2020年中考数学真题分项汇编专题30函数与几何综合问题 (含解析)

专题30函数与几何综合问题一．解答题（共30小题）1．（2020•扬州）如图，已知点A（1，2）、B（5，n）（n＞0），点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k（1）当n＝1时．①求线段AB所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．【分析】（1）①把n＝1代入确定出B的坐标，利用待定系数法求出线段AB所在直线的解析式即可；②若n＝1，完全同意小明的说法，求出正确k的最大值与最小值即可；（2）若小明的说法完全正确，把A与B坐标代入反比例解析式，并列出不等式，求出解集即可确定出n的范围．【解析】（1）①当n＝1时，B（5，1），设线段AB所在直线的函数表达式为y＝kx+b，把A（1，2）和B（5，1）代入得：k+b=25k+b=1解得：k=−1则线段AB所在直线的函数表达式为y=−14x②不完全同意小明的说法，理由为：k＝xy＝x（−14x+94）=−14（∵1≤x≤5，∴当x＝1时，kmin＝2；当x=92时，kmax则不完全同意；（2）当n＝2时，A（1，2），B（5，2），符合；当n≠2时，y=n−24xk＝x（n−24x+10−n4）=n−24（x先增大当x取92时，k为8116，为最大，到即在直线上A到x=9当92＜x≤5时，当n＜2时，k随x的增大而增大，则有n−102n−4此时109≤当n＞2时，k随x的增大而增大，则有n−102n−4此时n＞2，综上，n≥102．（2020•泰州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．（1）用含x的代数式表示AD的长；（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．【分析】（1）由平行线分线段成比例定理，用x表示CD，进而求得结果；（2）根据三角形的面积公式列出函数解析式，再根据函数性质求出S随x增大而减小时x的取值范围．【解析】（1）∵PD∥AB，∴CPCB∵AC＝3，BC＝4，CP＝x，∴x4∴CD=3∴AD＝AC﹣CD＝3−3即AD=−3（2）根据题意得，S=1∴当x≥2时，S随x的增大而减小，∵0＜x＜4，∴当S随x增大而减小时x的取值范围为2≤x＜4．3．（2020•滨州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x﹣1与直线y＝﹣2x+2相交于点P，并分别与x轴相交于点A、（1）求交点P的坐标；（2）求△PAB的面积；（3）请把图象中直线y＝﹣2x+2在直线y=−12x﹣1上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得交点P的坐标；（2）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；（3）根据图象求得即可．【解析】（1）由y=−12x−1∴P（2，﹣2）；（2）直线y=−12x﹣1与直线y＝﹣2x+2中，令y＝0，则−12x﹣1＝0与解得x＝﹣2与x＝1，∴A（﹣2，0），B（1，0），∴AB＝3，∴S△PAB=1（3）如图所示：自变量x的取值范围是x＜2．4．（2020•襄阳）如图，反比例函数y1=mx（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（（1）m＝4，n＝2；（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数y1=mx（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标；（2）分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y1＜y2时x的取值范围；（3）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得．【解析】（1）∵把A（1，4）代入y1=mx（x＞0）得：m＝1∴y=4∵把B（n，2）代入y=4x得：2解得n＝2；故答案为4，2；（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：k+b=42k+b=2解得：k＝﹣2，b＝6，即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；（3）∵点P是反比例函数y1=mx（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为∴S△POM=12|m|故答案为2．5．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（4，32），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C（1）m＝6，点C的坐标为（2，0）；（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标；（2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△ODE=−38（x﹣1）2【解析】（1）∵反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（4，∴m=4×3∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．∴C（2，0）；故答案为6，（2，0）；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，32），C（2，0）代入得4k+b=32∴直线AB的解析式为y=34x∵点D为线段AB上的一个动点，∴设D（x，34x−32）（0＜∵DE∥y轴，∴E（x，6x∴S△ODE=12x•（6x−34x+32）=−38x2+∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为2786．（2020•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═kx（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F（1）求双曲线y=kx（k≠0）和直线（2）求△DEC的面积．【分析】（1）作DM⊥y轴于M，通过证得△AOB≌△DMA（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y=kx（k≠0）和直线（2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积．【解析】∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），∴OA＝2，OB＝1，作DM⊥y轴于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠OAB+∠DAM＝90°，∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠DAM＝∠ABO，在△AOB和△DMA中∠ABO=∠DAM∠AOB=∠DMA=90°∴△AOB≌△DMA（AAS），∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，∴D（2，3），∵双曲线y═kx（k≠0）经过D∴k＝2×3＝6，∴双曲线为y=6设直线DE的解析式为y＝mx+n，把B（1，0），D（2，3）代入得m+n=02m+n=3，解得m=3∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；（2）连接AC，交BD于N，∵四边形ABCD是正方形，∴BD垂直平分AC，AC＝BD，解y=3x−3y=6x得x=2∴E（﹣1，﹣6），∵B（1，0），D（2，3），∴DE=(2+1)2+(3+6)2∴CN=12BD∴S△DEC=12DE•CN7．（2020•牡丹江）如图，已知直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段OA的长是方程x2﹣7x﹣18＝0的一个根，OB=12（1）求点A，B的坐标；（2）直线EF交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线AB于点C．若C是EF的中点，OE＝6，反比例函数y=kx图象的一支经过点C，求（3）在（2）的条件下，过点C作CD⊥OE，垂足为D，点M在直线AB上，点N在直线CD上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）解一元二次方程，得到点A的坐标，再根据OB=12OA可得点（2）利用待定系数法求出直线AB的表达式，根据点C是EF的中点，得到点C横坐标，代入可得点C坐标，根据点C在反比例函数图象上求出k值；（3）画出图形，可得点P共有5个位置，分别求解即可．【解析】（1）∵线段的长是方程的一个根，解得：x＝9或﹣2（舍），而点A在x轴正半轴，∴A（9，0），∵OB=12∴B（0，92（2）∵OE＝6，∴E（﹣6，0），设直线AB的表达式为y＝kx+b，将点A和B的坐标代入，得：0=9k+b92=b∴AB的表达式为：y=−1∵点C是EF的中点，∴点C的横坐标为﹣3，代入AB中，y＝6，则C（﹣3，6），∵反比例函数y=kx经过点则k＝﹣3×6＝﹣18；（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，在四边形DM1P1N1中，M1和点A重合，∴M1（9，0），此时P1（9，12）；在四边形DP3BN3中，点B和M重合，可知M在直线y＝x+3上，联立：y=x+3y=−解得：x=1y=4∴M（1，4），∴P3（1，0），同理可得：P2（9，﹣12），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，点P的坐标为P1（9，12），P2（9，﹣12），P3（1，0），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．8．（2020•广元）如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（3，4），B（n，（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点C的坐标；（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．【分析】（1）先把A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数的解析，再把B点坐标代入所求得的反比例函数的解析式，求得B点坐标，最后用待定系数法求出一次函数的解析式便可；（2）分三种情况：OA＝OC，AO＝AC，CA＝CO，分别求解即可；（3）根据图象得出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围即可．【解析】（1）把A（3，4）代入y=m∴m＝12，∴反比例函数是y=12把B（n，﹣1）代入y=12x得n＝把A（3，4）、B（﹣12，﹣1）分别代入y＝kx+b中，得3k+b=4−12k+b=−1解得k=1∴一次函数的解析式为y=1（2）∵A（3，4），∴OA=3∵△AOC为等腰三角形，分三种情况：①当OA＝OC时，OC＝5，此时点C的坐标为（5，0），（﹣5，0）；②当AO＝AC时，∵A（3，4），点C和点O关于过A点且垂直于x轴的直线对称，此时点C的坐标为（6，0）；③当CA＝CO时，点C在线段OA的垂直平分线上，过A作AD⊥x轴，垂足为D，由题意可得：OD＝3，AD＝4，AO＝5，设OC＝x，则AC＝x，在△ACD中，42+（x﹣3）2＝x2，解得：x=25此时点C的坐标为(25综上：点C的坐标为：（6，0），（5，0），(256，0)（3）由图得：当一次函数图象在反比例函数图象上方时，﹣12＜x＜0或x＞3，即使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是：﹣12＜x＜0或x＞3．9．（2020•常州）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y=8x（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．【分析】（1）把把点A（a，4）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；（2）根据BD＝10，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进行计算即可．【解析】（1）把点A（a，4）代入反比例函数y=8x（a=8∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，∴正比例函数的关系式为y＝2x，答：a＝2，正比例函数的关系式为y＝2x；（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，∴OB＝5，当x＝5代入y=8x得，y=85∴CD＝BD﹣BC＝10−8∴S△ACD=12×10．（2020•荆州）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=2（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝1；x…﹣3﹣2﹣1−112123…y…2312442m23…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①函数的图象关于y轴对称；②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y=2|x|的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝4；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y=k|x|（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝2k【分析】（1）根据表格中的数据的变化规律得出当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，求出m的值；补全图象；（2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质；（3）由图象的对称性，和四边形的面积与k的关系，得出答案．【解析】（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，∴m＝1，故答案为：1；补全图象如图所示：（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC＝4S△OAM＝4×12|k|＝2|②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，③S四边形OABC＝2|k|＝2k，故答案为：4，4，2k．11．（2020•攀枝花）如图，过直线y＝kx+12上一点P作PD⊥x轴于点D，线段PD交函数y=mx（x＞0）的图象于点C，点C为线段PD的中点，点C关于直线y＝（1）求k、m的值；（2）求直线y＝kx+12与函数y=m（3）直接写出不等式mx＞kx+1【分析】（1）根据点C′在反比例函数图象上求出m值，利用对称性求出点C的坐标，从而得出点P坐标，代入一次函数表达式求出k值；（2）将两个函数表达式联立，得到一元二次方程，求解即可；（3）根据（2）中交点坐标，结合图象得出结果．【解析】（1）∵C′的坐标为（1，3），代入y=mx（得：m＝1×3＝3，∵C和C′关于直线y＝x对称，∴点C的坐标为（3，1），∵点C为PD中点，∴点P（3，2），将点P代入y＝kx+1∴解得：k=1∴k和m的值分别为：3，12（2）联立：y=12x+12y=3解得：x1＝2，x2＝﹣3（舍），∴直线y＝kx+12与函数y=mx（（3）∵两个函数的交点为：（2，32由图象可知：当0＜x＜2时，反比例函数图象在一次函数图象上面，∴不等式mx＞kx+12（12．（2020•岳阳）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，求【分析】（1）根据一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），可得（2）根据一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），可得y＝x+5﹣b，根据平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，联立方程根据判别式＝0即可求出【解析】（1）∵一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，∴m＝4，∴k＝﹣1×4＝﹣4，∴反比例函数解析式为：y=−4（2）∵一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），∴y＝x+5﹣b，∵平移后的图象与反比例函数y=k∴x+5﹣b=−4∴x2+（5﹣b）x+4＝0，∵△＝（5﹣b）2﹣16＝0，解得b＝9或1，答：b的值为9或1．13．（2020•江西）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2（1）求反比例函数的解析式；（2）求∠EOD的度数．【分析】（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y=kx（x＞0），求得（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质越久三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD＝15°．【解析】（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∵OA＝22，∴OD＝AD＝2，∴A（2，2），∵顶点A在反比例函数y=kx（∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y=4（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，∴OA＝AE，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴CE＝AE＝BE，∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，∵BC∥x轴，∴∠EOD＝∠ECB，∴∠AOE＝2∠EOD，∵∠AOD＝45°，∴∠EOD＝15°．14．（2020•泰安）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2（1）求反比例函数的表达式；（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．【分析】（1）点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，则3×a＝（14﹣2a）×2，即可求解；（2）a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），求出一次函数的表达式为：y=−23x+6，则点C（0，6），故【解析】（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y=12（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则4=3k+b2=6k+6，解得k=−故一次函数的表达式为：y=−23当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6，而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，△ACD的面积=12×CD•xA=15．（2020•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y=k（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，连接OB【分析】（1）联立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=−2y=4，故点A（2）S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC•AM−1【解析】（1）联立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=−2y=4，故点A将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4=k−2，解得：k＝故反比例函数表达式为：y=−8x（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，当x＝﹣8时，y=12x+5＝1，故点B（设y=12x+5交x轴于点C（﹣10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC•AM−1216．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△DPQ面积的最大值．【分析】（1）由A（0，﹣4）、B（2，0）的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点C的坐标，确定反比例函数的关系式；（2）根据题意，要使三角形PDQ的面积最大，可用点P的横坐标n，表示三角形PDQ的面积，依据二次函数的最大值的计算方法求出结果即可．【解析】（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，b=−42k+b=0，解得，k=2∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，∴点C（3，2），∵点C在反比例函数的图象上，∴k＝3×2＝6，∴反比例函数的关系式为y=6答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y=6（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，∴点P（n，6n），点Q（n，2n﹣∴PQ=6n−（2∴S△PDQ=12n[6n−（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n∴当n＝1时，S最大＝4，答：△DPQ面积的最大值是4．17．（2020•天水）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△（1）分别求出a和b的值；（2）结合图象直接写出mx+n＞kx中（3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值时，求出点P的坐标．【分析】（1）根据△AOC的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定k的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点A、B的坐标，求出a、b的值；（2）根据图象直接写出mx+n＞k（3）求出点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），根据题意直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，求出直线A′B的关系式，进而求出与y轴的交点坐标即可．【解析】（1）∵△AOC的面积为4，∴12|k解得，k＝﹣8，或k＝8（不符合题意舍去），∴反比例函数的关系式为y=−8把点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1）代入y=−8a＝4，b＝8；答：a＝4，b＝8；（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+n＞kx的解集为x＜﹣2或0＜（3）∵点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），又B（8，﹣1），则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，设直线A′B的关系式为y＝cx+d，则有2c+d=48c+d=−1解得，c=−5∴直线A′B的关系式为y=−56x∴直线y=−56x+173与即点P的坐标为（0，17318．（2020•青海）如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线y=−12x2+bx+c经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积．（请在图1中探索）（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）【分析】（1）用待定系数法解答便可；（2）求出抛物线与坐标轴的交点A、D坐标及抛物线顶点M的坐标，再将四边形ABMC的面积分为三角形的面积的和，进行计算便可；（3）分两种情况：AB为平行四边形的边；AB为平行四边形的对角线．分别解答便可．【解析】（1）把B（3，0）和D（﹣2，−5−9解得，b=1c=∴抛物线的解析式为：y=−1（2）令x＝0，得y=−1∴C(0，3令y＝0，得y=−1解得，x＝﹣1，或x＝3，∴A（﹣1，0），∵y=−1∴M（1，2），∴S四边形ABMC＝S△AOC+S△COM+S△MOM=1=1（3）设Q（0，n），①当AB为平行四边形的边时，有AB∥PQ，AB＝PQ，a）．Q点在P点左边时，则Q（﹣4，n），把Q（﹣4，n）代入y=−1n=−21∴P（﹣4，−21②Q点在P点右边时，则Q（4，n），把Q（4，n）代入y=−1n=−5∴P（4，−5③当AB为平行四边形的对角线时，如图2，AB与PQ交于点E，则E（1，0），∵PE＝QE，∴P（2，﹣n），把P（2，﹣n）代入y=−1﹣n=3∴n=−3∴P（2，32综上，满足条件的P点坐标为：（﹣4，−212）或（4，−519．（2020•山西）综合与探究如图，抛物线y=14x2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．【分析】（1）令y＝0，便可由抛物线的解析式求得A、B点坐标，用待定系数法求得直线AD的解析式；（2）设P（m，14m2﹣m﹣3），用m表示N点坐标，分两种情况：PM＝3MN；PM＝3PN．分别列出m（3）分两种情况，Q点在y轴正半轴上时；Q点在y轴负半轴上时．分别解决问题．【解析】（1）令y＝0，得y=14x2﹣x解得，x＝﹣2，或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），则−2k+b=04k+b=−3解得，k=−1∴直线l的解析式为y=−1（2）如图1，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为P（m，14m2﹣m﹣3），N（m，−12∴PM=−14m2+m+3，MN=12m+1，NP=−1分两种情况：①当PM＝3MN时，得−14m2+m+3＝3（1解得，m＝0，或m＝﹣2（舍），∴P（0，﹣3）；②当PM＝3NP时，得−14m2+m+3＝3（−14m解得，m＝3，或m＝﹣2（舍），∴P（3，−15∴当点N是线段PM的三等分点时，点P的坐标为（3，−154）或（0，（3）∵直线ly=−12x−1与y∴点E的坐标为（0，﹣1），分再种情况：①如图2，当点Q在y轴的正半轴上时，记为点Q1，过Q1作Q1H⊥AD于点H，则∠QE＝∠AOE＝90°，∵∠Q1EH＝∠AEO，∴△Q1EH∽△AEO，∴Q1H∴Q1H＝2HE，∵∠Q1DH＝45°，∠Q1HD＝90°，∴Q1H＝DH，∴DH＝2EH，∴HE＝ED，连接CD，∵C（0，﹣3），D（4，﹣3），∴CD⊥y轴，∴ED=C∴HE=ED=25，Q∴Q1∴Q1O＝Q1E﹣OE＝9，∴Q1（0，9）；②如图3，当点Q在y轴的负半轴上时，记为点Q2，过Q2作Q2G⊥AD于G，则∠Q2GE＝∠AOE＝90°，∵∠Q2EG＝∠AEO，∴△Q2GE∽△AOE，∴Q2GAO∴Q2G＝2EG，∵∠Q2DG＝45°，∠Q2GD＝90°，∴∠DQ2G＝∠Q2DG＝45°，∴DG＝Q2G＝2EG，∴ED＝EG+DG＝3EG，由①可知，ED＝25，∴3EG＝25，∴EG=2∴Q2∴EQ∴OQ∴Q2综上，点Q的坐标为（0.9）或（0，−1320．（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），由三角形的面积公式求得△MDB的面积关于m的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m的值，进而得P点的坐标；（3）分三种情况：M为直角顶点；N为直角顶点；Q为直角顶点．分别得出Q点的坐标．【解析】（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，解得x＝6，∴B（6，0），令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，∴D（0，﹣6），∵点C与点D关于x轴对称，∴C（0，6），把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得−36+6b+c=0c=6解得，b=5c=6∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），则MN＝﹣m2+4m+12，∴△MDB的面积=12MN⋅OB=−3m2+12m+36═﹣3（m﹣∴当m＝2时，△MDB的面积最大，此时，P点的坐标为（2，0）；（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，解得，n＝4±55∴Q（0，4+55）或（0，4−综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+55）或（0，4−21．（2020•衢州）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y=−83x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为①线段EF长度是否有最小值．②△BEF能否成为直角三角形．小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．【分析】（1）根据描点法画图即可；（2）过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），由全等三角形的性质得出FG＝DH，可求出F（﹣m，﹣2m+4），根据勾股定理得出l＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，由二次函数的性质可得出答案；（3）分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出m的方程，解方程求出m的值，则可求出答案．【解析】（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．（2）如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，则∠FGK＝∠DHK＝90°，记FD交y轴于点K，∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，∴KF＝KD，∵∠FKG＝∠DKH，∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），∴FG＝DH，∵直线AC的解析式为y=−83∴x＝0时，y＝4，∴A（0，4），又∵B（﹣2，0），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴−2k+b=0b=4解得k=2b=4∴直线AB的解析式为y＝2x+4，过点F作FR⊥x轴于点R，∵D点的橫坐标为m，∴F（﹣m，﹣2m+4），∴ER＝2m，FR＝﹣2m+4，∵EF2＝FR2+ER2，∴l＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，令−8x3+4＝0，得∴0≤m≤3∴当m＝1时，l的最小值为8，∴EF的最小值为22．（3）①∠FBE为定角，不可能为直角．②∠BEF＝90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m＝0．③如图3，∠BFE＝90°时，有BF2+EF2＝BE2．由（2）得EF2＝8m2﹣16m+16，又∵BR＝﹣m+2，FR＝﹣2m+4，∴BF2＝BR2+FR2＝（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2＝5m2﹣20m+20，又∵BE2＝（m+2）2，∴（5m2﹣20m+20）+（8m2﹣16m+16）＝（m+2）2，化简得，3m2﹣10m+8＝0，解得m1=43，m∴m=4综合以上可得，当△BEF为直角三角形时，m＝0或m=422．（2020•株洲）如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．①求证：△OAE≌△BOF；②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．【分析】（1）由点E为线段OC的中点，可得E点坐标为(0，52)，进而可知A点坐标为：（2）①由△OAB为等腰直角三角形，可得AO＝OB，再根据同角的余角相等可证∠AOE＝∠FBO，由AAS即可证明△OAE≌△BOF；②由“ZJ距离”的定义可知d（M，N）为MN两点的水平离与垂直距离之和，故d（A，C）+d（A，B）＝BF+CF，即只需求出B点坐标即可，设点A（1，m），由△OAE≌△BOF可得B（m，﹣1），进而代入直线AB解析式求出k值即可解答．【解析】（1）∵点E为线段OC的中点，OC＝5，∴OE=12OC=52又∵AE⊥y轴，AE＝1，∴A(1，∴k=1×5（2）①在△OAB为等腰直角三角形中，AO＝OB，∠AOB＝90°，∴∠AOE+∠FOB＝90°，又∵BF⊥y轴，∴∠FBO+∠FOB＝90°，∴∠AOE＝∠FBO，在△OAE和△BOF中，∠AEO=∠OFB=90°∠AOE=∠FBO∴△OAE≌△BOF（AAS），②解：设点A坐标为（1，m），∵△OAE≌△BOF，∴BF＝OE＝m，OF＝AE＝1，∴B（m，﹣1），设直线AB解析式为：lAB：y＝kx+5，将AB两点代入得：则k+5=mkm+5=−1解得k1=−3m当m＝2时，OE＝2，OA=5，S∴d（A，C）+d（A，B）＝AE+CE+（BF﹣AE）+（OE+OF）＝1+CE+OE﹣1+OE+1＝1+CE+2OE＝1+CO+OE＝1+5+2＝8，当m＝3时，OE＝3，OA=10，S△AOB综上所述：d（A，C）+d（A，B）＝8．23．（2020•广东）如图，点B是反比例函数y=8x（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接（1）填空：k＝2；（2）求△BDF的面积；（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．【分析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（12s，12t），则k=12s•1（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD，即可求解；（3）确定直线DE的表达式为：y=−12m2x+52m，令y＝0，则x【解析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（12s，12则k=12s•12t故答案为2；（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD=12×（3）设点D（m，2m），则点B（4m，2∵点G与点O关于点C对称，故点G（8m，0），则点E（4m，12m设直线DE的表达式为：y＝sx+n，将点D、E的坐标代入上式得2m=ms+n1故直线DE的表达式为：y=−12m2x+52m，令y＝0，则x故FG＝8m﹣5m＝3m，而BD＝4m﹣m＝3m＝FG，则FG∥BD，故四边形BDFG为平行四边形．24．（2019•沈阳）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．（1）k的值是−12（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长；②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为334，请直接写出点C【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出k值；（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标，由平行四边形的性质结合点E为OB的中点可得出CE是△ABO的中位线，结合点A的坐标可得出CE的长，在Rt△DOE中，利用勾股定理可求出DE的长，再利用平行四边形的周长公式即可求出▱OCED的周长；②设点C的坐标为（x，−12x+4），则CE＝|x|，CD＝|−12x+4|，利用三角形的面积公式结合△CDE的面积为【解析】（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，解得：k=−1故答案为：−1（2）①由（1）可知直线AB的解析式为y=−12当x＝0时，y=−12∴点B的坐标为（0，4），∴OB＝4．∵点E为OB的中点，∴BE＝OE=12∵点A的坐标为（8，0），∴OA＝8．∵四边形OCED是平行四边形，∴CE∥DA，∴BCAC∴BC＝AC，∴CE是△ABO的中位线，∴CE=12∵四边形OCED是平行四边形，∴OD＝CE＝4，OC＝DE．在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2，∴DE=OD2∴C平行四边形OCED＝2（OD+DE）＝2（4+25）＝8+45．②设点C的坐标为（x，−12x+4），则CE＝|x|，CD＝|−∴S△CDE=12CD•CE＝|−14x2+2∴x2﹣8x+33＝0或x2﹣8x﹣33＝0．方程x2﹣8x+33＝0无解；解方程x2﹣8x﹣33＝0，得：x1＝﹣3，x2＝11，∴点C的坐标为（﹣3，112）或（11，−25．（2020•绥化）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m（1）求反比例函数y1=kx（x＞0）的解析式和直线（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是5+13【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（1，4），解方程和方程组即可得到结论；（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为y=−23x（3）根据勾股定理即可得到结论．【解析】（1）∵点D是边AB的中点，AB＝2，∴AD＝1，∵四边形OABC是矩形，BC＝4，∴D（1，4），∵反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点∴k＝4，∴反比例函数的解析式为y=4x（当x＝2时，y＝2，∴E（2，2），把D（1，4）和E（2，2）代入y2＝mx+n（m≠0）得，2m+n=2m+n=4∴m=−2n=6∴直线DE的解析式为y＝﹣2x+6；（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，∵D点的坐标为（1，4），∴D′的坐标为（﹣1，4），设直线D′E的解析式为y＝ax+b，∴4=−a+b2=2a+b解得：a=−2∴直线D′E的解析式为y=−23x令x＝0，得y=10∴点P的坐标为（0，103（3）∵D（1，4），E（2，2），∴BE＝2，BD＝1，∴DE=1由（2）知，D′的坐标为（﹣1，4），∴BD′＝3，∴D′E=2∴△PDE的周长最小值＝DE+D′E=5故答案为：5+26．（2019•大连）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−34x+3与x轴，y轴分别相交于点A，B，点C在射线BO上，点D在射线BA上，且BD=53OC，以CO，CD为邻边作▱COED．设点C的坐标为（0，m），▱COED在（1）线段AB的长；（2）S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．【分析】（1）由直线y=−34x+3与令x＝0，或y＝0，分别求出对应的y、x的值，从而确定A、（2）分两种情况进行分别探究，一种是点C在y轴的正半轴，即①当32＜m≤3时，②当0＜m≤32时，另一种是点C在y轴的负半轴，即，③当﹣3＜m≤0时，④当m＜﹣3时，分别画出相应的图象，根据三角形相似，求出相应的边的长用含有m的代数式表示，再表示面积，从而确定在不同情况下【解析】（1）当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝4，∴直线y=−34x+3与x轴点交A（4，0），与y轴交点∴OA＝4，OB＝3，∴AB=3因此：线段AB的长为5．（2）当CD∥OA时，如图，∵BD=53OC，OC＝∴BD=53由△BCD∽△BOA得：BDBA=BCBO，即：5①当32＜m≤3时，如图1所示：过点D作DF⊥OB，垂足为此时在x轴下方的三角形与△CDF全等，∵△BDF∽△BAO，∴BDDF∴DF=43m，同理：BF∴CF＝2m﹣3，∴S△CDF=12DF⋅CF=12（2m﹣3）×4即：S=43m2﹣2m，（32②当0＜m≤32时，如图2所示：DE＝m≤32，此时点ES＝0（0＜m≤3③当﹣3＜m≤0时，如图3所示：同理可得：点D（−43m，设直线CD关系式为y＝kx+b，把C（0，m）、D（−43m，b=m−43mk+b=m+3，解得：k=−9直线CD关系式为y=−94mx+当y＝0时，0=−94mx+m，解得x=F（49∴S△COF=12OC•OF=12（﹣m）即：S=−29m3，（﹣3＜m④当m＜﹣3时，如图4所示：同理可得：点D（−43m，此时，DF＝﹣m﹣3，OC＝﹣m，OF=−4∴S梯形OCDF=12（﹣m﹣3﹣m）×（−即：S=43m2+2m综上所述：S与m的函数关系式为：S=427．（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝﹣4；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．【分析】（1）将点C坐标代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，可得点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，可得∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=AEEC=13，∠BCF＝45°，由勾股定理逆定理可得∠BCD＝90°，可求∠ACE＝∠DBC，可得∠ACB＝∠CFD，可得点F当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，先求直线BD解析式，点F坐标，由中点坐标公式可求点Q坐标，求出CQ解析式，联立方程组，可求点P坐标；（3）设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，先求出∠CNH＝45°，由轴对称的性质可得EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，由“AAS”可证△EMN≌△NKF，可得EM＝NK=95，MN＝KF，可求CF＝6，由轴对称的性质可得点【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），∴0＝1+b+3，∴b＝﹣4，故答案为：﹣4；（2）∵b＝4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，∴点A（0，3），3＝x2﹣4x，∴x1＝0（舍去），x2＝4，∴点B（4，3），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点D坐标（2，﹣1），如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=AE∴∠BCF＝45°，∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），∴BC=9+9=32，CD=1+1=2，∵BC2+CD2＝20＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠DBC=CDBC=2∴∠ACE＝∠DBC，∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，∴∠ACB＝∠CFD，又∵∠CQD＝∠ACB，∴点F与点Q重合，∴点P是直线CF与抛物线的交点，∴0＝x2﹣4x+3，∴x1＝1，x2＝3，∴点P（3，0）；当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，∵CH⊥DB，HF＝QH，∴CF＝CQ，∴∠CFD＝∠CQD，∴∠CQD＝∠ACB，∵CH⊥BD，∵点B（4，3），点D（2，﹣1），∴直线BD解析式为：y＝2x﹣5，∴点F（52∴直线CH解析式为：y=−12x∴y=−1解得x=11∴点H坐标为（115，−∵FH＝QH，∴点Q（1910，−∴直线CQ解析式为：y=−43x联立方程组y=−4解得：x1=1y∴点P（53，−综上所述：点P的坐标为（3，0）或（53，−（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，∵点A（0，3），点C（1，0），∴直线AC解析式为：y＝﹣3x+3，∴y=−3x+3y=2x−5∴x=8∴点N坐标为（85，−∵点H坐标为（115，−∴CH2＝（115−1）2+（35）2=95，HN2＝（115−8∴CH＝HN，∴∠CNH＝45°，∵点E关于直线BD对称的点为F，∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，∴∠ENF＝90°，∴∠ENM+∠FNM＝90°，又∵∠ENM+∠MEN＝90°，∴∠MEN＝∠FNM，∴△EMN≌△NKF（AAS）∴EM＝NK=95，MN＝∴点E的横坐标为−1∴点E（−15，∴MN=275∴CF=8∵点F关于直线BC对称的点为G，∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，∴∠GCF＝90°，∴点G（1，6），∴AG=128．（2020•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．【分析】（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），即可求解；（2）①分点P（P′）在点C的右侧、点P在点C的左侧两种情况，分别求解即可；②证明△AGR≌△RHM（AAS），则点M（m+n，n﹣m﹣3），利用点M在抛物线上和AR＝NR，列出等式即可求解．【解析】（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①；（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3；tan∠BCO=13，则cos∠BCO①当点P（P′）在点C的右侧时，∵∠PAB＝∠BCO，故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；当点P在点C的左侧时，设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，∵∠PAB＝∠BCO，∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×2解得：CH=53，则OH＝3﹣CH=43，故点由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y=43x−联立①②并解得：x=−5y=−8故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO=1故设直线AP的表达式为：y=13x+s，将点A的坐标代入上式并解得：故直线AP的表达式为：y=13联立①③并解得：x=43y=139，故点N设△AMN的外接圆为圆R，当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，∴∠RMH＝∠GAR，∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，∴△AGR≌△RHM（AAS），∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，∴点M（m+n，n﹣m﹣3），将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③，由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m−43）2+（139）联立③④并解得：m=−2故点M（−43，29．（2020•哈尔滨）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为y=34x，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，（1）如图1，求直线AB的解析式；（2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求PEOD（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG=2AF，求点P【分析】（1）求出A，B两点坐标，利用待定系数法解决问题即可．（2）由题意直线ON的解析式为y＝3x，设点E的横坐标为4a，则D（4a，0），求出PE，OD（用a表示）即可解决问题．（3）如图3中，设直线FG交CA的延长线于R，交y轴于S，过点F作FT⊥OA于T．证明△OFS≌△FQR（AAS），推出SF＝QR，再证明△BSG≌△QRG（AAS），推出SG＝GR＝6，设FR＝m，则AR＝m，AF=2m，QR＝SF＝12﹣m，GQ﹣FG=2AF，根据GQ2＝GR2+QR2，可得（m+6）2＝62+（12﹣m）2，解得m＝4，由题意tan∠DHE＝tan∠DPH，可得DEDH=DHPD，由（2）可知DE＝3a，PD＝12a，推出3aDH=DH12a，可得DH＝6a，推出tan∠PHD=PDDH=12a6a=2，由∠PHD＝∠FHT，可得tan【解析】（1）∵CM⊥y轴，OM＝9，∴y＝9时，9=34x，解得∴C（12，9），∵AC⊥x轴，∴A（12，0），∵OA＝OB，∴B（0，﹣12），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有b=−1212k+b=0解得k=1b=−12∴直线AB的解析式为y＝x﹣12．（2）如图2中，∵∠CMO＝∠MOA＝∠OAC＝90°，∴四边形OACM是矩形，∴AO＝CM＝12，∵NC＝OM＝9，∴MN＝CM﹣NC＝12﹣9＝3，∴N（3，9），∴直线ON的解析式为y＝3x，设点E的横坐标为4a，则D（4a，0），∴OD＝4a，把x＝4a，代入y=34x中，得到y＝3∴E（4a，3a），∴DE＝3a，把x＝4a代入，y＝3x中，得到y＝12a，∴P（4a，12a），∴PD＝12a，∴PE＝PD﹣DE＝12a﹣3a＝9a，∴PEOD（3）如图3中，设直线FG交CA的延