第三章 随机向量

第三章随机向量第1页，课件共72页，创作于2023年2月

第一节二维随机变量

一.随机变量的定义

随机向量主要用来描述用一维随机变量不能完全刻划的随机现象。例如，炼钢时，每炉钢含碳量，含硫量，硬度三个指标组成的三维随机向量；导弹的落点与目标之间的误差：由两个连续随机变量组成的二维随机向量；以及更一般的多维随机向量。第2页，课件共72页，创作于2023年2月二维随机变量

如果

X

、Y都是定义在同一个样本空间中的随机变量，则它们构成的向量(X,Y)就称为一个二维随机变量。随机变量(X,Y)的概率性质除了与每一个分量有关外，还依赖于这两个分量之间的相互关系。第3页，课件共72页，创作于2023年2月二.

联合分布函数定义3.1.1设(X,Y)是二维随机变量，对于任意的两个实数

x、y

，二元函数

F(x,y)=P{

X

≤

x,

Y

≤

y

}称为随机变量(X,Y)的分布函数，或者也称

随机变量

X、Y的联合分布函数1.联合分布函数的定义联合分布函数是对随机变量性质的完整刻划，本质上是两个随机事件交事件的概率。第4页，课件共72页，创作于2023年2月++––

ox1

x2xyy2y12.利用联合分布函数计算概率P{x1

＜X≤x2,

y1＜Y≤y2}=F(x2,

y2)+F(x1,y1)–

F(x1,y2)–

F(x2,y1)思考1{

X

≤

x,Y

≤

y

}的对立事件是否{

X

＞

x,Y

＞

y

}？思考2

从F(x

,

y

)能不能计算出P{x1

＜X≤x2}？

第5页，课件共72页，创作于2023年2月

定理3.1.1(联合分布函数的性质)设F(x,y)是任一随机向量(X,Y)的分布函数，则(1)

(2)F(x,y)分别关于x及y单调不减，即当时，,当，

(3)(4)F(x,y)对每个变元是右连续的

第6页，课件共72页，创作于2023年2月例3.1.1已知(X,Y)的联合分布函数是：□x

y

,

当0＜

x,y

＜1x，当0＜

x

＜1，y≥1y，当0＜

y

＜1，x≥11，当

x≥1，y≥10，其它F(x,y)=问X、Y

至少有一个不大于0.4的概率。解.分析，要计算p=P{(X≤0.4)∪(Y≤0.4)}，利用加法公式，

p=P{X≤0.4}+P{Y≤0.4}

–

P{X≤0.4∩Y≤0.4}=F(0.4,+∞)+F(+∞,0.4)–

F(0.4,0.4)=0.4+0.4–0.4×0.4=0.64.第7页，课件共72页，创作于2023年2月

三、二维离散型随机变量

如果二维随机变量(X,Y)的每个分量都是离散型随机变量，则称(X,Y)是一个离散型二维随机变量。二维随机变量(X,Y)所有可能的取值是有限对或者无穷多对数.第8页，课件共72页，创作于2023年2月

定义3.1.2设二维离散型随机变量(X,Y)的可能的取值为且取这些值的概率为

则称为(X,Y)的联合概率函数或联合分布律（或联合分布）1.离散随机向量的联合分布律①联合分布律实质上仍然是随机事件交事件的概率，{

X=xi

，i

≥1}与{

Y=yj

，j

≥1}分别都是对样本空间的划分。第9页，课件共72页，创作于2023年2月2.二维联合分布律的表格形式

y1…yj…

x1

p11…p1j……………

xi

pi1…pij……………

X

Y3.联合分布律的两个性质(1)对任意的i、j，都有pi

j

≥

0,

(2)第10页，课件共72页，创作于2023年2月

一般地，若(X,Y)是离散型的，有分布律

则对任一实数对（x,y），有(3)二维离散型随机向量的分布函数与概率分布的关系:

第11页，课件共72页，创作于2023年2月

例3.1.1p77例1。

第12页，课件共72页，创作于2023年2月

四、二维连续型随机变量

1.联合密度函数的定义定义3.1.3对于二维随机变量(X,Y)，如果存在一个非负可积的函数

f(x,y)

，使得对任意的实数

x、y有，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，称f(x,y)为二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数，简称概率密度。第13页，课件共72页，创作于2023年2月(1)f

(x,y)

≥0；2.联合密度函数的基本性质(3)如果联合密度函数在点(x,y)连续，则有

f(x,y)

=——————

2

F(x,y)

x

y(4)假设

D

是平面上的任意一个区域，则点(X,Y)落在D内的概率，第14页，课件共72页，创作于2023年2月ox

yD

f(x,y)

第15页，课件共72页，创作于2023年2月

例3.1.2设(X,Y)的概率密度函数为

其中c是常数。(1)求常数c；(2)计算P{0<X<1,0<Y<1}.第16页，课件共72页，创作于2023年2月

3.常见的二维连续型随机变量1）二维均匀分布定义3.1.3：设D为平面上有界区域，其面积A>0，若二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为则称(X,Y)服从D上的(二维)均匀分布.第17页，课件共72页，创作于2023年2月

例3.1.3设(X,Y)服从圆域上的均匀分布，计算，这里A是图3.3.1中阴影部分的区域。第18页，课件共72页，创作于2023年2月

2）二维正态分布定义3.1.4：若二维随机变量(X,Y)的密度函数为

则称(X,Y)服从参数为的二维正态分布记为。其中，第19页，课件共72页，创作于2023年2月

4.n维随机变量定义3.1.5：设是定义在同一概率空间上的n个随机变量，则称是n维随机变量。n维随机变量的联合分布函数为第20页，课件共72页，创作于2023年2月

定义3.1.6如果存在非负可积函数，使得,则称是n维连续型随机变量.称为的密度函数，或称为的联合密度函数。第21页，课件共72页，创作于2023年2月第二节边缘分布随机变量(X,Y)的两个分量

X、Y都是一维随机变量，它们自身所具有的概率分布就称为是(X,Y)关于

X与Y的边缘分布。显然，边缘分布函数被联合分布函数唯一地确定

FX(x)=F(x,+∞)，FY(y)=F(+∞,y)

一.边缘分布函数第22页，课件共72页，创作于2023年2月二.二维离散随机变量的边缘分布设(X,Y)是二维离散型随机变量，其概率分布为：P{X=ai

,Y=bj

}=pij

，i、j

=1，2，….。1X的边缘分布律{pi·

，i

≥1}

P{X=ai}=∑j≥1P{X=ai

,Y=bj

}=∑j≥1

pi

j=

pi·2Y的边缘分布律{p

·j，j

≥1}

P{Y=bj

}=∑i≥1

P{X=ai

,Y=bj

}=∑i≥1

pi

j=

p

·j第23页，课件共72页，创作于2023年2月

例3.2.1对于例3.1.2中的(X,Y)，求关于X和关于Y的边缘分布律。第24页，课件共72页，创作于2023年2月三.二维连续随机变量的边缘分布设(X,Y)是二维连续随机变量，其联合密度函数为

f

(x,y)，–∞＜x，y＜+∞1X的边缘密度函数fX(x)2Y的边缘密度函数fY(y)第25页，课件共72页，创作于2023年2月

例3.2.2设(X,Y)是二维正态随机向量，求它的分量X和Y的边缘密度函数。结论：X的边缘密度函数为

Y的边缘密度函数为第26页，课件共72页，创作于2023年2月

定理3.2.2：设,则X及Y的边缘分布有，

该定理说明：随机向量(X,Y)的联合密度一般不能由其两个边缘密度唯一确定.第27页，课件共72页，创作于2023年2月

第三节条件分布

两个随机变量之间的随机相依关系身高X

与体重Y

的关系；条件分布主要用来研究随机变量的相依关系第28页，课件共72页，创作于2023年2月

一.离散型随机变量的条件分布定义3.3.1设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为P{X=ai

,Y=bj

}=pij

，i、j

=1，2，….。若对固定的j(j=1,2,…),有边缘分布,称为在条件下X的条件分布律。类似地,若对固定的i,(i=1,2,…),有称为在条件下Y的条件分布律。第29页，课件共72页，创作于2023年2月

条件分布的性质1）非负性

2）规范性

即联系第一章，随机事件A、B:第30页，课件共72页，创作于2023年2月

例3.3.1

一射手进行射击，击中目标的概率为p(0<p<1),射击进行到击中两次为止.设X为第一次击中目标时射击的次数，Y表示总共射击的次数，即第二次击中目标时射击的次数。试求：(1)X,Y的联合分布律(2)关于X和Y的边缘分布律(3)X和Y的条件分布律第31页，课件共72页，创作于2023年2月

二.连续随机变量的条件分布定义3.3.2：设(X,Y)是连续型的，对固定的y存在，使得对所有的，有且对每个实数x,极限存在，则称此极限为Y=y条件下X的条件分布函数，记为或.若存在,使得则称为在Y=y条件下X的条件密度函数。第32页，课件共72页，创作于2023年2月

定理3.3.1：设二维连续型随机变量(X,Y)有联合密度为f(x,y),Y的边缘概率密度分别为.若f(x,y)在点(x,y)处连续，在y处连续，且则有同理，X的边缘概率密度分别为.若f(x,y)在点(x,y)处连续，在x处连续，且则有

第33页，课件共72页，创作于2023年2月

于是两个条件分布函数分别表示为，第34页，课件共72页，创作于2023年2月

例3.3.2设(X,Y)服从单位圆域上的均匀分布，求X和Y的条件密度函数。

第35页，课件共72页，创作于2023年2月

第36页，课件共72页，创作于2023年2月①.Y关于(X=x)的条件分布仍然是正态分布

N(

2+

——(x–

1)

,

22(1–

2))

，例3.3.3试计算二维正态分布

(X,Y)

~(

1,

2

;

12,

22;

)的条件概率密度函数。

2

1②.X关于(Y=y)的条件分布仍然是正态分布

N(

1+

——(y–

2)

,

12(1–

2))

。

1

2解：已知有X~N(

1,

12)，Y~N(

2

,

22)。

第37页，课件共72页，创作于2023年2月三.联合分布、边缘分布与条件分布的关系与概率乘法公式相比较：

P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)1.对于二维离散随机变量

pij

=pi·×p

j|i=p·j×p

i|j对于二维连续随机变量

第38页，课件共72页，创作于2023年2月联合分布与边缘分布的关系如同“整体”与“部分”的关系：整体能够决定部分；但是各个部分的简单叠加并不一定能构成一个有机的整体。2.联合分布能够唯一地决定边缘分布，反之一般情况下从边缘分布得不出联合分布。当分量相互独立时，边缘分布就可以决定联合分布3.边缘分布与条件分布本身也是一个分布

第39页，课件共72页，创作于2023年2月混合偏导二重积分一阶偏导一重积分定积分极限？？FX(x)或FY(y)fX(x)或fY(y)F(x,y)f(x,y)第40页，课件共72页，创作于2023年2月

定义3.4.1：设X,Y是两个随机变量，若对任意实数x,y有，事件相互独立，即则称随机变量X与Y相互独立.(independent,

缩写为：ind)

第四节随机变量的独立性第41页，课件共72页，创作于2023年2月

定理3.4.1：设随机变量X,Y的联合分布函数为F(x,y),X和Y的边缘分布函数分别为，随机变量X与Y相互独立的充要条件是，对任意实数x,y有

第42页，课件共72页，创作于2023年2月注意要判断两个离散随机变量不独立，只需要找到

某一对整数i0、j0，使得：

pij≠pi·

×p·

j

0000联合分布律等于边缘分布律的乘积.即，pij

=pi·×p·j

对全部i、j成立两个离散随机变量的独立第43页，课件共72页，创作于2023年2月

例3.4.1求X和Y的独立性。解:

(X,Y)的分布律为因为

从而X和Y不相互独立。XY0107/157/307/1017/301/153/107/103/10第44页，课件共72页，创作于2023年2月

例3.4.2设随机变量X与Y独立，下表列出随机变量(X,Y)的联合分布律及边缘分布律中部分数值，将其余数值填入空白处XY

1第45页，课件共72页，创作于2023年2月两个连续随机变量的独立联合密度函数等于边缘密度函数的乘积。即，对全部x、y成立注：连续随机变量

X、Y相互独立，当且仅当：对所有实数

x、y，联合密度函数能够分解成：

f(x,y)

=g(x)×h(y)的形式

。并且，边缘密度函数可以直接写出：=C1g(x)

，=C2h(y)

这里C1、C2

是常数因子。

第46页，课件共72页，创作于2023年2月

例3.4.3设(X,Y)服从单位圆域上的均匀分布，讨论X和Y的独立性。

第47页，课件共72页，创作于2023年2月

第48页，课件共72页，创作于2023年2月例3.4.4设X和Y都服从参数的指数分布，且相互独立，试求第49页，课件共72页，创作于2023年2月例3.4.5X、Y

服从二维正态分布

(X,Y)

~N(

1,

2

;

12,

22;

)

证明X、Y相互独立的充分必要条件是

=0。证明.

(充分性)已知

=0，因此

X、Y相互独立；(必要性)已知X、Y独立，特别取

x=

1、y=

2，

根据

第50页，课件共72页，创作于2023年2月

第51页，课件共72页，创作于2023年2月注：

条件分布等于无条件分布蕴涵了独立性离散型：

联系第一章，随机事件A、B相互的独立。

P(A|B)=P(A),P(B|A)=P(B).连续型：

或者第52页，课件共72页，创作于2023年2月如何应用随机变量的独立两个随机变量的独立可以理解成：与这两个随机变量有关的所有随机事件都是独立的(1)大多数的情况下，随机变量的独立性是用于：从各自的(边缘)分布得到联合分布。(2)可以证明，如果X,Y相互独立，

g(·)与h(·)都是连续(或者单调)函数，那么

g(X)与h(Y)也是相互独立的随机变量。第53页，课件共72页，创作于2023年2月

第五节两个随机变量函数的分布

如果(X,Y)的联合分布是已知，对于给定的

一个二元函数g(·,·)，如何去计算新的随机变量Z=g(X,Y)的分布？第54页，课件共72页，创作于2023年2月

一.二维离散型随机变量函数的分布设(X,Y)是二维离散型随机变量，有联合分布律设Z=g(X,Y)是(X,Y)的函数，则Z也是离散型的，其可能的取值是。其分布律为若有若干的值相等，应将它们合为一项，把相应的概率相加。第55页，课件共72页，创作于2023年2月

例3.5.1：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为求：(1)Z=XY(2)W=X+Y的概率分布XY012002/153/1511/156/153/15第56页，课件共72页，创作于2023年2月

解：联合分布律可写成以下形式：(I)显然Z可能的取值为0,1,2.由此可得分布律为

(x,y)(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)02/153/151/156/153/15

Z0126/156/153/15第57页，课件共72页，创作于2023年2月

(II)W可能的取值为0,1,2,3.由此可得分布律为

W1233/159/153/15第58页，课件共72页，创作于2023年2月例3.5.2：泊松分布的可加性设X和Y是相互独立的随机变量，分别服从参数为的泊松分布，则随机变量Z=X+Y服从参数为的泊松分布。第59页，课件共72页，创作于2023年2月

二.二维连续型随机变量函数的分布1.一般方法例3.5.3:大炮打靶时,炮弹弹着点(X,Y)(以靶心为原点)服从正态分布，求弹着点到靶心距离的密度函数.第60页，课件共72页，创作于2023年2月

第61页，课件共72页，创作于2023年2月

设Z=g(X,Y)是(X,Y)的函数，求Z的密度函数的一般方法：(1)确定Z的值域R(Z)(2)对任意，求出Z的分布函数此处由不等式解出。(3)求导