顾樵数理方程课件03 Separating Variables

数学物理方法

（概念、建立，表述）

顾樵

(Qiao

Gu)

InternationalInstituteofBiophysics,Germany

gu-qiao@gmx.de

什么是数学物理方法？对实际问题（物理及一般问题），分析考察量的变化规律，建立相应的微分方程写出考察量所满足的相关条件根据微分方程和相关条件，求出考察量的解讨论解的适用条件精确描述线性增长阶段例子:人口增长问题

(Malthus模型)建立数学物理方程1.统计法：对所考察的问题进行统计学研究，分析考察量的变化规律，写出它所满足的微分方程。这种方法具有非常广泛的用途，包括生物学、生态学、经济学、社会学等。人口增长问题众多的生物学及社会学问题

(Malthus模型)

(Logistic模型)建立数学物理方程2.微元法：在系统中分出一个微元，分析它与附近部分的相互作用，写出作用规律的数学表达式（比如牛顿第二定律表达式），它就是系统的微分方程。弦振动问题传输线问题热传导问题（波动方程)(热传导方程)建立数学物理方程3.规律法：直接利用物理学规律写出考察量所遵循的数学物理方程，比如利用电磁波的麦克斯韦方程，写出电位、电场强度、磁场强度等物理量的微分方程。(电磁场方程)(电位的泊松方程:有源场)(电位的拉氏方程:无源场)用于激光的半经典理论用于电磁场与电磁波的理论器件技术等问题数学物理方法：完整表述泛定方程定解条件定解问题泛定方程：线性和非线性数理方程包括常微分方程和偏微分方程等。由于同一个方程可以广泛描述多种物理作用，故称为“泛定方程”。如果函数

u

和它的各阶导数都是一次幂，称为线性微分方程。波动方程：热传导方程：人口增长方程：孤立波方程：拉普拉斯方程：冲击波方程：线性非线性数理方程：定解条件初始条件，边界条件，还可以有衔接条件等，统称“定解条件”。例如：

初始条件:

(初始位移)

(初始速度)（弦振动）

(初始温度分布)(热传导)

数理方程：边界条件

分别称为第一类，第二类，第三类齐次边界条件

分别称为第一类，第二类，第三类非齐次边界条件

数理方程：定解问题定解问题分为三类：初值问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题边值问题：只有边界条件，没有初始条件的定解问题

混合问题：既有初始条件，又有边界条件的定解问题

线性算符线性方程中的算符L称为线性算符。其基本特点：线性算符：微分算符，积分算符…非线性算符：…线性微分方程：叠加原理叠加原理:对于一个线性微分方程:

如果均是它的解,即则的线性组合也是该方程的解。证明：叠加原理为求解线性方程构成的定解问题提供了有力的工具叠加原理:一个例子对于线性偏微分方程它的一个特解为故由叠加原理，原方程有一般解定解问题的求解

基本方法：

1.分离变量法

2.行波法

3.积分变换法

傅里叶变换拉普拉斯变换

分离变量法

顾樵

(Qiao

Gu)

InternationalInstituteofBiophysics,Germany

gu-qiao@gmx.de

求解定解问题:分离变量法

基本思想:将二元的偏微分方程转化为空间和时间的常微分方程,比如定解问题:弦振动有界弦的自由振动:弦长度为L,两端固定,任意初始位移,任意初始速度。定解问题为：（1）（2）（3）分离变量设方程（1）有分离变量解：代入方程（1）：两边对x求导数：设这一常数为，则（4）（5）（6）至此可以看出,利用分离变量法的条件是:泛定方程必须是齐次的。否则（5）变成方程,不能写出变量分离的形式（6）。将边界条件（2）代入形式解（4）：由于,否则(平庸解,无实际意义),故这样空间函数构成下列常微分方程的边值问题:至此可以看出,利用分离变量法的条件是:边界条件必须是齐次的。否则

，不能写出关于空间函数

X(x)单独的边界条件（7），不能构成定解问题（8）。（8）（7）下面求解边值问题：：方程(9)的通解为2.:方程(9)的通解为(9)(10)（平庸解:）由(10)得

为了满足边界条件(10),(11)必须给出(11)这是一个关于A,B的线性齐次方程组，它有非零解的必要充分条件是系数行列式为零：

即上式在条件下成立，但在现在的情况下不成立，这意味着：方程组(12)只有零解(12)

求解边值问题：(9)(10)为了满足边界条件(10),必须有3.,方程(9)的通解为该边值问题的解是一系列分立的正弦函数

解方程:将代入关于

T的方程:这个解称为定解问题的“本征解”,它满足泛定方程和齐次边界条件其通解为这样定解问题的一般解但是本征解的初始值不能满足任意初始条件(2),为了使原定解问题的解满足任意初始条件，考虑到原泛定方程是线性的（服从叠加原理），可以取本征解的叠加构成定解问题的一般解：一般解:不但满足微分方程还满足定解条件任意初始条件这样初始条件可以表示为它们是函数的傅立叶级数，展开系数为一般解能表示任意初始条件可以再次看出,利用分离变量法的条件是:泛定方程必须是线性的。这样才能利用叠加原理，构成一般解，满足任意初始条件。弦振动定解问题:结论有界弦自由振动的定解问题的解由级数给出:

它满足齐次边界条件和任意初始条件:

展开系数被积分确定:分离变量法:求解定解问题的步骤

1.对于泛定方程写出形式解:

2.分离变量得到空间函数的本征值问题:3.解出得到本征解:4.利用叠加原理得到一般解:（本征值）（本征函数）讨论:分离变量法的适用条件1.泛定方程是线性齐次的,

例如2.边界条件是齐次的,例如3.初始条件可以是任意函数

讨论:本征解的物理意义确定的时间确定的弦点弦的空间形状是一条正弦曲线,其振幅与有关。弦点在其平衡位置附近作简谐振荡，其振幅与有关。讨论:本征解为驻波正弦曲线的零点:正弦曲线在

[0,L]

区间有n+1个零点,即波形在该区间有n+1个节点xm，第零个节点在，第n个节点在结论：有界弦自由振动的本征解为驻波。零点位置:0Lx0(驻波条件)单个本征态的例子：单模激光“单模激光”是工作在单个本征态的典型的物理系统，单模激光的产生满足“驻波条件”：激光谐振腔x驻波条件：腔长等于半波长的整数倍Ex0a

x

n=1n=2n=3势阱中粒子的一个本征态对应于一个特定波长的驻波：单个本征态的又一个例子

势阱粒子的几率波谐波与一般波形每个本征解表示一个谐波,

第

n

个本征解表示

n

阶谐波:

谐波的叠加给出一般波形:阻尼弦振动长度为

L，线密度为，且两端固定的弦在某种介质中作微振动，设弦在介质中振动时受到的阻力与振动的速度成正比。已知弦振动的初始位移与初始速度分别为和，试求弦上任意点

x

在任意

时刻离开其平衡位置的位移。阻尼弦振动任意t时刻弦的形状:

0xu弦振动时单位长度受到的阻力可以表示为L介质的阻力负号表述阻力与振动方向相反比例系数振动方向强迫振动方程若弦还受到时空依赖的外力的作用(设弦单位长度受力为，其方向竖直于x轴):

0xxu水平方向：没有变化竖直方向：强迫振动方程强迫振动方程注:齐次方程:只含有对

u

的各种运算非齐次方程：含有对

u

运算之外的项f(x,

t),被称为驱动项,或自由项阻尼弦振动：定解问题现在虽然泛定方程比标准形式多了阻尼项，但仍然是线性齐次方程，而边界条件是齐次的，故可以用分离变量法求解。令通解：定解问题的本征解：一般解：初始条件热传导(第二类边界条件)有界杆的长度为L，其两端保持绝热，已知杆内初始温度分布为，求解杆内任意时刻的温度分布的定解问题（P53习题6的一般情况）：(1)(2)(3)分离变量设方程（1）有形式解：代入方程（1）分离变量：（4）（5）（6）将边界条件（3）代入形式解（4）：这样空间函数

X(x)构成下列常微分方程的边值问题:（8）（7）下面求解边值问题：：(9)的通解2.:(9)的通解(9)(10)有特解:X0(x)=A(常数)由(10)得,

为了满足边界条件(10),必须有(平庸解

)但

求解边值问题：为了满足边界条件(10),必须有3.,方程(9)的通解为(9)(10)

解方程:将代入关于

T的方程:这个解是定解问题的本征解，它满足泛定方程和齐次边界条件，但是不能表征任意初始条件其通解为这样一般解与初始条件

利用傅里叶系数公式,得到C0是本征值

相应的特解X0(x)=A

初始条件：问题：系统的稳态温度这是一个有趣的问题，可以从三个不同的角度讨论系统的稳态温度：直观分析LLxx绝热曲线下面积相等(总热量保持恒定)系统的稳态温度：动力学分析系统最终趋于热平衡温度:这一过程是绝热的(总热量保持恒定)：初始温度的平均值系统的稳态温度：稳态分析热传导的动力学行为:热传导的稳态行为:系统在条件下的稳态温度:系统是绝热的(总热量保持恒定):()热传导方程的稳态解（适用于任何情况）初始温度的平均值长度为L的均匀杆，两端绝热，设杆的初始温度分布为：1.写出杆热传导的定解问题；2.求出时杆的温度分布。P53习题6如果，需要计算积分：弦振动(第二类边界条件)10-1Lx弦的初始状态两端点不固定两边比较系数初始条件10-1Lx结果弦上任意点x以其初始位移

为振幅，以为频率作简谐振动热传导(混合边界条件)有界杆的长度为L，其左端保持恒定温度(摄氏零度)，右端绝热。已知杆内初始温度分布为,求解关于杆内任意时刻温度分布的定解问题：(1)(2)(3)分离变量设方程（1）有形式解：代入方程（1）分离变量：（4）（5）（6）将边界条件（3）代入形式解（4）：这样空间函数

X(x)构成下列常微分方程的边值问题:（8）（7）下面求解边值问题：：方程(9)的通解为2.:方程(9)的通解为(9)(10)(平庸解)由(10)得为了满足边界条件(10),必须有(平庸解

)

求解边值问题：为了满足边界条件(10),必须有3.,方程(9)的通解为(9)(10)

解方程:这个解是定解问题的本征解,它满足泛定方程和齐次边界条件其通解为这样一般解与初始条件利用傅里叶系数公式,得到系统的稳态温度系统从左端逸出(或吸收热量)，最终趋于热平衡温度:传输线(混合边界条件)把高频输电线充电到具有电压E（传输线上各处的电压均为E

），然后一端短路封闭，另一端仍保持断开，求以后电压的时空变化规律。

解：设输电线长度为L，把高频输电线充电到各处具有电压E

之后，x=0端短路，x=L端始终开启。0Lx任意初始条件：结果：传输线(单端边界条件)长为L的理想传输线（即电阻和电导都可以忽略不计的传输线）一端接于电动势为的交流电源，另一端短路，求解传输线上电压的时空变化规律。

解：设传输线的x=0端接于电动势为的交流电源而x=L端短路。0Lx解：定解问题为新的定解问题：令由(2)：（1）（2）（3）代入(1)：通解：特别是：当n=0结果：作业1.设有一根长度L=10的弦，两端固定，初始位移为，初始速度为零。求弦作微小振

动时，任意点离开其平衡位置的位移。2.求解定解问题：3.课本：P54习题19作业有界杆的长度为L，其左端保持恒定温度(摄氏零度)，右端绝热。已知杆内初始温度分布,关于杆内任意时刻的温度分布的一个定解问题为：(1)(2)(3)作业课本：P53习题6作业设一热传导系统为有界杆,其长度为L，热传导方程为

:1.试求出系统在任意边界条件下的稳态解2.试求出系统在下列边界条件下的稳态解热传导(第三类边界条件)有界杆的长度为L，其左端保持绝热,

右端自由散热(设外界介质温度为摄氏零度)。已知杆内初始温度分布，关于杆内任意时刻的温度分布的一个定解问题为：(1)(2)(3)边界条件自由散热定义:散失的热量正比于热体表面温度与外界介质温度之差:是外界介质温度分离变量设方程（1）有解：代入方程（1）分离变量：（4）（5）（6）将边界条件（3）代入形式解（4）：这样空间函数

X(x)构成下列常微分方程的边值问题:（8）（7）下面求解边值问题：：(9)的通解2.:(9)的通解(9)(10)(平庸解)由(10)的前式：，后式：为了满足边界条件(10),必须有(平庸解)

求解边值问题：为了满足边界条件(10),必须有3.,方程(9)的通解为(9)(10)(本征值满足的超越方程)超越方程的解该超越方程的解是曲线的交点的横坐标：边值问题（9）和（10）的解为将代入方程(6),得到其通解为定解问题的本征解它满足泛定方程和边界条件，但不能表征任意初始条件。为了表征任意初始条件，由叠加原理得到一般解：代入初始条件(2):确定展开系数上式两边同乘以并在x的变化区间[0,L]积分本征函数的正交性：对n求和给出（注：不是傅里叶级数）作业有界杆的长度为L，其左端保持恒定温度(摄氏零度),右端自由散热(设外界介质温度为摄氏零度)。已知杆内初始温度分布,求解杆内任意时刻温度分布的定解问题：(1)(2)(3)分离变量法波动方程：(齐次边界条件)热传导方程：(齐次边界条件)拉普拉斯方程:（边界条件？）二维热传导：稳态情况散热片的横截面为矩形,它的一边(y=b)处于较高的温度T,其它三边处于冷却介质中保持较低的温度T0=

0，求出这个横截面上的稳态温度分布。0axybTT0T0T0动力学与稳态方程散热片是一个二维系统，它的热传导方程为热传导的稳态行为:稳态温度满足的方程：（动力学方程）（稳态方程）定解(边值)问题（1）（2）（3）问题：边界条件(3)是非齐次的，可否用分离变量法？

思路：可以将(3)视为“初始条件”，而(2)是齐次边界条件，故可以用分离变量法。设求解边界条件（2）变为X的边值问题：定解问题定解问题0axT0u(x,y0)T0T00byu(x0,y)T0T0axybT0T0T0T圆域上的拉普拉斯方程一个半径为的薄圆盘，圆周边缘的温度分布为已知函数，求达到恒稳状态时圆上的温度分布。这是一个圆域上的二维拉普拉斯方程的边值问题（求圆盘上任意点的温度）。(1)(2)分离变量设方程（1）有径向和角向分离的解：代入方程（1）得到：分离变量：（3）（4）（5）（径向方程）（角向方程）将非齐次边界条件（2）代入形式解（3）：上式无法分离成关于的两个独立的边界条件，不能分别构成关于的常微分方程的定解问题！

下一步如何进行？（6）寻找物理上的边界条件

1.在物理上代表同一个点，具有相同的温度:

这个条件称为“周期性边界条件”

2.物理上，圆内各点的温度应该是有界的，特别是圆盘中心的温度应该是有限的：

这个条件称为“自然边界条件”常微分方程的定解问题(7)(8)(9)(10)至此已经构成了完整的角向和径向的定解问题，而条件(2）将象弦振动问题和热传递问题中的初始条件一样，最后再去考虑。求解角向定解问题：：(7)的通解

:(7)的通解(7)(8)有特解:

(常数)由(8)得到,

不能满足周期性边界条件(8)

求解角向定解问题：3.:(7)的通解

要让它以为周期，必须取