数学分析试题及答案8382

二十一数学分析期终考试题一叙述题：每小题5分,共15分1开集和闭集2函数项级数的逐项求导定理3Riemann可积的充分必要条件二计算题：每小题7分,共35分x1xdx91、31x(yb)2b2(0ab)绕x轴旋转而成的几何体的体积2、求23、求幂级数1n2xn的收敛半径和收敛域(1)nn1x2y24、limx01x2y21y0f(x,y,z)xxy2yz2,l为从点5、P2,-1,2到点-1,1,2的方向,求fP0l0三讨论与验证题：每小题10分,共30分1x2y2(xy2)sinx2y0221、已知f(x,y),验证函数的偏导数在原点0x0,y0不连续,但它在该点可微2、讨论级数lnn21的敛散性;n21n13、讨论函数项级数(xxn1nx[1,1]的一致收敛性;nn1)n1四证明题：每小题10分,共20分1若f(x)dx收敛,且fx在a,+∞上一致连续函数,则有limf(x)0xa2设二元函数f(x,y)在开集f(x,y)f(x,y'')Ly'y''其中(x,y'),(x,y'')D,L为常数证明f(x,y)在D内连续DR2内对于变量x是连续的,对于变量y满足Lipschitz条件：';参考答案一、1、若集合S中的每个点都是它的内点,则称集合S为开集；若集合S中包含了它的所有的聚点,则称集合S为闭集;2设函数项级数u(x)满足1()(1,2,)uxn在a,b连续可导nnn1a)b)u(x)在a,b点态收敛于S(x)nn1u'(x)在a,b一致收敛于(x)nn1则S(x)=u(x)在a,b可导,且ddu(x)u(x)dxdxnnnn1n1n13、有界函数f(x)在a,b上可积的充分必要条件是,对于任意分法,当max(x)0时Darboux大和与Darboux小和的极限相等i1in4687二、1、令t1x2分9x31xdx32(1t3)t3dt5分3102、yba2x2,yba2x2,2分所求的体积为：12aa(y2y2)dx22a2b5分12(11)n11n111]收敛半径为4分,当een3、解：由于lim[()n1(1(1n)n1)n1n1x时,(11)n2()n(1)n10(n),所以收敛域为(,)3分1111eneeex2y2(x2y2)(1x2y21)4、limlimlim(1x2y21)27x01x2y21x0(1x2y21)(1x2y21)x0y0y0y0分5、解：设极坐标方程为f(2,1,2)2,f(2,1,2)0.f(2,1,2)4分4xyz6f(2,1,2)3分l131x2y2x2y211x2y22x(sincos)x2y20x2y20三、1、解、f4分由于x01x2y21x2y2cos当趋于0,0无极限;所以不连续,同理可的f也不连续,2分yn212、解：n212ln2limn15分收敛,所以原级数收敛25分n1n1n21Sxxxn113、解：部分和()3分,0,取N,nN时有n1nS(x)xx,所以级数一致收敛7分n11n1nn四、证明题每小题10分,共20分1、证明：用反证法f(x),3分又因为在fx在a,∞上一XaxX,使得000,.,0若结论不成立,则0f(x)f(x'')0,3分于'2,有xxa,只要x'x(0,1),,0致连续函数,'''''0是Aa,令XA1,取上述使的点,不妨设f(x)xX,f(x)0,则对任000000022分别等于意满足xx的x,有f(x)f(x)00取A和A0‘x0和2000xf(x)dx不收敛,矛盾4分fxdxA',则()有,由Cauchy收敛定理,020200Aa2、证明：xy(,)D,由Lipschitz条件00f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)000000Lyyf(x,y)f(x,y)1,6分又由二元函数DR2内对于变f(x,y)在开集0000量x是连续的,1式的极限为0,f(x,y)在(x,y)连续,因此f(x,y)在D内连续4分00二十二数学分析期末考试题一叙述题：每小题5分,共15分1Darboux和2无穷限反常积分的Cauchy收敛原理3Euclid空间二计算题：每小题7分,共35分nn!1、limnn2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积y2x22yx23、Iexnxndxn是非负整数0u24、设uf(x2yz2,xyz),f具有二阶连续偏导数,求2zx()的幂级数展开式fxe5、求x三讨论与验证题：每小题10分,共20分1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系;对肯定的结论任选一进行证明；对否定的结论,给出反例cosnx2、讨论级数(0x)的绝对和条件收敛性;npn1四证明题：每小题10分,共30分xtf(t)dtg(x)1fx在0,+∞上连续且恒有fx>0,证明在0,+∞上单调增加0xf(t)dt0正项级数x收敛,x单调减少,证明limnx0nnn2设nn1yx2y3f(x,y)limf(x,y)不存在x0,证明：y0参考答案Pxb和记法,axx一、1、有界函数种分f(x)定义在[a,b]上,给一01nMsupf(x),[x,x],minff(x),[x,x],则ii1iii1iPmx分别称为相应于分法的Darboux大和和iiS(P)nMx,S(P)niii1i1Darboux小和;0.2、Na使得f(x)dxmnN,成立nm3、Rn向量空间上定义内积运算x,yxyxy构成Euclid空间11nnn二、1、由于limlnn!lim((lni)nlnn)limlni11lnxdx171nnnnnnnnni10i1分2、解：两曲线的交点为2,2,0,0,2分所求的面积为：2(2xx)dx5分422303、解：Iexxndxn0=xnex|+nexxdx=nI1exxndx+exxndx6分n1n10001In!1分n4、：=2fxyzf3分2u2x(2zfxyf)yfyz(2zfxyf)4分uxzx12111222122ex5、解：由于余项r(x)(n1)!xn10(n),3分所以nex1xx2!xn4分n!2三、1、解、可微必可偏导和连续,证明可看课本133页4分,可偏导不一定连续和可微例子可看课本135页6分2、解：当p1时,级数绝对收敛,4分当0p1,由Dirichlet定理知级数收敛,但cosnxcos2nx1cos2nx2np|cosnx|发散,即级数条件收敛4分,当np,所以npnp2npn1p0时,级数的一般项不趋于0,所以级数不收敛2分四、证明题每小题10分,共30分0(xf(t)dt)2xf(x)xf(t)dtf(x)xtf(t)dtf(x)x(xf(t)tf(t))dt(xf(t)dt)21证明：()gx08分'0000所以函数单调增加2分nnm2证明：m,nm,有(nm)xxx由此得nxx,4分由级数收m1nmnmnnnmx敛,故0可取定使得m1,故使得0nnn时,有0,又lim0m00nnm2nn00nx2,4分于是当时,有,得证2分nxx0x2xx21,所以23、证明：limf(x,y)limx01limf(x,y)limx0x0x2x2yxyx2limf(x,y)不存在10分x0y0二十三数学分析期末考试题一叙述题：每小题5分,共15分1微积分基本公式2无穷项反常积分3紧几合二计算题：每小题7分,共35分dx211x4d[dxdt]x21、1t402、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积yx2yx2n(n2)xn的收敛半径和收敛域3、求n14、设uxeyzey,求偏导数和全微分z1xy15、limx0xyy0三讨论与验证题：每小题10分,共30分x2y2x2y2(xy)21讨论f(x,y)的二重极限和二次极限dx12讨论的敛散性explnx03、讨论函数项f(x)xnxn1n(0x的一致收敛性;1)()()xuf(x)dxdu四证明题：每小题10分,共20分1设fx连续,证明fuxudux000uuxuy(x2y2)满足2证明yxuxyy参考答案一、1、设f(x)在[a,b]连续,F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,则成立bf(x)dxF(b)F(a);a2、设函数f(x)在[a,)有定义,且在任意有限区间[a,A]上可积;若极限limAf(x)dx存在,则称反常积分收敛,否则称反常积分发散Aa3、如果S的任意一个开覆盖U中总存在一个有限子覆盖,,即存在U中的有限个开集U,满足US,则称为紧集kSkii1i1i1x4]=dx2d二、1、[dxdtdxdt2xx227分1t41t41x8dx0102、解：两曲线的交点为-2,4,1,1,2分所求的面积为：1(22xx2)dx925分nn,收敛半径为14分,由于x1时,级数不收敛,所以级3：limn(2)1n数的收敛域为-1,13分uuyyz=xzeyz1u=xyeez4分4：x=eyzzdueyzdx(xzeyz1)dy(xyeyzez)dz3分1xy1lim(1xy1)(1xy1)15、解：limx07分xy(1xy1)xy2x0y0y01k10k1,所以重极限x2y2(x,kx)(0,0)x2y2(xy)2三、1、解、由于沿ykx趋于0,0时,lim不存在5分x2y2x2y2limlyim0x2y2(xy)20,limlimx2y2(xy)20,5分x0y0x01p1dx12：0p1,由于0(x0)故p1收敛4分；,由于xplnxx2explnx0收敛,1p,1px21dxdx11(x)4分故,发散2eexplnxxplnxxlnx00分;3、limf(x)0f(x)3nnnn分,limsupf(x)f(