高中数学第2章2 3 1 2 3 2等比数列概念通项公式二配套课件苏教版必修

2.3.1

等比数列的概念(二)2.3.2

等比数列的通项公式(二)【学习要求】灵活应用等比数列的定义及通项公式．熟悉等比数列的有关性质．系统了解判断是否成等比数列的方法．【学法指导】

等差数列与等比数列联系十分紧密，既有诸多相似之处，又有不同的地方，充分准确地把握它们之间的联系，会为我们解题带来诸多便利．等比数列的通项公式是研究等比数列各种性质的关键所在.填一填·知识要点、记下疑难点1．等比数列的通项公式：a

＝n，推广形式：a

＝amn(n，m∈N*)．·

qn－m2．如果一个数列{an}的通项公式为an＝aqn，其中a，q都是不为0

的常数，那么这个数列一定是等比数列，首项为

aq

，公比为

q

.a1qn－1填一填·知识要点、记下疑难点即a1·an＝a2·am·an＝ak·ala2一般地，如果

m，n，k，l为正整数，且

m＋n＝k＋l，则 有

，特别地，当

m＋n＝2k

时，am·an＝

k

.若{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，an－1＝…＝ak·

an＋1－k

.研一研·问题探究、课堂更高效探究点一

等比数列的单调性探究

观察下面几个等比数列中项的变化趋势：①1,2,4,8,16，…1

1

1

1

②－1，－2，－4，－8，－16，…1

1③9,3,1，3，9，…④－1，－2，－4，－8，－16，…1

1

1

1

⑤1，－2，4，－8，16，…通过上面的例子，可以得出下列结论：研一研·问题探究、课堂更高效当

q＜0时，等比数列既不是递增数列，也不是递减数列，而是

摆动

数列；当

a1＞0，q＞1

时，等比数列是

递增

数列；当

a1＞0,0＜q＜1

时，等比数列是

递减

数列；当

a1＜0，q＞1

时，等比数列是

递减

数列；当

a1＜0,0＜q＜1

时，等比数列是

递增

数列．

综上所述，等比数列单调递增⇔

q＞1

等比数列单调递减⇔

0＜q＜1或

a1＞0

a1＜0

0＜q＜1；或

a1＞0

a1＜0

q＞1

.研一研·问题探究、课堂更高效探究点二 等比数列的性质探究

1

在等比数列{an}中，若

m＋n＝s＋t，证明

am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*)．m

1证明

∵a

＝a

q—m

1n1，a

＝a

q—n

1，∴a

·a

＝a

·q＋

－2

m

n

2m

n

1

s

t

1＋

－2

s

t

2，同理，a

·a

＝a

q

，k∵m＋n＝s＋t，∴am·an＝as·at.探究

2

在等比数列{an}中，若

m＋n＝2k，证明

am·an＝a2(m，n，k∈N*)．证明

∵a

＝a

q—m

1n

1，a

＝a

q—n

1，m

n

1∴a

·a

＝a

q＋

－m

12

m

n

2，—k

1

2k

1

k

1∵a

＝a

q

，∴a

＝a

·q—2

2k

2.k∵m＋n＝2k，∴am·an＝a2.研一研·问题探究、课堂更高效问题

在各项均为正数的等比数列{an}中，若

a3a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝

128

.解析

∵a3a5＝a2＝4，a

>0，∴a

＝2.4

n

4∴a1a2a3a4a5a6a7＝(a1a7)·(a2a6)·(a3a5)·a4＝43×2＝128.研一研·问题探究、课堂更高效探究点三 等比数列的判断方法探究

1

判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些？答

(1)

an＋1＝q(常数)；定义法：an(2)等比中项法：a＋＋2n

1

n

n

2

n＝a

a

(a

≠0，n∈N*)；—

*(3)通项法：an＝a1qn

1(a

q≠0，n∈N

)．1研一研·问题探究、课堂更高效探究

2

如何判断或证明一个数列不是等比数列？答

如果判断或证明一个数列不是等比数列，只要找到连续的三项不成等比数列即可，即存在

an

，an

+1

，an

+2，且0

0

0.问题

1

若数列{an}为等差数列，公差为

d，bn＝can(c>0

且c≠1)，试问数列{bn}是什么数列？并证明你的结论．答

数列{bn}是等比数列．∴{bn}为等比数列．∵b

bnn＋1＝=can+1

-an

＝cd(常数)．cancan+1研一研·问题探究、课堂更高效问题

2

若数列{an}为等比数列，公比为

q，且

an>0，bn＝lg

an，试问数列{bn}是什么数列？并证明你的结论．答

数列{bn}是等差数列．∵bn＋1－bn＝lg

an＋1－lg

an＝lg∴{bn}为等差数列．

a＋n

1

an

＝lg

q(常数)．问题

3

已知

an＝2n＋3n，判断数列{an}是否是等比数列？答

不是等比数列．∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，2∴a1a3≠a2，∴数列{an}不是等比数列．研一研·问题探究、课堂更高效【典型例题】例

1

已知{an}为等比数列．若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10

的值．解

(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a2＋2a3a5＋a23

5＝(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)根据等比数列的性质a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9.∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95.∴log3a1

＋log3a2

＋…

＋

log3a10

＝log3(a1a2…a9a10)

＝

log395

＝5log39＝10.研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练

1

设{an}是由正数组成的等比数列，公比

q＝2，且

a1·a2·a3·…·a30＝215，求

a2·a5·a8·…·a29

的值．解

a1·a2·a3·…·a30＝(a1a30)·(a2a29)·…·(a15·a16)＝(a1a30)15＝215，∴a1a30＝2.a2·a5·a8·…·a29

＝

(a2a29)·(a5a26)·(a8a23)·(a11a20)·(a14a17)

＝

(a2a29)5＝(a1a30)5＝25＝32.研一研·问题探究、课堂更高效例

2

已知数列{an}满足

a1＝1，an＋1＝2an＋1，(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；

(2)求{an}的通项公式．(1)证明

∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，an＋1＋1na

＋11∴

＝2，且a

＋1＝2.∴{an＋1}是以2

为首项，2

为公比的等比数列．(2)解

由(1)知{an＋1}是等比数列．公比为2，首项为2.∴an＋1＝2n.∴an＝2n－1.anan＋1小结

利用等比数列的定义 ＝q(q≠0)是判定一个数列是等比数列的基本方法．要判断一个数列不是等比数列，举一组反例即可，例如a2≠a

a

.2

1

3研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练

2

设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．证明

设{an}、{bn}的公比分别为

p、q，p≠0，q≠0，p≠q，cn＝an＋bn.要证{cn}不是等比数列，只需证

c2≠c

·c

成立即可．2

1

3事实上，c2＝(a

p＋b

q)2＝a2p2＋b2q2＋2a

b

pq，2

1

1

1

1

1

1c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)＝a2p2＋b2q2＋a

b

(p2＋q2)．1

1

1

1由于c1c3－c2＝a

b

(p－q)2≠0，因此c2≠c

·c

，2

1

1

2

1

3故{cn}不是等比数列．研一研·问题探究、课堂更高效例

3

某制糖厂

2011

年制糖

5万吨，如果从

2011年起，平均每年的产量比上一年增加

20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过

30

万吨(保留到个位)？(lg

6＝0.778，lg

1.2＝0.079)解

记该糖厂每年制糖产量依次为

a1，a2，a3，…，an，….则依题意可得a1＝5，an－1an

＝1.2(n≥2

且n∈N*)，从而an＝5×1.2n－1，这里an＝30，故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝

lg

6

＝0.778≈9.85.lg

1.2

0.079故n＝11.答

从

2021

年开始该糖厂年制糖量开始超过

30

万吨．研一研·问题探究、课堂更高效小结等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n

所对应的实际含义．研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练

3

在利用电子邮件传播病毒的例子中，如果第一轮感染的计算机数是80

台，并且从第一轮起，以后各轮的第一台计算机都可以感染下一轮的20

台计算机，到第5

轮可以感染到多少万台计算机？解

每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为

a1＝80，公比为q＝20

的等比数列．则a5＝a1q4＝80×204＝1

280×104＝1

280(万台)．答

到第

5

轮可以感染到

1

280

万台计算机.1．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为

10

000

．练一练·当堂检测、目标达成落实处8解析

∵lg(a3a8a13)＝lg

a3＝6，∴a3＝106⇒a

＝102＝100.8

88又a1a15＝a2＝10

000.2．在

1与

2之间插入

6个正数，使这

8个数成等比数列，则插入的

6

个数的积为

8

．解析

设这

8

个数组成的等比数列为{an}，则

a1＝1，a8＝2.插入的6

个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a