微积分基础复习课件

微積分[第九版]微積分基礎複習Chapter1微積分[第九版]微積分基礎複習Chapter11.1

實數線和順序1.2絕對值和實數線上的距離1.3指數和根號1.4多項式的因式分解1.5分式與有理化第一章微積分基礎複習P.1-11.1實數線和順序第一章微積分基礎複習P.1-11.1實數線和順序學習目標實數的表示、分類與排序。利用不等式表示實數的集合。解不等式。以不等式做為實際問題的模型並解之。P.1-2第一章微積分基礎複習1.1實數線和順序學習目標P.1-2第一章微積分基礎複習實數線實數可用實數線

(realnumberline)(或x軸)座標系來表示，如圖1.1。正方向

(positivedirection)(往右)指向x值遞增的方向。實數線上的某一點所對應的實數稱為該點的座標

(coordinate)。如圖1.1所示，在實數線上按慣例都是標出座標為整數的點。P.1-2圖1.1第一章微積分基礎複習實數線實數可用實數線(realnumberline)(實數線P.1-2在實數線上對應到零的點稱為原點

(origin)。在原點右邊的數字為正

(positive)，而在原點左邊的數字為負(negative)。非負(nonnegative)這個字表示一個不是正就是零的數。第一章微積分基礎複習實數線P.1-2在實數線上對應到零的點稱為原點(origi實數線實數線的重要性在於提供實數的完全圖像。也就是，在實數線上的每一點都會對應到一個且只有一個實數，這種關係稱為一對一的對應(one-to-onecorrespondence)，如圖1.2所示。P.1-2圖1.2第一章微積分基礎複習實數線實數線的重要性在於提供實數的完全圖像。也就是，在實數線實數線在圖1.2中四個點的任一點都對應到一個可表示成分數的實數，即 這種數稱為有理數

(rational)。有理數可表示成有限小數或無限循環小數，如下所示：有限小數

無限循環小數P.1-2第一章微積分基礎複習實數線在圖1.2中四個點的任一點都對應到一個可表示成分數實數線不是有理數的實數稱為無理數

(irrational)，因此它們不能表示成分數(有限小數或無限循環小數)。所以，習慣會用近似值來表示一個無理數。一些在應用上常會出現的無理數，數學家已創造一些特殊符號來表示。例如，

、

和e等等，下面為各符號的近似值，請參考圖1.3。P.1-3圖1.3第一章微積分基礎複習實數線不是有理數的實數稱為無理數(irrational)，在實數線上的順序和區間P.1-3圖1.4實數的一個重要性質是它們是有序的

(ordered)：0小於1、－3小於－2.5、

小於

等等。可由觀察a

小於b

若且唯若在實數線上a

位於b

的左邊，以圖形來描述這個性質。在符號上，「a

小於b」記為不等式a<b。例如在圖1.4中由實數線上，是在1的左邊就可推得。第一章微積分基礎複習在實數線上的順序和區間P.1-3圖1.4實數的一個重要性在實數線上的順序和區間P.1-3當三個實數a、x和b排序後，使得a<x且x<b時，可說x介於

(between)a和b之間而且寫成a<x<bx介於a和b之間第一章微積分基礎複習在實數線上的順序和區間P.1-3當三個實數a、x和b在實數線上的順序和區間所有介於a和b之間的實數所形成的集合稱為介於a和b之間的開區間

(openinterval)並記為(a,b)。區間(a,b)不包含「端點」a和b。包含端點的區間稱為閉區間

(closedinterval)並記為[a,b]。[a,b)和(a,b]形式的區間既非開區間也非閉區間。P.1-3第一章微積分基礎複習在實數線上的順序和區間所有介於a和b之間的實數所形成在實數線上的順序和區間P.1-3圖1.5圖1.5顯示九種在實數線上的區間。第一章微積分基礎複習在實數線上的順序和區間P.1-3圖1.5圖1.5顯示學習提示中括號是用來表示「小於或等於」(≤)或「大於或等於」(≥)，此外，符號

和－

表示正無窮大

(positiveinfinity)和負無窮大(negativeinfinity)。這些符號並不代表實數；只是用來精確地描述無界的情況。例如[b，

)是右邊無界，因為它包含所有大於或等於b的實數。P.1-4第一章微積分基礎複習學習提示中括號是用來表示「小於或等於」(≤)或「大於或等於解不等式在微積分中常需要解像3x－4<5這種含有變數的不等式。如果a取代x使得不等式為真，則a是這個不等式的一個解

(solution)。所有滿足不等式的x值所形成的集合稱為這個不等式的解集合(solutionset)。下列是一些用於解不等式的性質。(將<換成≤以及>換成≥也有相同性質)。P.1-4第一章微積分基礎複習解不等式在微積分中常需要解像3x－4<5這種含有學習提示注意性質3和性質4的差異。例如 －3<4⇒(－3)(2)<(4)(2) 和 －3<4⇒(－3)(－2)>(4)(－2)P.1-4第一章微積分基礎複習學習提示注意性質3和性質4的差異。例如P.1-4第一解不等式P.1-4注意，當不等式乘一負數時，不等式要反轉。例如，若x<3，則－4x>－12。這個原則也適用在除於負數的情況。所以，若－2x>4，則x<－2。第一章微積分基礎複習解不等式P.1-4注意，當不等式乘一負數時，不等式要反轉。例學習提示一旦解出一個不等式，最好檢查一下一些在解集合的x值是否滿足原不等式。也可檢查一些在解集合外的值來驗證它們並不滿足不等式。例如圖1.6顯示當x＝0或x＝2時，不等式是成立的。但是，當x＝4時，不等式是不成立的。P.1-4第一章微積分基礎複習學習提示一旦解出一個不等式，最好檢查一下一些在解集合的x值範例

1解不等式求不等式3x－4<5的解集合。P.1-4第一章微積分基礎複習範例1解不等式求不等式3x－4<5的解集合。範例

1解不等式（解） 3x－4<5寫出原不等式 3x－4＋4<5＋4

兩邊各加43x<9 化簡

兩邊各乘x<3 化簡P.1-4~1-5第一章微積分基礎複習範例1解不等式（解）P.1-4~1-5第一章微積分基範例

1解不等式（解）P.1-5圖1.6所以解集合是區間(－∞,3)，如圖1.6所示。第一章微積分基礎複習範例1解不等式（解）P.1-5圖1.6所以解集合是檢查站1求不等式2x－3<7的解集合。P.1-5第一章微積分基礎複習檢查站1求不等式2x－3<7的解集合。P.1-解不等式在範例1中，五個列在解答過程中的不等式有相同的解集合，因此稱為等價不等式

(equivalentinequalities)。P.1-5第一章微積分基礎複習解不等式在範例1中，五個列在解答過程中的不等式有相同的解解不等式在範例1的不等式包含了一次不等式。要解較高次的多項式時，注意到只有在實數根(使多項式為零的實數)的地方，多項式才會改變符號。在兩個連續的實數根之間，多項式必定為正或為負。將多項式的實數根按大小順序排好後，將實數線分割成多個檢驗區間

(testintervals)，在每個檢驗區間內多項式的正負是不會改變的。如果多項式可因式分解成(x－r1)(x－

r2),...,(x－

rn),r1<r2<r3<...<rn 則檢驗區間為(－

,r1),(r1,

r2),...,(rn－1,

rn),和(rn,

)P.1-5第一章微積分基礎複習解不等式在範例1的不等式包含了一次不等式。要解較高次的多解不等式例如，多項式x2

－

x－6＝(x－3)(x＋2) 只有在x＝－2和x＝3時，會改變正負性。為確定多項式在區間(－

,－2)、(－2,3)和(3,

)的正負，可在每一區間中選一個值代入多項式來檢驗。P.1-5第一章微積分基礎複習解不等式例如，多項式P.1-5第一章微積分基礎複習範例2解多項式不等式求不等式x2<x＋6的解集合。P.1-5第一章微積分基礎複習範例2解多項式不等式求不等式x2<x＋6的解範例2解多項式不等式（解）P.1-5 x2<x＋6寫出原不等式 x2－x－6<0 多項式形式 (x－3)(x＋2)<0 因式分解 所以多項式x2

－x－6的根為x＝－2和x＝3，藉由檢驗多項式在區間(－

,－2)、(－2,3)和(3,

)的正負求得不等式的解。第一章微積分基礎複習範例2解多項式不等式（解）P.1-5 範例2解多項式不等式（解）P.1-5~1-6 區間x值多項式的值結論正負正由上表可知在區間(－2,3)中的所有值都滿足此不等式。由此可推得不等式x2＜x＋6的解為區間(－2,3)。第一章微積分基礎複習範例2解多項式不等式（解）P.1-5~1-6 區間範例2解多項式不等式（解）如圖1.7所示

P.1-6圖1.7第一章微積分基礎複習範例2解多項式不等式（解）如圖1.7所示P.1-6檢查站2P.1-6求不等式x2>3x＋10的解集合。第一章微積分基礎複習檢查站2P.1-6求不等式x2>3x＋10的解應用不等式常用來描述發生在商業或科學上的條件。例如，不等式8.8≤W≤26.4 描述成猴的標準體重W(磅)。範例3則是用一個不等式來描述一家製造工廠的產量。P.1-6第一章微積分基礎複習應用不等式常用來描述發生在商業或科學上的條件。例如，不等式P範例

3產量除了每天固定的$500經常帳費用外，一項產品生產x單位時的單位成本為$2.50。八月的每天生產總成本最高為$132