圆（知识点串讲）（原卷版）

专题23圆考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：圆心；半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB，读作弧AB．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）QUOTE半径2圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。弓形与扇形弓形的概念：由弦及其所对的弧组成的图形。扇形的概念：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。【典型例题】1．（2018·陆丰市民声学校中考模拟）如图，AB是⊙O直径，点C，D在⊙O上，OD∥AC，下列结论错误的是（）A．∠BOD=∠BAC B．∠BAD=∠CAD C．∠C=∠D D．∠BOD=∠COD2．（2018·北京中考模拟）有下列四种说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中，错误的说法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种3．（2018·上海中考模拟）下列说法中，正确的个数共有（）（1）一个三角形只有一个外接圆；（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等；A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2018·湖北中考模拟）有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2017·广东中考模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为（）A． B． C． D．【考查题型汇总】考查题型一利用圆的半径相等进行相关计算1．（2019·浙江省杭州第七中学中考模拟）如图，A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是（）．A．10°B．20°C．40°D．80°2．（2018·黑龙江中考模拟）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（）A．70° B．80° C．110° D．140°3．（2019·四川省平昌中学中考模拟）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是A．AC=AB B．∠C=12∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠4．（2018·贵州中考模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（）A．43 B．63 C．23 D．85．（2019·云南中考模拟）如图，已知：在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（）A．70° B．45° C．35° D．30°6．（2019·广西中考模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD＝136°，则∠C的度数是（）A．44° B．22° C．46° D．36°考查题型二圆心角与圆周角的关系解题1．（2019·武汉市第四十六中学中考模拟）如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE、EC．（1）若∠AEC＝28°，求∠AOB的度数；（2）若∠BEA＝∠B，EC＝3，求⊙O的半径．2．（2018·吉林中考模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的点，CD与⊙O相切于点D，连结BD、AD．（1）求证；∠BDC＝∠A．（2）若∠C＝45°，⊙O的半径为1，直接写出AC的长．3．（2019·苏州高新区实验初级中学中考模拟）已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD＝30°，且BE＝2，求弦CD的长．知识点二圆的基本性质QUOTE（12弦长）2对称性圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线圆是中心对称图形。垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：过圆心，作垂线，连半径，造RT△2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等圆周角定理（考点）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．【考查题型汇总】考查题型三运用垂径定理进行相关计算1．（2019·苏州高新区第四中学校中考模拟）如图，等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，AB＝AC，tan∠ABC＝13．求BC2．（2019·四川省平昌中学中考模拟）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2．（1）求OD的长．（2）求EC的长．3．（2019·广东中考模拟）如图，OD是⊙O的半径，AB是弦，且OD⊥AB于点C连接AO并延长交⊙O于点E，若AB＝8，CD＝2，求⊙O半径OA的长．考查题型四利用垂径定理解决实际问题1．（2018·山东中考模拟）某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．2．（2017·江西南昌二中中考模拟）用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．3．（2018·山东中考模拟）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你用直尺和圆规作出这个输水管道的圆形截面的圆心(保留作图痕迹)；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝8cm，水面最深地方的高度为2cm，求这个圆形截面的半径．考查题型五圆心角、弧、弦的关系的应用1．（2019·富顺县赵化中学校中考真题）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD、求证：⑴AD=⑵AE=CE.2．（2018·上海中考模拟）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直径．求证：BD=CD．3．（2019·江西中考模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧CD的中点，连接AM，BM，求证：AM＝BM．考查题型六圆周角定理求角的度数1．（2019·辽宁中考模拟）如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．70°2．（2018·江苏中考真题）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．3．（2019·江苏中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC=120°，则∠CDB=_____°．4．（2019·黑龙江中考真题）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC=30∘，则∠AOB考查题型七圆周角定理推论的应用1．（2018·北京中考真题）如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB=CD，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠2．（2018·贵州中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为_____．3.（2019·湖南中考真题）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB=2，∠ACD=30°，则AD=考查题型八利用圆内接四边形的性质定理求角的度数1．（2019·吉林中考模拟）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC=CB．若∠C=110°，则A．55° B．60° C．65°2．（2019·四川中考真题）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（A．30° B．36° C．60°3．（2019·广东中考模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝40°，点D是劣弧BC上一点，连结CD、BD，则∠D的度数是()A．50° B．45° C．140° D．130°4．（2018·辽宁中考模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=80°，则∠ADC的度数是（）A．60° B．80° C．90° D．100°知识点三与圆有关的位置关系点与圆的位置有三种：位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部d>r⇔点P在⊙点在圆上点在圆周上d=r⇔点P在⊙点在圆内点在圆的内部d<r⇔点P在⊙三点定圆的方法：1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．2）经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、3）经过三点时：情况一：过三点的圆：若这三点A、B情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．反证法：首先假设某命题结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。【考查题型汇总】考查题型九点与圆的位置关系1．（2018·北京中考模拟）在平面直角坐标系xOy中，若点P（4，3）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（）A．0＜r＜4 B．3＜r＜4 C．4＜r＜5 D．r＞52．（2017·辽宁中考模拟）矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）．A．点B、C均在圆P外； B．点B在圆P外、点C在圆P内；C．点B在圆P内、点C在圆P外； D．点B、C均在圆P内．3．（2019·上海中考模拟）在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（）A．5 B．4 C．3 D．24．（2016·四川中考模拟）已知矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（）.A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25直线和圆的位置关系位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点d>r⇔直线l与⊙O相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点d=r⇔直线l与⊙O相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线d<r⇔直线l与⊙O切线的性质及判定（重点）切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．切线的判定经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三角形内切圆概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．【考查题型汇总】考查题型十直线与圆的位置关系的应用1．（2019·吉林中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm长为半径作圆，试判断⊙C与AB的位置关系．2．（2014·福建中考模拟）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC的位置关系，并说明理由．考查题型十一利用切线的判定定理判定直线为切线的方法1．（2018·山东中考模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．2．（2019·四川中考模拟）已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B＝30°，延长BA到D，使∠BDC＝30°．(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若AB＝2，求DC的长．考查题型十二三角形内心的应用1．（2018·河北中考真题）如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A． B．4 C．3 D．22．（2019·台湾中考真题）如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为何？（）A． B． C． D．3．（2019·安徽中考模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56° B．62° C．68° D．78°考查题型十三利用切线长定理进行计算1．（2019·河南中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线．交BC于点E．（1）求证：BE=EC（2）填空：①若∠B=30°，AC=2，则DB=______；②当∠B=______度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．2．（2019·陕西高新一中中考模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE(1)求证：EH＝EC；(2)若AB＝4，sinA＝，求AD的长．3．（2019·山东中考模拟）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：∠CAD=∠BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．考查题型十四直角三角形周长、面积与内切圆半径的应用1．（2019·四川中考真题）已知关于的一元二次方程.（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值；（3）若△的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径.2．（2017·江苏中考模拟）实践操作如图，∠△ABC是直角三角形，∠ACB=90，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母.(保留作图痕迹，不写作法)①作∠BAC的平分线，交BC于点0②以点0为圆心，OC为半径作圆.综合运用在你所作的图中，(1)直线AB与⊙0的位置关系是(2)证明:BA·BD=BC·BO;(3)若AC=5,BC=12，求⊙0的半径考查题型十五圆内接四边形综合1.（2016·浙江中考真题）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．（1）求证：BD=CD；（2）若圆O的半径为3，求的长．2．（2017·江苏中考模拟）如图所示，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B两点，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内OB上一点，∠BMO＝120°，求⊙C的半径．圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系的定义、性质及判定：设⊙O1、⊙O2的半径分别为位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．d>R+r⇔外切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．d=R+r⇔相交两个圆有两个公共点．R-r<d<R+r⇔内切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．d=R-r⇔内含两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．0≤d<R-r⇔【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．【考查题型汇总】考查题型十六圆与圆的位置关系1．（2019·上海中考真题）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（）A．11 B．10 C．9 D．82．（2019·福建中考模拟）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜73．（2019·上海市南塘中学中考模拟）已知⊙的半径长是5，点在上，且，如果⊙与⊙有公共点，那么⊙的半径长的取值范围是（）A． B． C． D．4．（2011·江苏中考真题）在△ABC中，∠C=90°．AC=3cm．BC=4cm，若⊙A．⊙B的半径分别为1cm，4cm．则⊙A与⊙B的位置关系是()A．外切 B．内切 C．相交 D．外离5．（2019·上海中考模拟）已知⊙和⊙，其中⊙为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（）A．1 B．4 C．5 D．8考查题型十七利用圆的相关知识解决动态问题1．（2019·河南中考模拟）如图，AB为⊙O的直径，点D、E位于AB两侧的半圆上，射线DC切⊙O于点D，已知点E是半圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE，DE与AB交于点P，再连接FP、FB，且∠AED＝45°．（1）求证：CD∥AB；（2）填空：①当∠DAE＝时，四边形ADFP是菱形；②当∠DAE＝时，四边形BFDP是正方形．知识点四正多边形和圆正多边形正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．正多边形的相关概念：正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．半径、边心距，边长之间的关系：画圆内接正多边形方法：量角器（作法操作复杂，但作图较准确）量角器+圆规（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）圆规+直尺（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）圆锥设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为l弧长公式：l=nπR180扇形面积公式：S母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。圆锥体表面积公式：S=πR2+πRl备注：圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：公式法；②割补法；③拼凑法；④等积变换法【考查题型汇总】考查题型十八正多边形的有关计算1．（2013·四川中考真题）如图，要拧开一个边长为a＝6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为()A．6mm B．12mm C．6mm D．4mm2．（2015·广东中考模拟）正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是()A．10 B．8 C．6 D．5考查题型十九弧长、扇形面积与圆锥侧面积的计算方法1．（2019·盘锦市双台子区第四中学中考模拟）.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA=6，圆心角∠ACB=120°，则此圆锥高OC的长度是_______．2．（2019·贵州中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为___．3．（2019·内蒙古中考模拟）如图，从直径为4cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，且点O、A、B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是_____cm．考查题型二十应用弧长公式解决运动轨迹或扫过面积问题1．（2019·四川中考真题）如图，在中，，将△AOC绕点O顺时针旋转后得到，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）．A． B． C． D．2．（2018·广东中考模拟）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．π3．（2019·天津中考模拟）如图，已知正方形的顶点、在上，顶点、在内，将正方形绕点逆时针旋转，使点落在上.若正方形的边长和的半径均为，则点运动的路径长为（）A． B． C． D．4．（2019·湖州市第五中学中考模拟）如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，扇形CBD的圆心角为60°，点E为CD上一动点，P为AE的中点，当