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椭圆讲义及例题椭圆是平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的轨迹。其中，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。当PF1+PF2=F1F2时，动点P的轨迹为线段F1F2；当PF1+PF2<F1F2时，动点P的轨迹无图形。椭圆的标准方程分为两种情况：焦点在x轴上和焦点在y轴上。在两种标准方程中，总有a>b>0，并且椭圆的焦点总在长轴上。两种标准方程可用一般形式表示为mx^2+ny^2=1。椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足x≤a，y≤b。椭圆的顶点是对称轴与椭圆的交点，椭圆的长轴和短轴分别是线段A1A2和B1B2，A1A2=2a，B1B2=2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的离心率e是焦距与长轴长度的比，记作e=2c/2a，其中c是焦距。因为a>c>0，所以e的取值范围是0<e<1。当e越接近1时，椭圆越扁；当e越接近0时，椭圆越接近于圆。当且仅当a=b时，椭圆退化为圆。椭圆的图像中，线段A1A2和B1B2分别是椭圆的长轴和短轴。求解椭圆C的方程，然后研究过点B（3,0）的直线与椭圆C的交点M和N，进而得出BM×BN的取值范围。要求椭圆C的方程。考虑椭圆的性质，它是一个平面内到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。因此，我们可以设定椭圆的中心为原点O，F1和F2的坐标分别为(-c,0)和(c,0)，其中c为常数。则点P(x,y)到F1和F2的距离之和为2a，即√((x+c)²+y²)+√((x-c)²+y²)=2a，整理得到椭圆的方程为((x²/a²)+(y²/b²)=1，其中a²=c²+b²。接下来，我们要找到过点B（3,0）的直线与椭圆C的交点M和N。过点B（3,0）的直线可以表示为y=kx-3k，其中k为直线的斜率。将直线方程带入椭圆方程中，得到一个二次方程(ax²)+(bky)²+(2ckx)+(c²-b²)=0。因为直线与椭圆有交点，所以该方程有实数解。因此，判别式为非负数，即(4c²k²)-(4ac²-b²)<=0。整理得到k²<=(a²-c²)/(3c²)。根据求得的交点M和N，可以计算出BM和BN。将BM×BN表示为函数f(k)=4a²k²/(4c²k²-4ac²+b²)，并求导数，得到f'(k)=4a²(4c²k²-2ac²-b²)/(4c²k²-4ac²+b²)²。令f'(k)=0，得到k²=(a²-c²)/2ac，

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