2023东城区高三一模试卷及答案

2024东城区高三一模试卷及答案北京市东城区2024-2024学年度其次学期高

三综合练习（一）

数学

（理科）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项。

（1）若a，b∈R，i是虚数单位，且(2)i1iab+-=+，则ab+的值为

（A）1（B）2（C）3（D）4（2）若集合},0{2mA=，}2,1{=B，则“1=m”是“}2,1,0{=BAY”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（3）若实数x，y满意不等式组1,2,0,yxyxy+≤??

-≤??≥?

则yxz2-=的最小值为

（A）2

7-（B）2-（C）1（D）25

（4）右图给出的是计算

100

1

...81614121+

++++的一个程序框图，其中推断框内应填入的条件是

（A）50i（C）25i

（5）某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，假如要求剩

余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为

844647

m93

54551079

乙

甲

（A）16（B）18（C）24（D）32

（6）已知x，y，z∈R，若1-，x，y，z，3-成等比数列，则xyz的值为C（A）3-（

B）3±（C

）-（D）±

（7）在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，ABAD⊥，4AB=，2BC=，4AD=，若P为CD的

中点，则PAPB?uuuruuur

的值为

（A）5-（B）4-（C）4（D）5

（8）已知函数21,0,

()(1),0.xxfxfxx-?-≤=?->?

若方程()fxxa=+有且只有两个不相等的实

数根，则实数a的取值范围是

（A）(),1-∞（B）(],1-∞（C）()0,1（D）[)0,+∞

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）命题“000(0,),tansin2

xxxπ

?∈>”的否定是.

（10）在极坐标系中，圆2=ρ的圆心到直线cossin2ρθρθ+=的距离为．（11）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是；

若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数

后，两组数据的平均数中较大的一组是组．

（12）如图，AB是⊙O的直径，直线DE切⊙O于点D，

且与AB延长线交于点C，

若CD=，1CB=，则ADE∠=．

（13）抛物线2yx=的准线方程为；经过此抛物线的焦点是和点

D

C1

Q0

N1

C

B1

ABMQ

(1,1)M，且

与准线相切的圆共有个．

（14）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点M在AD上，正方形ABCD以AD为

轴逆时针旋转θ角)3

π

(0≤≤θ到11ABCD的位置，同时点M沿着AD从点A

运动到点D，11MNDC=uuuuruuuur

，点Q在1MN上，在运动过程中点Q始终满意

QMuuuur

1

cos=

θ，记点Q在面ABCD上的射影为0Q，则在运动过程中向量0BQuuuur与BMuuuur夹角α的正切的最大值为.

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数22()(sin2cos2)2sin2fxxxx=+-.（Ⅰ）求()fx的最小正周期；

（Ⅱ）若函数()ygx=的图象是由()yfx=的图象向右平移

8

π

个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x∈时，求()ygx=的最大值和最小值.

F

E

B

F

A1

B

E

（16）（本小题共13分）

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元.两种产品生产的质量相互独立.

（Ⅰ）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X（单位：万元），求X的分布列；

（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.（17）（本小题共13分）

如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的点，且满意1AEFCCP===.将△AEF沿EF折起到△1AEF的位置，使二面角

1AEFB--成直二面角，连结1AB，1AP.（如图2）

（Ⅰ）求证：EA1⊥平面BEP；

（Ⅱ）求直线EA1与平面BPA1所成角的大小.图1图2

(18)（本小题共14分）

已知函数2

21()2e3eln2

fxxxxb=

+--在0(,0)x处的切线斜率为零．

（Ⅰ）求0x和b的值；

（Ⅱ）求证：在定义域内()0fx≥恒成立；(Ⅲ)若函数()()a

Fxfxx

'=+有最小值m，且2em>，求实数a的取值范围.

（19）（本小题共13分）

已知椭圆C：()222210xyabab+=>>的离心率是1

2

，其左、右顶点分别为1A，2A，

B为短轴的端点，△12ABA的面积为23．（Ⅰ）求椭圆

C的方程；

（Ⅱ）2F为椭圆C的右焦点，若点P是椭圆C上异于1A，2A的任意一点，直线1AP，

2AP与直线4x=分别交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆与直线2PF相

切于点2F．

（20）（本小题共14分）

若对于正整数k,()gk表示k的最大奇数因数，例如(3)3g=，(10)5g=.设

(1)(2)(3)(4)(2)nnSggggg=+++++L．

（Ⅰ）求(6)g,(20)g的值；（Ⅱ）求1S，2S，3S的值；（Ⅲ）求数列{}nS的通项公式．

北京市东城区2024-2024学年度其次学期高三综合练习（一）数学参考答案及评分标准（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）D（2）A（3）A（4）B（5）C（6）C（7）D（8）A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）(0,),tansin2

xxxπ

?∈≤（102（11）84乙

（12）60o（13）1

4

x=-2（14）612注：两个空的填空题第一个空填对得2分，其次个空填对得3分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）

解：（Ⅰ）由于22()(sin2cos2)2sin2fxxxx=+-

sin4cos4xx=+

2)

4

xπ

=+,

…………6分所

以

函

数

()

fx的最小正周期为

2

π

.…………8分（Ⅱ）依题意,()ygx==21+

2)14

xπ

=-+.…………10分

由于04xπ≤≤，所以34444

xπππ-≤-≤.…………11分

D

P

F

E

A

C

B

当442xππ-

=，即316

xπ

=

时，()gx取最大值21+；当444

xππ

-

=-，即0x=时，()gx取最小值

0.…………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）由题设知，X的可能取值为10，5，2，3-.…………2分

(10)PX=0.80.90.72=?=，(5)0.20.90.18PX==?=，(2)0.80.10.08

PX==?=，

(3)0.20.10.02PX=-=?=.…………6分

由此得X的分布列为：

X10523-

P

0.720.180.08

0.02

…………8分（Ⅱ）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4n-件.

由题设知4(4)10nn--≥，解得14

5

n≥，

又

n*∈N且

4n≤，得3n=，或

4n=.…………10分

所求概率为3

3440.80.20.80.8192PC=??+=.（或写成512625

）

答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192.…………13分

（17）（共13分）

（Ⅰ）证明：取BE中点D，连结DF.

由于1AECF==，1DE=，

所以2AFAD==，而60A∠=o，即△ADF是正三角形.又由于1AEED==,所以EFAD⊥.…………2分所以在图2中有1AEEF⊥，BEEF⊥.…………3分所

以

1AEB

∠为二面角

1AEFB

--的平面角.

图1

又二面角1AEFB--为直二面角，

所以1AEBE⊥.(5)

分

又由于BEEFE=I,所

以

1AE

⊥平面BEF,即

1AE

⊥平面

BEP.…………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知1AE⊥平面BEP，BEEF⊥，如图，以E为原点，建立空间直角坐标系Exyz-，

则(0,0

,0)E，1(0,0,1)A，(2,0,0)B，F在图１中，连结DP.

由于12

CFCPFAPB==，

所以PF∥BE，且1

2

PFBEDE=

=.所以四边形

EFPD为平行四边形.所以EF∥DP，且EFDP=.故点P的坐标为（10）.图

2

所

以

1(2,0,1)

AB=-uuuur

，

(BP=-uuur

，

1(0,0,1)EA=uuuur

.…………8分

不妨设平面1ABP的法向量(,,)xyz=n，则10,

0.ABBP??=???=??uuuuruuur

nn

即

20,

0.

xzx-=???=??

令y=，

得

(3,,6)=n.…………10分

所以

cos?1EA?uuur

n,112||||EAEA?=

==uuuur

uuuuurnn.…………12分故直线

1AE

与平面

1ABP

所成角的大小为

3π

.…………13分

（18）（共14分）

（Ⅰ）解：

23e()2efxxx

'=+-.…………2分

由题意有0()0fx'=即2

00

3e2e0xx+-=，解得0ex=或03ex=-（舍

去）．…………4分

得

(e)0

f=即

2

221e2e3elne02

b+--=，解得

21

e2

b=-．…………5分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知222

1e()2e3eln(0)22

fxxxxx=+-+>，

()fx'23e(e)(3e)2e(0)xxxxxx

-+=+-=>．在区间(0,e)上，有()0fx'．

故()fx在(0,e)单调递减，在(e,)+∞单调递增，于

是

函

数

()

fx在(0,)+∞上的最小值是

(e)0f=．…………9分

故当0x>时，有

()0

fx≥恒成

立．…………10分

(Ⅲ)解：2

3e()()2eaaFxfxxxx

-'=+=++(0)x>．

当2

3ea>时，则2

23e()2e23e2eaFxxax

-=++≥-，当且仅当23exa=-

故

()

Fx的最小值

223e2e

ma=-2e>，符合题

意；…………13分

当23ea=时，函数()2eFxx=+在区间(0,)+∞上是增函数，不存在最小值，

不合题意；

当2

3ea<时，函数2

3e()2eaFxxx

-=++在区间(0,)+∞上是增函数，不存在最小值，不合题意．

综

上

，

实

数

a

的取值范围是

2(3e,)+∞．…………14分

（19）（共13分）（

Ⅰ

）

解

：

由

已

知

2221,223,.caababc?=???

=??=+???

…………2分

解得2a=，3b=．…………4分故

所

求

椭

圆

方

程

为

22

143

xy+=．…………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()12,0A-，()22,0A，()21,0F．

设()()000,2Pxyx≠±，则22

03412xy+=．于是直线1AP方程为()0022yyxx=

++，令4x=，得0062

My

yx=+；所以(M4,

062

yx+)，同理

(N4,

022

yx-)．…………7分所以2FM=uuuur(3,0062yx+)，2FN=uuuur(3,0

022yx-).

所以22FMFN?=uuuuruuuur(3,0062yx+)?(3,0

022

yx-)

00

0062922

yyxx=+

?+-()2200

22

003123129944

xyxx-=+=+--()20249499904

xx-=-=-=-．所以22FMFN

⊥，点

2

F在以MN为直径的圆上．…………9分设MN

的中点为E

，

则

(4,

E002

04(1)

4

yxx--)．…………10分又2FE=uuuur(3,00204(1)

4

yxx--)，()2024,,FPxy=-uuuur

所以22FEFP?=uuuuruuuur(3,00204(1)4yxx--)()()()2000002

0411,314

yxxyxx-?-=-+-

()

()()

()()2

0020243131313104

xxxxxx--=-+

=---=-．

所以

22FEFP⊥．…………

12分

由于2FE是以MN为直径的圆的半径，E为圆心