第三章 等参数单元等参元

第三章等参数单元等参元第1页，课件共65页，创作于2023年2月对于矩形单元，由于它采用了双线性位移模式，使得单元内的应力和应变不是常量而是按线性变化，它比常应变三角形单元能较好地反映出结构的实际应力分布状态，但是它很难适应曲线边界和非正交的直线边界；同时在划分单元时，改变单元的大小也很困难，即不便于在不同部位采用大小不同的单元，因为已把每个单元的边长之半作为常量而引入单元刚度矩阵中（见式(2.48)）。因此，矩形平面单元未能在实际中得到广泛的应用。为此，我们希望找到一种单元，一方面它具有较高次的位移模式，能更好地反映结构的复杂应力分布状态，即或是单元网格划分的比较疏些，也可以得到比较好的计算精度；另一方面，它又能很好地适应曲线边界和非正交的直线边界。等参元就具备了上述两条优点，因而得到广泛应用。第2页，课件共65页，创作于2023年2月前面已谈到：无论是三角形单元还是矩形单元，其单元内位移用形函数表示为实际上不难证明：单元内任一点的坐标同样有上述关系，即(3-1)(3-2)第3页，课件共65页，创作于2023年2月可见，常应变三角形单元和矩形单元内任一点的位移函数插值公式与该点的位置坐标变换式，都具有完全相同的形式。它们都是用同样个数的相应结点值（结点位移值或坐标值）作为参数，并且用完全相同的形函数作为这些结点值前面的系数项。当参数取为结点位移时就得到位移函数插值公式；当参数取为结点坐标时，就得到位置坐标插值公式（或位置坐标变换式）。常应变三角形单元和矩形单元的这种位移函数插值公式与位置坐标变换式之间的对应协调关系，就是等参元的基本特征。所以，等参元的基本概念可简单概括成：一个单元的位移函数插值结点数与其位置坐标变换结点数相等，其位移函数插值公式与位置坐标变换式都用相同的形函数与结点参数进行插值者，称为等参元。显然，常应变三角形单元和矩形单元就是两种最简单的等参元。但是，本章所要研究的等参元，并不是这种单元，而是4结点任意四边形等参元和8结点曲边四边形单元。第4页，课件共65页，创作于2023年2月由前述知，具有双线性位移模式的矩形单元只适用于正交的、规则形状的结构。对于非正交的、不规则形状，可以用任意四边形单元代替矩形单元进行有限元分割。在直角坐标系（又称整体坐标系）中，任取一任意四边形单元1,2,3,4，四边形的四个角点取为结点，各结点的直角坐标值为。对于这种任意四边形等参元，可令其实际形状所构成的单元为子单元，把子单元的各边中点连线做一个局部坐标系（或称自然坐标系），且令单元各结点的局部坐标系分别是：；；；。这样，就把子单元影射到局部坐标系上，而成为正方形单元，称此正方形单元为母单元。整体坐标系适用于所有单元，即适用于整个求解区，而局部坐标系只适用于每一个单元。

§3-2四结点任意四边形等参元一．位移插值函数式及坐标变换式第5页，课件共65页，创作于2023年2月在子单元上再作各对边的等分线，这些等分线影射到母单元上，也必然是母单元各对应边上的等分线。这样，母单元与子单元之间的相应点存在着一一对应的关系。这种对应关系说明，在母单元平面上平行于或的直线，在平面内的子单元上仍然是相对应的直线。第6页，课件共65页，创作于2023年2月因此，我们就可以把矩形单元的位移函数插值式(3-1)，单元内任一点的坐标变换式(3-2)，以及局部坐标变换式（类似坐标变换式），用在任意四边形等参元上，并重新写成(3-3)(3-4)(3-5)第7页，课件共65页，创作于2023年2月式(3-3)和(3-4)是任意四边形在局部坐标系下的位移插值函数和单元内任一点局部坐标插值公式，而式(3-5)是每个单元的局部坐标系与结构的整体坐标系之间的坐标变换式。由这些公式看出，任意四边形单元符合等参元条件，它当然是等参元。由于任意四边形单元的位移插值函数(3-3)，在局部坐标系下满足形容条件，因此坐标变换式(3-5)也就满足相容条件，从而使得式(3-3)在整体坐标下满足相容条件。也就是说，在两相邻任意四边形单元公共边上的位移是连续的，坐标变换后仍然是连续的，两相邻单元公共边上的公共点在坐标变换后仍为公共点，决不会出现重叠和开裂现象。第8页，课件共65页，创作于2023年2月

利用任意四边形等参元分析平面问题时，有了该单元的位移插值函数式(3-3)和坐标变换式(3-5)，就可以应用第二章已导出的一系列公式去求解。但是，这一系列公式都是在整体坐标下导出的，其中，应变矩阵的每个元素都是各结点形函数对整体坐标进行重积分，而任意四边形等参元的形函数又是针对局部坐标的，因此需要对和进行坐标变换。这样，就引出了坐标变换矩阵和变换行列式。和的偏导数；单元刚度矩阵的每个元素又是各结点形函数对整体坐标和的偏导数的乘积，再对二．坐标变换矩阵及变换行列式第9页，课件共65页，创作于2023年2月设任意四边形在整体坐标下的位移插值函数式为而该单元在局部坐标系下的位移插值函数式(3-3)可以写成：这两种形式的位移插值函数式通过坐标变换式(3-5)联系起来。为了方便，把式(3-5)写成：(3-6)(3-7)(3-8)第10页，课件共65页，创作于2023年2月根据复合函数的求导法则，(3-6)，(3-7)，(3-8)三式之间有如下关系由式(3-9)可抽象出(3-9)第11页，课件共65页，创作于2023年2月把上面二式写成矩阵形式，得令(3-11)

(3-10)第12页，课件共65页，创作于2023年2月称为坐标变换矩阵或雅克比矩阵，它是局部坐标的函数。因此式(3-10)变成故有(3-13)

(3-12)第13页，课件共65页，创作于2023年2月式中称为坐标变换矩阵或雅克比逆阵，它也是局部坐标的函数。式中的是坐标变换行列式。另外，为了把化成对局部坐标的重积分，还需把微分面积做相应的变换。(3-14)第14页，课件共65页，创作于2023年2月设任意四边形等参元1,2,3,4内任一点沿局部坐标方向的微分矢量为，由于在方向上只有变化，而不变，故微分矢量在整体坐标系的轴上的投影分别为第15页，课件共65页，创作于2023年2月同理，由于在方向上只有变化而不变，故在轴上的投影：两个微分矢量所构成的微小平行四边形面积：第16页，课件共65页，创作于2023年2月而又可以看成是在整体坐标中的微分面积，故有式中(3-15)’（3-15）第17页，课件共65页，创作于2023年2月为了进一步阐明和计算任意四边形等参元的单元刚度矩阵及应力矩阵（或应变矩阵），需要把前述的及展成具体形式的表达式，为此，将(3-5)式代入(3-12)式，得第18页，课件共65页，创作于2023年2月再将对然后代入中得(3-16)分别求偏导数，第19页，课件共65页，创作于2023年2月式(3-16)表明，只有给定整体坐标下的单元四个结点的坐标值

和就完全由单元的局部坐标来决定了，而且它的每个元素都是和的线性函数，令常数项分别为第20页，课件共65页，创作于2023年2月则(3-16)式可写成由式(3-16)’可以得出雅克比行列式(3-16)’(3-17)第21页，课件共65页，创作于2023年2月它也是的线性函数。由(3-16)’和(3-17)式可以直接写成的逆阵：式中的每个元素变成(3-18)的较复杂的函数。第22页，课件共65页，创作于2023年2月由式(3-18)看出，为了确保的存在，必须要求变换行列式，这个条件的实质是，要求任意四边形等参元在整体坐标下的形状必须是凸的四边形，而不能有一个内角等于或大于。否则，在单元上将得不到整体坐标与局部坐标之间的一一对应的变换关系，而使计算方法失效。因此，所谓任意四边形等参元，其任意性还是有一定限度的，要求四边形的任意两对边不能通过适当的延伸而在单元内出现交点。通常，在实际有限元计算中，为了尽量使其形状接近于正方形比较好，但可以大小不一样。第23页，课件共65页，创作于2023年2月及表达式中的有关及都换成局部坐标的函数表达式。此时，任意四边形等参元的一切计算都可以立足在局部坐标系下进行了。根据上述已求得的，及等函数表达式，就可以将首先，由式(3-13)引出：第24页，课件共65页，创作于2023年2月第25页，课件共65页，创作于2023年2月所以式中(3-19)第26页，课件共65页，创作于2023年2月然后，将式(3-19)代入中，就把的各元素化成的函数；再将式(3-17)代入式(3-15)，并将式(3-15)及代入，就把的重积分，其被积函数应该指出，中的每个元素都含有对和的重积分，尽管其积分区域变得十分简单，而其被积函数都比较复杂，需要采用数值积分（通常是采用高斯求积法），由于任意四边形等参元的应力是和的函数，因此在求解单元应力时，必须指明是求哪一点的应力，而且各单元之间的应力是不连续的。的每个元素化成对局部坐标的函数式。都是和的复杂函数，对于各单元的应力也可以化成是和第27页，课件共65页，创作于2023年2月

四节点任意四边形等参元尽管比矩形单元好，比三角形单元的精度高，但是它对结构的曲线边界仍然要以许多小直线段去逐渐逼近，计算精度仍不够理想，为了进一步提高计算精度，可在四节点任意四边形等参元的基础上，增加结点个数，选用高幂次结构模式的等参元。一般常用的是八结点曲边四边形等参元。§3-3八结点曲边四边形等参元一．位移插值函数及坐标变换第28页，课件共65页，创作于2023年2月左图是8结点平面等参元在整体坐标下的实际形状，它除了四个角点1，2，3，4之外，又在每边中点选一个结点5或6，7，8，各结点的整体坐标值为。类似于4结点任意四边形等参元，这种子单元映射到局部坐标系上，就变成边长为2的8结点正方形母单元。第29页，课件共65页，创作于2023年2月现在，我们首先考虑在局部坐标系下的8结点正方形母单元。由于它的8个结点共有16个位移分量，故必须选择局部坐标的双二次多项式，做为它的位移模式。式中是由单元8个结点的局部坐标值和来决定的待定常数。(3-20)第30页，课件共65页，创作于2023年2月可用类似于以前用过的方法，将8结点的局部坐标值代入式(3-20)，得到以为未知数，以及为已知数的16个联立方程组，求解这个方程组即得的表达式。然后再回代到(3-20)中，经整理

式中是第(3-21)个结点的形函数。第31页，课件共65页，创作于2023年2月应该指出，用上式求解联立方程组的方法来导出式(3-21)，比较麻烦，特别是当待定系数比较多时，欲导出形函数的显式是非常烦琐的。为了简化求导的过程，我们可以利用的特点来决定各结点的形函数显式。由第二章知，各种单元的形函数都有两个特点时，或是的二次函数；当固定时，或又是的二项函数。1)是形如单元位移模式的同幂次多项式，对于8结点曲边形等参元，它的一定是局部坐标和的双二次多项式，固定第32页，课件共65页，创作于2023年2月2)在结点的值为1，在其余结点

，根据形函数的这两个特点，先求8结点曲边四边形等参元四个角点的形函数。对于角点1，根据第2)个特点，在结点的值全为零，而直线通过等七个结点，故这三条直线的方程分别为同时，由组成的函数，在结点上的值恰好都等于零；另外，根据第1)个特点，函数也恰好是双二次函数。因此，可设第33页，课件共65页，创作于2023年2月式中是待定常数。将1结点的局部坐标值和代入上式，并考虑这一特点，可求得同理可得(3-22)，于是第34页，课件共65页，创作于2023年2月再来求8结点曲边四边形单元各边中点的形函数。对于5结点，根据第2)个特点，在结点的值全应等于零，而直线通过上述七点，这三条直线的方程分别为于是，函数在结点上的值恰好都等于零；另外，函数也符合的第1)个特点。因此，可设式中也是待定常数。将5结点的局部坐标值和代入上式，并考虑这一特点，可求得，于是第35页，课件共65页，创作于2023年2月同理可得(3-23)，则可将(3-22)和(3-23)式合并成一个通式(3-24)如令第36页，课件共65页，创作于2023年2月从式(3-24)看出，是双二次函数，从而使单元任一点的位移插值函数和[式(3-21)]也是双二次函数：单元每一条边上的和是或的二次函数，它完全由边上的3结点的函数值唯一决定，而且在相邻两单元的公共边上，其三个结点有相同的函数值。因此，这种单元的位移插值函数和，以及形函数能完全满足变形连续性条件和相容条件，结构变形后，各单元之间和每个单元都不能出现开裂和重叠现象。由于是双二次函数，它对结构线性函数都是精确成立的，故可用类似于4结点任意四边形等参元曾用过的方法，直接写出单元内任一点的局部坐标的线性插值式。(3-25)第37页，课件共65页，创作于2023年2月且有以及该点的整体坐标与局部坐标之间的变换式由于的相容性，式(3-27)也满足相容条件。(3-26)(3-27)第38页，课件共65页，创作于2023年2月8结点曲边四边形等参元的坐标变换矩阵和其逆阵以及变换行列式，仍可以采用(3-12)、(3-14)和(3-15)’，但这三式中及项，需做如下改变(3-28)所共同包含的第39页，课件共65页，创作于2023年2月而式(3-28)中的和，可将式(3-24)分别对,求得：(3-29)的偏微分而第40页，课件共65页，创作于2023年2月最后，由式(3-13)可直接引出(3-30)第41页，课件共65页，创作于2023年2月将式(3-29)代入式(3-28)，再将式(3-30)分别代入式(3-12)，(3-14)及(3-15)’中，即可求得8结点曲边四边形等参元的坐标变换矩阵和其逆阵，以及坐标变换行列式的具体表达式。这些表达式都是局部坐标和的函数。最后，再把式(3-29)代入式(3-30)中，就把和转化成为局部坐标的函数，这对于立足于局部坐标去计算单元应力和单元刚度阵是非常方便的。应该指出，为了保证8结点曲边四边形等参元的坐标变换能顺利进行，对整体坐标下8个结点位置的配置必须做一定的限制。既不能使单元太偏斜，又要求任意两条对边经过适当延伸也不能在单元内出现交点。通常，在划分单元网格时，尽量把每个单元配置成接近正方形。第42页，课件共65页，创作于2023年2月将式(3-21)代入平面问题的几何方程中，便得出8结点曲边四边形单元的应变分量计算式(3-31)二．单元分析第43页，课件共65页，创作于2023年2月式中——单元应变矩阵的第i个子矩阵——单元结点位移列阵第44页，课件共65页，创作于2023年2月8结点曲边四边形单元的应力表达式式中和——应力矩阵及其子矩阵，对于平面应变问题(3-32)第45页，课件共65页，创作于2023年2月应用虚功方程，仍可以导出这种单元的刚度矩阵。(3-33)把式(3-33)写成分块矩阵，可分成8×8个子矩阵，每个子矩阵都是2×2阶矩阵：(3-34)第46页，课件共65页，创作于2023年2月将式(3-29)代入式(3-28)中，再将式(3-28)代入式(3-12)、(3-14)和(3-15)’即可求得8结点曲边四边形等参元的,及；然后将式(3-29)代入式(3-30)中，再将式(3-30)及已求得的代入式(3-34)中，经过局部坐标的积分，可得到，其中被积函数(3-35)第47页，课件共65页，创作于2023年2月或的具体数值；最后把各单元的组集结构整体刚度矩阵，把各单元的结点力列阵组集成整个结构的结点力列阵，并组成结构刚度方程，再考虑结构约束条件，即可求解出离散结构上各结点的位移分量列阵和各单元的结点位移分量列阵。求得了各单元的后，再把和已计算过的式(3-30)一起代入式(3-32)中，且要给出各单元需要求应力的局部坐标值，就可以求得各单元内需要求应力那些点的各应力分量值。第48页，课件共65页，创作于2023年2月应该指出，无论是8结点曲边四边形等参元或者是4结点任意四边形等参元，其单元内每一点的应力都是不相同的，且是点的局部坐标复杂函数，因而这种单元的精度比较高。但是，在相邻单元公共边上的应力函数仍然是不连续的（其位移是连续的）。因此，通常是求单元各高斯积分点处的应力。（见§3.4）8结点曲边四边形等参元基本和4结点任意四边形等参元的等效结点力计算方法相同。现以8结点四边形等参元为例，讨论如何把单元上的载荷化成等效结点力。三．等效结点力计算第49页，课件共65页，创作于2023年2月

1.集中力：设单元上任意点c受有集中载荷，则被移置到单元各有关受载结点上的等效结点力，可按第2章§2-8节中讲过的方法直接写成(3-36)式中代表在集中力作用点处c的取值，把c点的局部坐标值代入形函数，再去计算。实际计算时，应尽量把集中力作用点取为结点，而把直接加到该结点上。第50页，课件共65页，创作于2023年2月

2.体积力：设单元上的体力为，移置到单元各结点上的等效结点力。按式(2-38)可写成式中t是单元厚度。(3-37)第51页，课件共65页，创作于2023年2月3.面力：设单元的某边界上受有面力上有关结点的等效结点力按式(2-39)可写成式中是单元作用有面力的边界域；是在边界域的一个微弧长；i为受面力边界上的结点号码。，这条边界(3-38)第52页，课件共65页，创作于2023年2月应指出，式(3-38)中所给出的面力分量和，实用时不太方便。在实际结构上往往是给出沿单元曲线边界的法线和切线方向的面力和，故需对式(3-38)做适当修改。规定：法向面力以沿边界曲线的外法线方向为负，切向面力以沿单元边界逆时针方向前进者为正。图中指出的和都是正的。第53页，课件共65页，创作于2023年2月设图中8结点平面等参元的边界上受有面力及，且与x轴的夹角为。则与x轴的夹角就是。由图知而第54页，课件共65页，创作于2023年2月把和代入(3-38)式得由(3-21)知，，故x或y对和的重积分为(3-39)第55页，课件共65页，创作于2023年2月对于图中等参元的边界，其局部坐标，是变化的，因此x或y对局部坐标的全微分应为将和代入式(3-39)得(3-40)由于，及都是的复杂函数（因的积分也要用数值积分法（常用高斯求积法来求解）。），故式(3-40)第56页，课件共65页，创作于2023年2月4.温度荷载考虑温度变化产生的初应变则任意结点上的等效结点力是将和代入上式，可以写成第57页，课件共65页，创作于2023年2月此时，计算应力的（3-32）式改写为第58页，课件共65页，创作于2023年2月在前二节的刚度矩阵和等效结点力的计算公式中，都需要做如下形式的积分运算显然，被积函数一般是很复杂的，往往不能得出它的显式。因此，在有限单元法的计算中都用数值积分。我们在单元内选出某些点（称为积分点），算出被积函数在这些积分点处的函数值，然后用一些加权系数乘上这些函数值，再求出总和作为近似的积分值。高斯求积法就是数值积分法中具有较高精度的方法。§3-4高斯求积法的应用第59页，课件共65页，创作于2023年2月一维高斯求积公式式中n是积分点的数目，是积分点i的局部坐标，是加权系数。下表是n≤4的数值第60页，课件共65页，创作于2023年2月高