2022年高考冲刺理科数学解析汇编数列

2022年高考真题理科数学解析汇编：数列一、选择题AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（新课标理））已知为等比数列,,,则 （）A． B． C． D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（浙江理））设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题错误的是 （）A．若d<0,则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项,则d<0C．若数列{Sn}是递增数列,则对任意的nN*,均有Sn>0D．若对任意的nN*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（重庆理））在等差数列中,,则的前5项和= （）A．7 B．15 C．20 D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（四川理））设函数,是公差为的等差数列,,则 （）A． B． C． D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（上海理））设,.在中,正数的个数是 （）A．25. B．50. C．75. D．100.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（辽宁理））在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11= （）A．58 B．88 C．143 D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（江西理））观察下列各式:a+b=²+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,,则a10+b10= （）A．28 B．76 C．123 D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖北理））定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列,仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数:①;②;③;④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为 （）A．①② B．③④ C．①③ D．②④AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（福建理））等差数列中,,则数列的公差为 （）A．1 B．2 C．3 D．4AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（大纲理））已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为 （）A． B． C． D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（北京理））某棵果树前年得总产量与之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前年的年平均产量最高,的值为 （）A．5 B．7 C．9 D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（安徽理））公比为等比数列的各项都是正数,且,则 （）A． B． C． D．二、填空题AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（新课标理））数列满足,则的前项和为_______AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（浙江理））设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为{Sn}.若,,则q=______________.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（上海春））已知等差数列的首项及公差均为正数,令当是数列的最大项时,____.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（辽宁理））已知等比数列为递增数列,且,则数列的通项公式______________.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（江西理））设数列都是等差数列,若,则__________。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖南理））设N=2n(n∈N*,n≥2),将N个数x1,x2,,xN依次放入编号为1,2,,N的N个位置,得到排列P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN,将此操作称为C变换,将P1分成两段,每段个数,并对每段作C变换,得到;当2≤i≤n-2时,将Pi分成2i段,每段个数,并对每段C变换,得到Pi+1,例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置.(1)当N=16时,x7位于P2中的第___个位置;(2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第___个位置.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖北理））回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,,位回文数有90个:101,111,121,,191,202,,999.则(Ⅰ)(Ⅱ)AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（广东理））(数列)已知递增的等差数列满足,,则______________.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（福建理））数列的通项公式,前项和为,则___________.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（北京理））已知为等差数列,为其前项和.若,,则________.三、解答题AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（天津理））已知{}是等差数列,其前项和为,{}是等比数列,且=,,.(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式;(Ⅱ)记,,证明.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（新课标理））已知分别为三个内角的对边,(1)求(2)若,的面积为;求.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（重庆理））(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分.)设数列的前项和满足,其中.(I)求证:是首项为1的等比数列;(II)若,求证:,并给出等号成立的充要条件.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（四川理））已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.(Ⅰ)用和表示;(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;(Ⅲ)当时,比较与的大小,并说明理由.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（四川理））已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)设,数列的前项和为,当为何值时,最大?并求出的最大值.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（上海理））对于数集,其中,,定义向量集.若对于任意,存在,使得,则称X具有性质P.例如具有性质P.(1)若x>2,且,求x的值;(2)若X具有性质P,求证:1X,且当xn>1时,x1=1;(3)若X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列的通项公式.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（上海春））本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列满足(1)设是公差为的等差数列.当时,求的值;(2)设求正整数使得一切均有(3)设当时,求数列的通项公式.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（陕西理））设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列.(1)求数列的公比;(2)证明:对任意,成等差数列.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（山东理））在等差数列中,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)对任意,将数列中落入区间内的项的个数记为,求数列的前项和.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（江西理））已知数列{an}的前n项和,且Sn的最大值为8.(1)确定常数k,求an;(2)求数列的前n项和Tn.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（江苏））设集合,.记为同时满足下列条件的集合的个数:①;②若,则;③若,则.(1)求;(2)求的解析式(用表示).AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（江苏））已知各项均为正数的两个数列和满足:,,(1)设,,求证:数列是等差数列;(2)设,,且是等比数列,求和的值.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖南理））已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2++an,B(n)=a2+a3++an+1,C(n)=a3+a4++an+2,n=1,2。(1) 若a1=1,a2=5,且对任意n∈N﹡,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{an}的通项公式.(2) 证明:数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖北理））已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.(Ⅰ)求等差数列的通项公式;(Ⅱ)若,,成等比数列,求数列的前项和.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（广东理））设数列的前项和为,满足,,且、、成等差数列.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（大纲理））(注意:在试卷上作答无效)函数.定义数列如下:是过两点的直线与轴交点的横坐标.(1)证明:;(2)求数列的通项公式.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（北京理））设A是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记为所有这样的数表构成的集合.对于，记为A的第行各数之和，为A的第列各数之和；记为，，…，，，，…，中的最小值.（1）对如下数表A,求的值；11-1（2）设数表A=形如111-1求的最大值；（3）给定正整数，对于所有的A∈S(2，),求的最大值。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（安徽理））数列满足:(=1\*ROMANI)证明:数列是单调递减数列的充分必要条件是(=2\*ROMANII)求的取值范围,使数列是单调递增数列.2022年高考真题理科数学解析汇编：数列参考答案一、选择题LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】选,或LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】C【解析】选项C显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,.满足数列{Sn}是递增数列,但是Sn>0不成立.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】B【解析】,,故.【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前项和公式,解题时要认真审题,仔细解答.LISTNUMOutlineDefault\l3[答案]D[解析]∵数列{an}是公差为的等差数列,且∴∴即得∴[点评]本题难度较大,综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用,需考生加强知识系统、网络化学习.另外,隐蔽性较强,需要考生具备一定的观察能力.LISTNUMOutlineDefault\l3xy21213…2423262749xy21213…2423262749483837………当26≤k≤49时,令,则,画出k终边如右,其终边两两关于x轴对称,即有,所以+++++0+++=++++++,其中k=26,27,,49,此时,所以,又,所以,从而当k=26,27,,49时,Sk都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S49>0.对于k从51到100的情况同上可知Sk都是正数.综上,可选D.[评注]本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析Sk的符号,为此,需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性,此为攻题之关键.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】B【解析】在等差数列中,,答案为B【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式,同时考查运算求解能力,属于中档题.解答时利用等差数列的性质快速又准确.LISTNUMOutlineDefault\l3C【解析】本题考查归纳推理的思想方法.观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11,,发现从第3项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右边依次为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,,故【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要求了解归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理.LISTNUMOutlineDefault\l3考点分析:本题考察等比数列性质及函数计算.解析:等比数列性质,EQ,①;②;③;④.选CLISTNUMOutlineDefault\l3【答案】B【解析】,而,解得.【考点定位】该题主要考查等差数列的通项公式,考查计算求解能力.LISTNUMOutlineDefault\l3答案A【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前项和的公式的运用,以及裂项求和的综合运用,通过已知中两项,得到公差与首项,得到数列的通项公式,并进一步裂项求和.【解析】由可得LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】C【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C.【考点定位】本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度可以用导数来解,当然此题若利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平均产量最高,就需要随着的增大,变化超过平均值的加入,随着增大,变化不足平均值,故舍去.LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】选二、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】的前项和为可证明:LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】【解析】将,两个式子全部转化成用,q表示的式子.即,两式作差得:,即:,解之得:(舍去).LISTNUMOutlineDefault\l3LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】【解析】【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题.LISTNUMOutlineDefault\l335【解析】本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想(解法一)因为数列都是等差数列,所以数列也是等差数列.故由等差中项的性质,得,即,解得.(解法二)设数列的公差分别为,因为,所以.所以.【点评】对于等差数列的计算问题,要注意掌握基本量法这一通法,同时要注意合理使用等差数列的性质进行巧解.体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式,前项和,等差中项的性质等.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】(1)6;(2)【解析】(1)当N=16时,,可设为,,即为,,即,x7位于P2中的第6个位置,;(2)方法同(1),归纳推理知x173位于P4中的第个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题.LISTNUMOutlineDefault\l3考点分析:本题考查排列、组合的应用.解析:(Ⅰ)4位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为0,有9(1~9)种情况,第二位有10(0~9)种情况,所以4位回文数有种.答案:90(Ⅱ)法一、由上面多组数据研究发现,2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同,所以可以算出2n+2位回文数的个数.2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况,第一位不能为0有9种情况,后面n项每项有10种情况,所以个数为.法二、可以看出2位数有9个回文数,3位数90个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,99”,因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数,因此,则.LISTNUMOutlineDefault\l3解析:.设公差为(),则有,解得,所以.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】【解析】由,可得【考点定位】本题主要考察数列的项、前n项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并项求和.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】1,【解析】,所以,.【考点定位】本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前项和公式的计算.三、解答题LISTNUMOutlineDefault\l3【命题意图】本试题主要考查了等差数列与等比数列的概率、通项公式、前项和公式、数列求和等基础知识,考查化归与转化的思想方法,考查运算能力、推理论证的能力.(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,得,由条件得方程组,故（2）方法二：数学归纳法（1）当时，，故等式成立。【点评】该试题命制比较直接,没有什么隐含的条件,就是等比与等差数列的综合应用,但方法多样,第二问可以用错位相减法求解证明,也可用数学归纳法证明,给学生思维空间留有余地,符合高考命题选拔性的原则.LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】(1)由正弦定理得:(2)解得:LISTNUMOutlineDefault\l3(1)证明:由,得,即.因,故,得,又由题设条件知,两式相减得,即,由,知,因此综上,对所有成立,从而是首项为1,公比为的等比数列.(2)当或时,显然,等号成立.设,且,由(1)知,,,所以要证的不等式化为:即证:当时,上面不等式的等号成立.当时,与,()同为负;当时,与,()同为正;因此当且时,总有()()>0,即,().上面不等式对从1到求和得,由此得综上,当且时,有,当且仅当或时等号成立.LISTNUMOutlineDefault\l3[解析](1)由已知得,交点A的坐标为,对则抛物线在点A处的切线方程为(2)由(1)知f(n)=,则即知,对于所有的n成立,特别地,取n=2时,得到a≥当,>2n3+1当n=0,1,2时,显然故当a=时,对所有自然数都成立所以满足条件的a的最小值是.(3)由(1)知,则,下面证明:首先证明:当0<x<1时,设函数当故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min=g所以,当0<x<1时,g(x)≥0,即得由0<a<1知0<ak<1(),因此,从而[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法.LISTNUMOutlineDefault\l3[解析]取n=1,得①取n=2,得②又②-①,得③(1)若a2=0,由①知a1=0,(2)若a2,④由①④得:(2)当a1>0时,由(I)知,当,(2+)an-1=S2+Sn-1所以,an=所以令所以,数列{bn}是以为公差,且单调递减的等差数列.则b1>b2>b3>>b7=当n≥8时,bn≤b8=所以,n=7时,Tn取得最大值,且Tn的最大值为T7=[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查.第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.LISTNUMOutlineDefault\l3[解](1)选取,Y中与垂直的元素必有形式所以x=2b,从而x=4(2)证明:取.设满足.由得,所以、异号.因为-1是X中唯一的负数,所以、中之一为-1,另一为1,故1X假设,其中,则.选取,并设满足,即,则、异号,从而、之中恰有一个为-1.若=-1,则,矛盾;若=-1,则,矛盾.所以x1=1(3)[解法一]猜测,i=1,2,,n记,k=2,3,,n.先证明:若具有性质P,则也具有性质P.任取,、.当、中出现-1时,显然有满足;当且时,、≥1.因为具有性质P,所以有,、,使得,从而和中有一个是-1,不妨设=-1.假设且,则.由,得,与矛盾.所以.从而也具有性质P现用数学归纳法证明:,i=1,2,,n.当n=2时,结论显然成立;假设n=k时,有性质P,则,i=1,2,,k;当n=k+1时,若有性质P,则也有性质P,所以.取,并设满足,即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.若,则,所以,这不可能;所以,,又,所以.综上所述,,i=1,2,,n[解法二]设,,则等价于.记,则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称注意到-1是X中的唯一负数,共有n-1个数,所以也只有n-1个数.由于,已有n-1个数,对以下三角数阵注意到,所以,从而数列的通项公式为,k=1,2,,nLISTNUMOutlineDefault\l3解:(1),(2)由,由,即;由,即.(3)由,故,当时,以上各式相加得当时,,LISTNUMOutlineDefault\l3解析:(1)设数列的公比为()由成等差数列,得,即由得,解得(舍去)∴(2)证法一:对任意所以,对任意,成等差数列证法二对任意,因此,对任意,成等差数列.LISTNUMOutlineDefault\l3解析:(Ⅰ)由a3+a4+a5=84,a5=73可得而a9=73,则,,于是,即.(Ⅱ)对任意m∈N﹡,,则,即,而,由题意可知,于是,即.LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】解:(1)当时,取最大值,即,故,从而,又,所以(2) 因为,所以【点评】本题考查数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用来实现与的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,要注意不能用来求解首项,首项一般通过来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、另一项是等比数列.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】解:(1)当时,符合条件的集合为:,∴=4.(2)任取偶数,将除以2,若商仍为偶数.再除以2,···经过次以后.商必为奇数.此时记商为.于是,其中为奇数.由条件知.若则为偶数;若,则为奇数.于是是否属于,由是否属于确定.设是中所有奇数的集合.因此等于的子集个数.当为偶数〔或奇数)时,中奇数的个数是().∴.【考点】集合的概念和运算,计数原理.【解析】(1)找出时,符合条件的集合个数即可.(2)由题设,根据计数原理进行求解.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】解:(1)∵,∴.∴.∴.∴数列是以1为公差的等差数列.(2)∵,∴.∴.(﹡)设等比数列的公比为,由知,下面用反证法证明若则,∴当时,,与(﹡)矛盾.若则,∴当时,,与(﹡)矛盾.∴综上所述,.∴,∴.又∵,∴是公比是的等比数列.若,则,于是.又由即,得.∴中至少有两项相同,与矛盾.∴.∴.∴.【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法.【解析】(1)根据题设和,求出,从而证明而得证.(2)根据基本不等式得到,用反证法证明等比数列的公比.从而得到的结论,再由知是公比是的等比数列.最后用反证法求出.LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】解(1)对任意,三个数是等差数列,所以即亦即故数列是首项为1,公差为4的等差数列.于是(Ⅱ)(1)必要性:若数列是公比为q的等比数列,则对任意,有由知,均大于0,于是即==,所以三个数组成公比为的等比数列.(2)充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,则,于是得即由有即,从而.因为,所以,故数列是首项为,公比为的等比数列,综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列.【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得;第二问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证.LISTNUMOutlineDefault\l3考点分析:考察等差等比数列的通项公式,和前n项和公式及基本运算.解析:(Ⅰ)设等差数列的公差为,则,,由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得,或.故,或.(Ⅱ)当时,,,分别为,,,不成等比数列;当时,,,分别为,,,成等比数列,满足条件.故记数列的前项和为.当时,;当时,;当时,.当时,满足此式.综上,LISTNUMOutlineDefault\l3解析:(Ⅰ)由,解得.(Ⅱ)由可得(),两式相减,可得,即,即,所以数列()是一个以为首项,3为公比的等比数列.由可得,,所以,即(),当时,,也满足该式子,所以数列的通项公式是.(Ⅲ)因为,所以,所以,于是.点评:上述证法实质上是证明了一个加强命题,该加强命题的思考过程如下.考虑构造一个公比为的等比数列,其前项和为,希望能得到,考虑到,所以令即可.由的通项公式的形式可大胆尝试令,则,于是,此时只需证明就可以了.当然,的选取并不唯一,也可令,此时,,与选取不同的地方在于,当时,,当时,,所以此时我们不能从第一项就开始放缩,应该保留前几项,之后的再放缩,下面给出其证法.当时,;当时,;当时,.当时,,所以.综上所述,命题获证.下面再给出的两个证法.法1:(数学归纳法)①当时,左边,右边,命题成立.②假设当(,)时成立,即成立.为了证明当时命题也成立,我们首先证明不等式:(,).要证,只需证,只需证,只需证,只需证,该式子明显成立,所以.于是当时,,所以命题在时也成立.综合①②,由数学归纳法可得,对一切正整数,有.备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的,其实这是一个错误的认识.法2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供)当时,显然成立.当时,显然成立.当时,,又因为,所以(),所以(),所以.综上所述,命题获证.LISTNUMOutlineDefault\l3【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相