第19课时全等三角形

第四单元三角形第十九课时全等三角形基础达标训练1.下列说法正确的是()A.全等三角形是指形状相同的两个三角形B.全等三角形是指面积相等的两个三角形C.两个等边三角形是全等三角形D.全等三角形是指两个能完全重合的三角形2.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，补充下列哪一条件后，能应用“SAS”判定△ABC≌△DEF()第2题图A.∠A＝∠DB.∠ACB＝∠DFEC.AC＝DFD.BE＝CF如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是()第3题图第4题图4.(2017眉山)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE＝，则四边形EFCD的周长为()A.14B.13C.12D.105.(2017黔东南州)如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB＝CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件________使得△ABC≌△DEF.第5题图第6题图6.如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，两斜边交于点O，如果AC＝3，那么OD的长为________．7.(2017达州)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．第8题图8.(2017新疆建设兵团)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC＝∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S＝eq\f(1,2)AC·BD.正确的是__________．(填写所有正确结论的序号)9.(6分)(2017云南)如图，点E、C在线段BF上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF.求证：∠ABC＝∠DEF.第9题图10.(6分)(2017南充)如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E，F，DE＝CF，AE＝BF.求证：AC∥BD.第10题图11.(6分)(2017郴州)已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D、E分别为边AB、AC的中点．求证：BE＝CD.第11题图12.(8分)(2017株州模拟)已知△ABN和△ACM位置如图，AB＝AC＝3，BD＝CE＝2，∠B＝∠C.(1)求证：∠1＝∠2；(2)若CM∥AB，求线段CM的长度．第12题图13.(8分)(2017苏州)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED；(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．第13题图14.(8分)(2017湘潭)如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数．第14题图15.(8分)(2017广西四市)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.(1)求证：AE＝CF；(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．第15题图16.(8分)(2017长沙中考模拟卷一)如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别是AC、BC上的两点，AD＝CE，且AE与BD交于点P，BF⊥AE于点F.(1)求证：△ABD≌△CAE；(2)若BP＝6，求PF的长．第16题图能力提升训练1.在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于点F，若BF＝12，则△FBC的面积为()A.40B.46C.48D.50第1题图第2题图2.如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法中正确的个数有()①MN∥AB；②∠DPM＝60°；③∠DAP＝∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE＝30°，则∠AEB＝80°.A.2个B.3个C.4个D.5个3.(2017哈尔滨)如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM＝PN恒成立；(2)OM＋ON的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN的长不变，其中正确的个数为()A.4B.3C.2D.1第3题图4.(9分)(2017重庆B卷)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE.(1)如图①，若AB＝4eq\r(2)，BE＝5，求AE的长；(2)如图②，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD，CF.当AF＝DF时，求证：DC＝BC.第4题图5.eq\a\vs4\al(注重开放探究)(9分)已知四边形ABCD中，AB＝AD,AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE＝AC，连接BE，过点A作AH⊥CD于H，交BE于F.(1)如图①，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF＝EF；(2)如图②，当E不在CD的延长线上时，BF＝EF还成立吗？请证明你的结论．第5题图拓展培优训练如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，若∠B＝35°，BC＝AI＋AC，则∠BAC的度数为________．第1题图答案1.D2.D3.C4.C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，在△OAE和△OCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(∠DAC＝∠ACB,OA＝OC,∠AOE＝∠COF)))，∴△OAE≌△OCF(ASA)，∴CF＝AE，OE＝OF，∵OE＝，∴EF＝2OE＝3，∵▱ABCD的周长为18，∴AD＋DC＝9，∴四边形EFCD的周长＝DE＋EF＋CF＋CD＝DE＋AE＋CD＋EF＝AD＋CD＋EF＝9＋3＝12.5.AC＝DF(答案不唯一)【解析】∵FB＝CE，∴BC＝EF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，由三角形全等的判定定理可知添加的条件为：AC＝DF(SAS)或∠B＝∠E(ASA)或∠A＝∠D(AAS)．【解析】如解图，连接AD，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，且AB＝CD，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是矩形，∴OD＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)AC＝1.5.第6题解图7.1＜m＜4【解析】如解图，延长AD到点E，使AD＝ED，连接CE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵在△ABD和△ECD中，BD＝CD，DE＝AD，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD，∴AB＝EC，∴在△AEC中，AC＋EC＞AE，且EC－AC＜AE，即AB＋AC＞2AD，AB－AC＜2AD，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4，即1＜m＜4.第7题解图8.①④【解析】在△ABC与△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD,BC＝DC,AC＝AC))，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠ABC＝∠ADC，故①正确；∵△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，∴AC平分∠BAD和∠BCD，而AB与BC不一定相等，∴BD不一定平分∠ABC和∠ADC，故③错误；又∵AB＝AD，∠BAC＝∠CAD，∴OB＝OD，∴AC，BD互相垂直，但不互相平分，故②错误；∵AC，BD互相垂直，∴四边形ABCD的面积S＝eq\f(1,2)AC·BO＋eq\f(1,2)AC·OD＝eq\f(1,2)AC·BD.故④正确，综上所述，正确的结论是①④.9.证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE,BC＝EF,AC＝DF))，∴△ABC≌△DEF(SSS)∴∠ABC＝∠DEF.10.证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠AFC＝∠BED＝90°，又∵AE＝BF，∴AE＋EF＝BF＋EF，∴AF＝BE，在△ACF和△BDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AF＝BE,∠AFC＝∠BED,CF＝DE))，∴△ACF≌△BDE(SAS)，∴∠A＝∠B，∴AC∥BD.11.证明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴BD＝eq\f(1,2)AB，CE＝eq\f(1,2)AC，∴BD＝CE，又∵∠ABC＝∠ACB，BC＝CB，∴△CBE≌△BCD(SAS)，∴BE＝CD.12.(1)证明：在△ABD与△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC,∠B＝∠C,BD＝CE))，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠1＝∠2；(2)解：∵CM∥AB，∴∠M＝∠1，又∵∠C＝∠B，∴△AMC∽△DAB，∴eq\f(MC,AB)＝eq\f(AC,BD)，∴MC＝eq\f(AB·AC,BD)＝eq\f(9,2).13.(1)证明：∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE，在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED，在△AEC和△BED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠B,AE＝BE,∠AEC＝∠BED))，∴△AEC≌△BED(ASA)；(2)解：∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE，∵在△EDC中，EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°，∴∠BDE＝∠C＝69°.14.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠CFE，又∵∠AED＝∠FEC，DE＝CE，∴△ADE≌△FCE(AAS)；(2)解：由(1)知，△ADE≌△FCE，∴AD＝FC，∵在▱ABCD中，AD＝BC，AB＝2BC，∴AB＝FB，∴∠BAF＝∠F＝36°，∴∠B＝180°－2×36°＝108°.15.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，∴在△ABE与△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD,∠ABE＝∠CDF,BE＝DF))，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴AE＝CF；(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OB，∵∠COD＝60°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∴AO＝AB＝6，∴AC＝12，在Rt△ABC中，由勾股定理可得BC＝eq\r(AC2－AB2)＝6eq\r(3)，∴矩形ABCD的面积＝AB·BC＝6×6eq\r(3)＝36eq\r(3).16.(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠C，在△ABD和△CAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CA,∠BAD＝∠C,AD＝CE))，∴△ABD≌△CAE(SAS)；(2)解：∵△ABD≌△CAE，∴∠ABD＝∠CAE，∴∠APD＝∠ABP＋∠PAB＝∠BAC＝60°，∴∠BPF＝∠APD＝60°，∴在Rt△BFP中，∠PBF＝30°，∴PF＝eq\f(1,2)BP＝eq\f(1,2)×6＝3.能力提升训练1.C【解析】∵CE⊥BD，∴∠BEF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAF＝90°，∴∠FAC＝∠BAD＝90°，∠ABD＋∠F＝90°，∠ACF＋∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，∵在△ABD和△ACF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAD＝∠CAF,AB＝AC,∠ABD＝∠ACF))，∴△ABD≌△ACF(ASA)，∴AD＝AF，∵AB＝AC，D为AC中点，∴AB＝AC＝2AD＝2AF，∵BF＝AB＋AF＝12，∴3AF＝12，∴AF＝4，∴AB＝AC＝2AF＝8，∴△FBC的面积＝eq\f(1,2)×BF×AC＝eq\f(1,2)×12×8＝48.2.C【解析】∵△DAC、△ECB都是等边三角形，∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ADC＝∠DCE＝60°，∴∠ACE＝∠BCD，∵∠DCE＝60°，∴AD∥CE，∴∠DAP＝∠PEC，故③正确；在△ACE与△DCB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝CD,∠ACE＝∠BCD,CE＝CB))，∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴∠CAE＝∠CDB，又∵∠PMD＝∠AMC，∴∠DPM＝∠ACM＝60°，故②正确；在△ACM与△DCN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CAM＝∠CDN,AC＝CD,∠ACM＝∠DCN＝60°))，∴△ACM≌△DCN(ASA)，故④正确；∴CM＝CN，∴△CMN是等边三角形，∴∠CMN＝60°，∴∠CMN＝∠ACD，∴MN∥AB，故①正确；∵∠DBE＝30°，∠BPE＝∠APD＝60°，∴∠AEB＝90°，故⑤错误．综上所述，正确的个数是①②③④，共4个．第3题解图3.B【解析】如解图，过点P分别作OA、OB的垂线PC、PD，根据角平分线的性质可得PC＝PD，∵OP为定值，∴OC＝OD，∵∠AOB为定角，∠MPN与∠AOB互补，∴∠MPN也为定角，∵∠CPD与∠AOB也互补，∴∠MPN＝∠CPD，∴∠MPC＝∠NPD，∴△MPC≌△NPD，∴CM＝DN，MP＝NP，故(1)正确；∵OM＋ON＝OC＋CM＋OD－DN，∴OM＋ON＝OC＋OD，∵OC＝OD为定长，∴OM＋ON为定长，故(2)正确；∵△MPC≌△NPD，∴S四边形MONP＝S△CMP＋S四边形CONP＝S△NPD＋S四边形CONP＝S四边形CODP，∴四边形MONP面积为定值，故(3)正确；∵Rt△MPC中，MP为斜边，CP为直角边，∴可设MP＝k·CP，∴PN＝k·DP，∵∠MPN＝∠CPD，∴△MPN∽△CPD，其相似比为k，∴MN＝k·CD，当点M与点C重合，点N和点D重合时，MN＝CD，当点M与点C不重合，点N与点D不重合时，MN≠CD，∴MN的长度在发生变化，故(4)错误．4.(1)解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝AB·sin45°＝4，∴在Rt△BCE中，CE＝eq\r(BE2－BC2)＝3，∴AE＝AC－CE＝4－3＝1；(2)证明：如解图，过C点作CM⊥CF交BD于点M，第4题解图∴∠FCM＝90°，∴∠FCA＝∠MCB，∵AF⊥BD，∴∠AFB＝90°，∴∠AFE＝∠ACB，∵∠AEF＝∠BEC，∴∠CAF＝∠CBM，在△ACF和△BCM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FCA＝∠MCB,AC＝BC,∠CAF＝∠CBM))，∴△ACF≌△BCM(ASA)，∴FC＝MC，又∵∠FCM＝90°，∴∠CFM＝∠CMF＝45°，∴∠AFC＝∠AFB＋∠CFM＝90°＋45°＝135°，∠DFC＝180°－∠CFM＝180°－45°＝135°，∴∠AFC＝∠DFC，在△ACF和△DCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AF＝DF,∠AFC＝∠DFC,CF＝CF))，∴△ACF≌△DCF(SAS)，∴AC＝DC，∵AC＝BC，∴DC＝BC.5.解：(1)证明：①∵AB⊥AD，AE⊥AC，∴∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD－∠CAD＝∠CAE－∠CAD，即∠BAC＝∠DAE，又∵AB＝AD，AC＝AE，∴△ABC≌△ADE(SAS)；②由①知△ABC≌△ADE，AE＝AC，∠ACB＝∠AED，∵AH⊥CD，∴∠AED＝∠ACD＝45°，CH＝HE，∴∠ACB＝∠AED＝45°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，∴AH∥BC，∴点F是BE的中点，即BF＝EF；第5题解图(2)成立．证明如下：如解图，过点B作BG∥AE，交AH于点G