏微分方程的混合问题,经过分离变量,转化为求解常微分方程的初值问题,使原问题得到简化,这是一种很常用的方法.对于含两个以上自变量的偏微分方程,也可采用这种方法,把偏微分方程化为常微分方程或所含自变量较少的偏微分方程,将问题简化,使之容易求解.2变量分离法的基本步骤2.1不同齐次如果关于未知函数u的混合问题中的边界条件不是齐次的,那么选取一个与u具有相同边界条件的已知函数U,作变换u=v+U,代入关于u的混合问题,导出新的未知函数v的混合问题,这时v所满足的边界条件就是齐次的了.2.2齐次方程设v(x,t)=X(x)T(t),代入关于v的混合问题所对应的齐次方程及齐次边界条件,经过分离变量后,可得关于X(x)的特征值问题,求出特征值λn和特征函数Xn(x).2.3分离出1xnxnt设该问题的解为特征函数的级数v(x‚t)=∞∑n-1Xn(x)Τn(t)将其代入v所满足的方程及初始条件,从中可分离出待定函数Tn(t)所满足的常微分方程的初值问题,求出Tn(t)后可得v(x,t).2.4关于u的混合问题将所求得的v代入u=v+U,便得关于u的混合问题的解.3tnt型特征值混合方程的构建用分离变量法求解下列热传导方程的混合问题:{ut=a2uxx(0＜x＜b‚t＞0)ux(0‚t)=0‚u(b‚t)=Μ(t＞0)u(x‚0)=Μbx(0≤x≤b)其中a,b,M是已知常数.解先把边界条件齐次化,为此作变换u(x‚t)=v(x‚t)+Μb2x2将其代入u的混合问题,导出关于v的混合问题:{vt=a2vxx+2a2Μb2(0＜x＜b‚t＞0)vx(0‚t)=0‚v(b‚t)=0(t＞0)v(x‚0)=Μbx-Μb2x2(0≤x≤b)为了求出新的未知函数v,先建立特征值问题.为此令v(x,t)=X(x)T(t)代入关于v的混合问题所对应的齐次方程和齐次边界条件,得{X(x)Τ′(t)=a2X″(x)Τ(t)X′(0)Τ(t)=0X(b)Τ(t)=0整理方程,得X″(x)X(x)=Τ′(t)a2Τ(t)=-λ分离变量后,得特征值问题:{X″(x)+λX(x)=0X′(0)=0X(b)=0该特征值问题的特征值和特征函数分别为λn=[(2n-1)π2b]2‚Xn(x)=cos(2n-1)πx2b‚n=1‚2‚⋯设关于v的混合问题的解为特征函数的级数,即v(x‚t)=∞∑n=1Τn(t)cos(2n-1)πx2b将其代入v所满足的非齐次方程和初始条件,得{∞∑n=1[Τ′n(t)+(2n-1)2π24b2a2Τn(t)]cos(2n-1)πx2b=2a2Μb2∞∑n=1Τn(0)cos(2n-1)πx2b=Μbx-Μb2x2将上面等式右端的函数在[0,b]上展成付氏级数,得{2a2Μb2=∞∑n=1Cncos(2n-1)πx2bΜbx-Μb2x2=∞∑n=1Dncos(2n-1)πx2b其中的付氏系数为{Cn=2b∫b02a2Μb2cos(2n-1)πξ2bdξ=(-1)n-18a2Μ(2n-1)πb2Dn=2b∫b0(Μbξ-Μb2ξ2)cos(2n-1)πξ2bdξ=-8Μ(2n-1)2π2[1+(-1)n4(2n-1)π]比较系数,可得Tn(t)所满足的常微分方程的初始问题:{Τ′n(t)+(2n-1)2π2a24b2Τn(t)=CnΤn(0)=Dn解得Τn(t)=-8Μ(2n-1)2π2[e-(2n-1)2π2a24b2t+(-1)n4(2n-1)π]将所所求得的Tn(t)代入v的级数表示式,然后再将所求得的v代入u(x‚t)=v(x‚t)+Μb2x2就得到关于u的混合问题的解为u(x‚t)=Μb2x2+∞∑n=1[(-1)n-132Μ(2n-1)3π3-8Μ(2n-1)2π2e-(2n-1)2π2a24b2t]cos(2n-1)πx2b4如何确定特征函数簇?不难看出,分离变量法最主要的环节是求解特征