【解析】2023-2023高考数学真题分类汇编16 等比数列

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2023-2023高考数学真题分类汇编16等比数列

一、选择题

1．（2023·全国甲卷）记为等比数列的前项和．若，则（）

A．7B．8C．9D．10

【答案】A

【知识点】等比数列的性质

【解析】【解答】由题意知S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，

即4，2，S6-6成等比数列，

则4×（S6-6）=22

解得S6=7

故答案为：A

【分析】根据等比数列的性质直接求解即可.

2．（2023·全国甲卷）已知正项等比数列中，为前n项和，，则（）

A．7B．9C．15D．30

【答案】C

【知识点】等比数列的前n项和

【解析】【解答】根据题意，设数列的公比为q(q>1)，

∴，同理，

由，

∴，整理得，解得，

∴.

故选：C.

【分析】根据题意设出公比，利用等比数列前n项和公式将已知条件转化成关于q的方程从而解出q，即可算出.

3．（2023·天津卷）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（）

A．3B．18C．54D．152

【答案】C

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和

【解析】【解答】∵①，

∴②

由①－②得，，即，

∴公比为3，

当n=1时，，解得，

，

故选：C.

【分析】由递推公式与关系得出数列公比为，再由递推公式当n=1时，求出首项即得的值.

4．（2023·新高考Ⅱ卷）记为等比数列的前n项和，若则（）

A．120B．85C．-85D．120

【答案】C

【知识点】等比数列的前n项和

【解析】【解答】数列为等比数列，

显然当时不符合题意，

，

，，

，，

解得，

代入得，

故选：C

【分析】直接利用等比通项公式，代入条件解出公比，为避免分类讨论跳过求a1，得到值关系即得答案。

5．（2022·全国乙卷）已知等比数列的前3项和为168，，则（）

A．14B．12C．6D．3

【答案】D

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和

【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，首项为，

若，则，与已知条件矛盾，

所以，由题意可得，解得，

所以.

故选：D.

【分析】设等比数列的公比为，首项为，易得，根据等比数列的通项以及前n项和公式列方程组，求出首项与公比，最后根据通项即可求解.

6．（2023·浙江）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（）

A．直线和圆B．直线和椭圆

C．直线和双曲线D．直线和抛物线

【答案】C

【知识点】等比数列概念与表示；平面向量的综合题

【解析】【解答】因为成等比数列，所以，

即，

整理得:

，

，

，

，

所以

所以或，

所以或

其中是双曲线,是直线.

故答案为：C.

【分析】由三个数成等差数列，列出等式，推导结果。

7．（2023·新课标Ⅱ·文）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（）

A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1

【答案】B

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和

【解析】【解答】设等比数列的公比为，

由可得：，

所以，

因此.

故答案为：B.

【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.

8．（2023·新课标Ⅰ·文）设是等比数列，且，，则（）

A．12B．24C．30D．32

【答案】D

【知识点】等比数列的性质

【解析】【解答】设等比数列的公比为，则，

，

因此，.

故答案为：D.

【分析】根据已知条件求得q的值，再由可求得结果.

9．（2023·新课标Ⅱ·理）数列中，，，若，则（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的递推公式

【解析】【解答】在等式中，令，可得，，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，

，

，则，解得.

故答案为：C.

【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k的等式，由可求得k的值.

10．（2023·全国Ⅲ卷理）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）

A．16B．8C．4D．2

【答案】C

【知识点】等比数列的通项公式

【解析】【解答】解：∵a5=3a3+4a1，则，∵，∴，

解得或（舍），∵各项均为正数，∴，又∵等比数列{an}的前4项为和为15，

∴，解得，∴，

故答案为：C.

【分析】由已知利用等比数列的通项公式列式，得到q=2，再由前4项为和为15列式，解得，即可求出的值.

11．（2023·全国Ⅰ卷理）古希腊吋期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯“便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）

A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm

【答案】B

【知识点】等比数列的性质

【解析】【解答】因为头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，成为黄金分割比例），此外，头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是，所以设咽喉到肚脐的长度为厘米，肚脐到腰的长度为厘米，依题意得：

所以身高为所以最接近的身高是175厘米。

故答案为：B

【分析】利用黄金比例的概念结合对应边成比例求出某人满足要求最接近的身高。

12．（2022·浙江学考）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（）

A．6B．12C．18D．108

【答案】A

【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式

【解析】【解答】设数列经过第次拓展后的项数为，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第次拓展后增加的项数为，

所以，

即，即，

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，

是以，所以，

则经过11次拓展后在与6之间增加的数为，

所以经过11次拓展后6所在的位置为第，

所以。

故答案为：A.

【分析】设数列经过第次拓展后的项数为，再利用数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第次拓展后增加的项数为，再利用已知条件得出，再利用递推公式变形结合等比数列的定义，从而判断出数列是以为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，进而得出经过11次拓展后在与6之间增加的数，从而得出经过11次拓展后6所在的位置，进而得出的值。

二、填空题

13．（2023·全国甲卷）记为等比数列的前项和．若，则的公比为．

【答案】

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和

【解析】【解答】当时，显然，不满足题意；

当时，

，，即，

，解得

故答案为：

【分析】利用等比数列公式代入求解。

14．（2023·全国乙卷）已知为等比数列，，，则.

【答案】

【知识点】等比数列的通项公式

【解析】【解答】设首项为，公比为，

则，，

∵，，

∴，，

∴

化简整理得，，即，

∴，

故答案为：-2.

【分析】设首项为，公比为，由已知条件结合等差数列通项公式整理化简得出答案.

15．（2023·上海卷）已知为等比数列，且，求；

【答案】189

【知识点】等比数列的前n项和

【解析】【解答】∵为等比数列且，

∴.

故答案为：189

【分析】代入等比数列前n项和公式即得答案.

16．（2023·全国Ⅰ卷文）记Sn为等比数列{an}的前n项和。若a1=，，则S4=

【答案】

【知识点】等比数列概念与表示

【解析】【解答】设等比数列的公比为q,利用等比数列的前n项和公式，

当时，

当时，

由求根公式求出q的值，根据题意，从而确定q的值。

【分析】利用分类讨论的方法结合等比数列前n项和公式求出q的值，从而利用与的关系式结合的值求出的值。

17．（2023·全国Ⅰ卷理）记Sn为等比数列{an}的前n项和。若a1=，，则S5=

【答案】

【知识点】等比数列概念与表示

【解析】【解答】利用等比数列通项公式得，

①

②

①②联立求出:

【分析】利用等比数列通项公式和等比数列前n项和公式结合已知条件求出等比数列的公比，从而利用等比数列的首项和公比求出等比数列的前5项的和。

18．（2023·浙江）设等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，首项a1=3，公比q=2，则a4=;

S3=．

【答案】24；21

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和

【解析】【解答】解：结合等比数列的通项公式,

【分析】利用等比数列的通项公式以及前n项和的定义代入数值即可。

三、解答题

19．（2023·新高考Ⅱ）已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求.

【答案】（1）解：设等比数列的公比为q(q>1)，则，

整理可得：，

，

数列的通项公式为：.

（2）解：由于：，故：

.

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和

【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.

20．（2023·新高考Ⅰ）已知公比大于1的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和．

【答案】（1）解：由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为q，依题意有，解得解得，或(舍)，

所以，所以数列的通项公式为.

（2）解：由于，所以

对应的区间为：，则；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个.

所以.

【知识点】等比数列的通项公式；类比推理

【解析】【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式.（2）通过分析数列的规律，由此求得数列的前100项和.

21．（2023·江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；

（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．

①求数列{bn}的通项公式；

②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．

【答案】（1）解：设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.

由，得，解得．

因此数列为“M—数列”.

（2）解：①因为，所以．由得，则.由，得，当时，由，得，整理得．所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.

因此，数列{bn}的通项公式为bn=n.

②由①知，bk=k，.因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.

因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.

当k=1时，有q≥1；

当k=2，3，…，m时，有．

设f（x）=，则．

令，得x=e.列表如下：

xe(e，+∞)

+0–

f（x）极大值

因为，所以．

取，当k=1，2，3，4，5时，，即，

经检验知也成立．

因此所求m的最大值不小于5．

若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，

所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.

综上，所求m的最大值为5．

【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；等比数列的通项公式；等差关系的确定

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{an}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。②由①知，bk=k，.因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。

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2023-2023高考数学真题分类汇编16等比数列

一、选择题

1．（2023·全国甲卷）记为等比数列的前项和．若，则（）

A．7B．8C．9D．10

2．（2023·全国甲卷）已知正项等比数列中，为前n项和，，则（）

A．7B．9C．15D．30

3．（2023·天津卷）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（）

A．3B．18C．54D．152

4．（2023·新高考Ⅱ卷）记为等比数列的前n项和，若则（）

A．120B．85C．-85D．120

5．（2022·全国乙卷）已知等比数列的前3项和为168，，则（）

A．14B．12C．6D．3

6．（2023·浙江）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（）

A．直线和圆B．直线和椭圆

C．直线和双曲线D．直线和抛物线

7．（2023·新课标Ⅱ·文）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（）

A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1

8．（2023·新课标Ⅰ·文）设是等比数列，且，，则（）

A．12B．24C．30D．32

9．（2023·新课标Ⅱ·理）数列中，，，若，则（）

A．2B．3C．4D．5

10．（2023·全国Ⅲ卷理）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）

A．16B．8C．4D．2

11．（2023·全国Ⅰ卷理）古希腊吋期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯“便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）

A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm

12．（2022·浙江学考）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（）

A．6B．12C．18D．108

二、填空题

13．（2023·全国甲卷）记为等比数列的前项和．若，则的公比为．

14．（2023·全国乙卷）已知为等比数列，，，则.

15．（2023·上海卷）已知为等比数列，且，求；

16．（2023·全国Ⅰ卷文）记Sn为等比数列{an}的前n项和。若a1=，，则S4=

17．（2023·全国Ⅰ卷理）记Sn为等比数列{an}的前n项和。若a1=，，则S5=

18．（2023·浙江）设等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，首项a1=3，公比q=2，则a4=;

S3=．

三、解答题

19．（2023·新高考Ⅱ）已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求.

20．（2023·新高考Ⅰ）已知公比大于1的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和．

21．（2023·江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；

（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．

①求数列{bn}的通项公式；

②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】等比数列的性质

【解析】【解答】由题意知S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，

即4，2，S6-6成等比数列，

则4×（S6-6）=22

解得S6=7

故答案为：A

【分析】根据等比数列的性质直接求解即可.

2．【答案】C

【知识点】等比数列的前n项和

【解析】【解答】根据题意，设数列的公比为q(q>1)，

∴，同理，

由，

∴，整理得，解得，

∴.

故选：C.

【分析】根据题意设出公比，利用等比数列前n项和公式将已知条件转化成关于q的方程从而解出q，即可算出.

3．【答案】C

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和

【解析】【解答】∵①，

∴②

由①－②得，，即，

∴公比为3，

当n=1时，，解得，

，

故选：C.

【分析】由递推公式与关系得出数列公比为，再由递推公式当n=1时，求出首项即得的值.

4．【答案】C

【知识点】等比数列的前n项和

【解析】【解答】数列为等比数列，

显然当时不符合题意，

，

，，

，，

解得，

代入得，

故选：C

【分析】直接利用等比通项公式，代入条件解出公比，为避免分类讨论跳过求a1，得到值关系即得答案。

5．【答案】D

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和

【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，首项为，

若，则，与已知条件矛盾，

所以，由题意可得，解得，

所以.

故选：D.

【分析】设等比数列的公比为，首项为，易得，根据等比数列的通项以及前n项和公式列方程组，求出首项与公比，最后根据通项即可求解.

6．【答案】C

【知识点】等比数列概念与表示；平面向量的综合题

【解析】【解答】因为成等比数列，所以，

即，

整理得:

，

，

，

，

所以

所以或，

所以或

其中是双曲线,是直线.

故答案为：C.

【分析】由三个数成等差数列，列出等式，推导结果。

7．【答案】B

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和

【解析】【解答】设等比数列的公比为，

由可得：，

所以，

因此.

故答案为：B.

【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.

8．【答案】D

【知识点】等比数列的性质

【解析】【解答】设等比数列的公比为，则，

，

因此，.

故答案为：D.

【分析】根据已知条件求得q的值，再由可求得结果.

9．【答案】C

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的递推公式

【解析】【解答】在等式中，令，可得，，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，

，

，则，解得.

故答案为：C.

【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k的等式，由可求得k的值.

10．【答案】C

【知识点】等比数列的通项公式

【解析】【解答】解：∵a5=3a3+4a1，则，∵，∴，

解得或（舍），∵各项均为正数，∴，又∵等比数列{an}的前4项为和为15，

∴，解得，∴，

故答案为：C.

【分析】由已知利用等比数列的通项公式列式，得到q=2，再由前4项为和为15列式，解得，即可求出的值.

11．【答案】B

【知识点】等比数列的性质

【解析】【解答】因为头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，成为黄金分割比例），此外，头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是，所以设咽喉到肚脐的长度为厘米，肚脐到腰的长度为厘米，依题意得：

所以身高为所以最接近的身高是175厘米。

故答案为：B

【分析】利用黄金比例的概念结合对应边成比例求出某人满足要求最接近的身高。

12．【答案】A

【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式

【解析】【解答】设数列经过第次拓展后的项数为，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第次拓展后增加的项数为，

所以，

即，即，

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，

是以，所以，

则经过11次拓展后在与6之间增加的数为，

所以经过11次拓展后6所在的位置为第，

所以。

故答案为：A.

【分析】设数列经过第次拓展后的项数为，再利用数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第次拓展后增加的项数为，再利用已知条件得出，再利用递推公式变形结合等比数列的定义，从而判断出数列是以为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，进而得出经过11次拓展后在与6之间增加的数，从而得出经过11次拓展后6所在的位置，进而得出的值。

13．【答案】

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和

【解析】【解答】当时，显然，不满足题意；

当时，

，，即，

，解得

故答案为：

【分析】利用等比数列公式代入求解。

14．【答案】

【知识点】等比数列的通项公式

【解析】【解答】设首项为，公比为，

则，，

∵，，

∴，，

∴

化简整理得，，即，

∴，

故答案为：-2.

【分析】设首项为，公比为，由已知条件结合等差数列通项公式整理化简得出答案.

15．【答案】189

【知识点】等比数列的前n项和

【解析】【解答】∵为等比数列且，

∴.

故答案为：189

【分析】代入等比数列前n项和公式即得答案.

16．【答案】

【知识点】等比数列概念与表示

【解析】【解答】设等比数列的公比为q,利用等比数列的前n项和公式，

当时，

当时，

由求根公式求出q的值，根据题意，从而确定q的值。

【分析】利用分类讨论的方法结合等比数列前n项和公式求出q的值，从而利用与的关系式结合的值求出的值。

17．【答案】

【知识点】等比数列概念与表示

【解析】【解答】利用等比数列通项公式得，

①

②

①②联立求出:

【分析】利用等比数列通项公式和等比数列前n项和公式结合已知条件求出等比数列的公比，从而利用等比数列的首项和公比求出等比数列的前5项的和。

18．【答案】24；21

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和

【解析】【解答】解：结合等比数列的通项公式,

【分析】利用等比数列的通项公式以及前n项和的定义代入数值即可。

19．【答案】（1）解：设等比数列的公比为q(q>1)，则，

整理可得：，

，

数列的通项公式为：.

（2）解：由于：，故：

.

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和

【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.

20．【答案】（1）解：由于数列是公