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文档简介

均匀带电线段的电场电量均匀分布在长2L的线段上，单位长度上的电荷密度为λ。(1)求任一点的电场强度，电场强度分布曲面的规律是什么？

(2)求任一点的电势，电势分布曲面的规律是什么？电场线和等势线是如何分布的？[解析](1)如图所示，建立坐标系。如果λ>0，则可确定电场强度的方向在第一象限沿着x轴和y轴的正向。如果λ<0，则电场强度的方向相反。在线段的l处取线元dl，电荷元为dq=λdl，到P点的距离为由于x–l=ycotθ，这里，x和y是场点的坐标，l和θ变量，可得dl=ydθ/sin2θ。又因为r=y/sinθ，所以场强的大小为由于场强的方向随θ角变化，所以不能直接由上式积分求合场强。-LLOxyPldlrθ2θ1dExdEydEθθ场强的分量为积分得利用三角函数很容易计算合场强场强的方向角的正切为即用角度表示的场强公式十分简单，但不便于计算。根据角度与坐标的关系，场强的分量可用坐标表示可见：均匀带电线段的电场强度是坐标的函数。-LLOxyPθ2θ1ExEyEα[讨论]①当x=0时，可得中垂线上的场强如果L→∞，则得这是无限长带电直线的场强公式。由于λ=Q/2L，所以如果L→0，可得这是点电荷的场强公式。[讨论]②当y→0时，可得如果x>L，则根据二项式定理可证Ey→0。可知：合场强沿x轴正向。如果x<-L，则同理可得Ey→0。当x→L时，场强Ex→∞。合场强沿x轴负向。当x→-L时，场强Ex→-∞。如果|x|<L，可证场强Ey→∞。场强的x分量在线段两个端点附近较大，其他部分较小，左右两端场强的方向相反。场强的y分量在线段附近较大，其他部分比较小，前后两侧的场强方向相反。合场强呈“高墙”状，距离带电线段较近的地方电场强度特别大，然后陡然减小。合场强的方向角随极角的增加而增加，当方向角达到180°时就向-180°跃变。(2)求任一点的电势，电势分布曲面的规律是什么？电场线和等势线是如何分布的？[解析](2)电荷元dq在P点产生的电势为根据电势叠加原理，P点的电势为-LLOxyPldlr其中，C是积分常数，由零势点的坐标决定。均匀带电线段的电势是坐标的函数。电势关于原点的分布是对称的。根据积分公式可得均匀带电线段的电场保持x不变，当y趋于无穷大时，可得如果取无穷远处为电势零点，则C=0。当C=0时，可得说明：对于无限长的带电直线来说，不能取无限远处为电势零点。当线段延伸到无穷远处，即L→∞，就会有U→∞的结果。保持y不变，当x趋于无穷大时也可得出同一结果。如果取(0,a)点为零势点，将x=0，y=a和U=0代入上式得因此当线段趋于无限长时可得即这就是无限长带电直线的电势公式。[讨论]①当x=0时，可得中垂线上的电势当y→0时，电势U→∞。由于λ=Q/2L，所以如果L→0根据罗必塔法则可得这是点电荷的电势和场强公式。[讨论]②当y→0时，可得如果x>L，则当x→L时，电势U→∞。如果0<x<L，则U→∞。根据电势梯度可直接计算场强的分量可知：当场点趋于线段时，电势都趋于无穷大。电场线的方程为求电场线

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