弹性力学基础

在各向同性线性弹性力学中，为了求得应力、应变和位移，先对构成物体的材料以及物体的变形作了五条基本假设，即：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、完全弹性假设和小变形假设，然后分别从问题的静力学、几何学和物理学方面出发，导得弹性力学的基本方程和边界条件的表达式。直角坐标系下的弹性力学的基本方程为平衡微分方程:a%+ +8%+弟_Qay%一%a砺+云+3几何方程:v_6^.a板%-就+云冷召=边+辿(2)a用QyJ(2)物理方程：（1）式中的、、、r=T>T=T、T=T为应力分量，X、Y、Z为单位体积的体力在xyzyzzyxzzxxyyx三个坐标方向的分量；（2）式中的u、V、w为位移矢量的三个分量（简称位移分量），£x、£y、弓、Yyz、Yxz、Vxy为应变分量；（3）式中的E和v分别表示杨氏弹性模量和泊松比。

在物体的表面，如已知面力，则边界条件表示为X—Rp】+乌#魂+玲it73(4)Y=句.成+处用+弋细程＞瓦=&疽*七舟+"(4)这里的崖、璧、塔表示作用在物体表面的单位面积上的面力矢量的三个分量，/、m、〃表示物体表面外法线的三个方向余弦。如物体表面位移。、堀、壕已知，则边界条件表示为u=u,v=u=u,v=堀，0=壕(5)这样就将弹性力学问题归结为在给定的边界条件下求解一组偏侮分方程的问题。主要解法式（1）、（2）、（3）中有15个变量，15个方程，在给定了边界条件后，从理论上讲应能求解。但由（2）、（3）式可见，应变分量、应力分量和位移分量之间不是彼此独立的，因此求解弹性力学问题通常有两条途径。其一是以位移作为基本变量，归结为在给定的边界条件下求解以位移表示的平衡微分方程，这个方程可以从（1）、（2）、（3）式中消去应变分量和应力分量而得到。其二是以应力作为基本变量，应力分量除了要满足平衡微分方程和静力边界条件外，为保证物体变形的连续性，对应的应变分量还须满足相容方程：(6)(6)这组方程由几何方程消去位移分量而得到。对于不少具体问题，上述方程还可以简化。在弹性力学中，为克服求解偏微分方程(或方程组)的困难，通常采用试凑法，即根据物体形状的几何特性和受载情况，去试凑位移分量或应力分量；由弹性力学解的唯一性定理，只要所试凑的量满足全部方程和全部边界条件，即为问题的精确解。从数学观点来看，弹性力学方程的定解问题可变为求泛函的极值问题。例如，对于用位移作为基本变量求解的问题，又可以归结为求解变分方程：叽=0(7)n1是物体的总势能，它是一切满足位移边界条件的位移的泛函。对于稳定平衡状态，精确的位移将使总势能n1取最小值的称为最小势能原理。又如对于用应力作为基本变量求解的问题，可归结为求解变分方程：sn2=o(8)n2为物体的总余能，它是一切满足平衡微分方程和静力边界条件的应力分量的泛函。精确的应力分量将使总余能n2取最小值的称为最小余能原理。(7)式等价于用位移表示的平衡微分方程和静力边界条件，而(8)式则等价于用应力表示的相容方程。在求问题的近似解时，上述泛函的极值问题又进而变为函数的极值问题，最后归结为求解线性非齐次代数方程组。还有各种所谓的广义变分原理，其中最一般的是广义势能原理和广义余能原理，它们等价于弹性力学的全部基本方程和边界条件。但和总势能n1和总余能n2不同，广义势能和广义余能作为应力分量、应变分量和位移分量的泛函，对于精确解，也只取非极值的驻值。由于弹性力学的基本方程是在弹性力学的五条基本假设下通过严密的数学推导得出的，因此弹性力学又称为数学弹性力学。而板壳力学则属于应用弹性力学。因为，它除了引用这五条基本假设外，还