广东省湛江市第十四中学高三数学文期末试卷含解析

广东省湛江市第十四中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在R上的函数满足，其图像经过点（2,0），且对任意恒成立，则不等式的解集为A．

B．

C．

D．参考答案：.试题分析：因为对任意恒成立，所以当时，，这表明函数在上是单调递增的.又因为其图像经过点（2,0），所以，所以当时，；当时，；又因为定义在R上的函数满足，所以函数的图像关于直线对称.所以不等式可转化为：当时，显然不满足该不等式；当时，此时，所以即，所以此时不等式的解集为；当时，，所以即，所以此时不等式的解集为，综上所述，不等式的解集为，故应选.考点：1、函数的基本性质；2、不等关系；2.已知等差数列,则数列{an}的公差d=(

）A．0

B．1

C．-1

D．2参考答案：B，，，可得，故选B.

3.已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴∴a=2b，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3∴c2+4=9∴∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1∴双曲线的方程为﹣x2=1．故选C．【点评】本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4.已知集合等于（

） A． B． C． D．参考答案：C5.不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2

p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3

p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用；二元一次不等式的几何意义．【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2区域的上方，故：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，?（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3错误；

p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．6.已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，+2] B．[1，e2﹣2] C．[+2，e2﹣2] D．[e2﹣2，+∞）参考答案：B【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解．设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．故选B．【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解．7.抛物线的准线方程是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B解析：由，得，故准线方程为．8.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是 ()参考答案：D略9.如果函数图像上任意一点的坐标都满足方程，那么正确的选项是A.B.C.D.参考答案：A略10.三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为5的球面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为(

)A．7 B．7.5 C．8 D．9参考答案：C【考点】球内接多面体．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由小圆面积为16π，可以得小圆的半径；由图知三棱锥高的最大值应过球心，故可以作出解答．【解答】解：设小圆半径为r，则πr2=16π，∴r=4．显然，当三棱锥的高过球心O时，取得最大值；由OO1==3，∴高PO1=PO+OO1=5+3=8．故选C．【点评】本题考查了由圆的面积求半径，以及勾股定理的应用，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的零点有个．参考答案：3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：题目中条件：“函数f（x）=的零点个数”转化为方程lnx=x2﹣2x的根的个数问题及一次函数2x+1=0的根的个数问题，分别画出方程lnx=x2﹣2x左右两式表示的函数图象即得．解答：解：当x＞0时，在同一坐标系中画出y=lnx与y=x2﹣2x的图象如下图所示：由图象可得两个函数有两个交点．又一次函数2x+1=0的根的个数是：1．故函数的零点有3个故答案为：3点评：函数的图象直观地显示了函数的性质．在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．体现了数形结合的数学思想．12.以两点和为直径端点的圆的方程是

．参考答案：13.设等差数列的前项和为，若，，，则正整数=

▲

．参考答案：13略14.设等比数列的前项和为，若=3，则=_________________.参考答案：略15.已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=

．参考答案：﹣．【分析】利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可求tanα的值，由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解tan（α﹣β）的值．【解答】解：∵tan（α+）===3，解得：tanα=，tanβ=2，∴tan（α﹣β）===﹣．故答案为：﹣．16.已知正项等比数列中，，，若数列满足，则数列的前项和

．参考答案：因为，解得，所以，所以，所以，所以数列的前项和.17.设函数f（x）=，若函数g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三个零点x1，x2，x3，则x1x2+x2x3+x1x3=．参考答案：3﹣a4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设f（x）=t，根据f（x）的函数图象得出方程f（x）=t的根的个数，从而得出f（x）=1，故而可求出f（x）=1的三个解，得出答案．【解答】解：不妨设a＞1（或0＜a＜1），作出f（x）的函数图象如图所示：设f（x）=t，由图象可知：当t=1时，方程f（x）=t有3解，当t≠1时，方程f（x）=t有2解，∵函数g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三个零点，∴关于t的方程t2+bt+c=0有且只有一解t=1，∴f（x）=1，∴x1，x2，x3是f（x）=1的三个解，不妨设x1＜x2＜x3，则x2=1，令loga|x﹣1|﹣1=1得x=1±a2，∴x1=1﹣a2，x3=1+a2．∴x1x2+x2x3+x1x3=1+a2+1﹣a2+1﹣a4=3﹣a4．故答案为：3﹣a4．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知锐角中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且（I）求角A的大小：（II）求的取值范围.

参考答案：解析：解：(1)(2)

略19.（12分）（2013?烟台一模）如图，某学校组织500名学生体检，按身高（单位：cm）分组：第1组[155，160），第2组[160，165），第3组[165，170），第4组[170，175），第5组[175，180]，得到的频率分布直方图．（1）下表是身高的频数分布表，求正整数m，n的值；（2）现在要从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，第1，2，3组应抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在第3组的概率．区间〔155，160〕〔160，165〕〔165，170〕〔170，175〕〔175，180〕人数5050m150n参考答案：考点： 频率分布直方图；分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．

专题： 概率与统计．分析： （1）根据频率分布直方图的高=，频率=，计算即可；（2）根据分层抽样方法，按频数比例计算即可；（3）根据古典概型的计算方法，先求所以可能的事件数，再求复合条件的可能事件数，然后求解即可．解答： 解：（1）由频率分布直方图，m=0.08×5×500=200，n=0.02×5×500=50．（2）∵第1、2、3组共有50+50+200=300人，根据分层抽样的方法，第1组应抽6×=1人；第2组应抽6×=1人；第3组应抽6×=4人．（3）设第1组的同学为A；第2组的同学为B；第3组的同学为①、②、③、④，则从六位同学中抽两位同学共有：（A，B），（A，①），（A，②），（A，③），（A，④），（B，①），（B，②），（B，③），（B，④），（①，②），（①，③），（①，④），（②，③），（②，④），（③，④）15种可能，其中2人都不在第3组的有：（A，B）共1种可能，∴至少有一人在第3组的概率为1﹣=．点评： 本题考查频率分布直方图、分层抽样方法及古典概型的概率计算．20.（本题共13分）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆．点M的坐标是（0,1），线段MN是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．（Ⅰ）当m=，时，求椭圆的方程；（Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）设C1的方程为,C2的方程为,其中．..2分

C1,C2的离心率相同，所以,所以，……….…3分

C2的方程为．

当m=时，A,C．.………….5分

又,所以，，解得a=2或a=(舍)，………….…………..6分

C1,C2的方程分别为，．………………….7分（Ⅱ）A(-,m),

B(-,m)．…………9分

OB∥AN,,

,

．…….11分

，\，．………12分

，\，\．.................................13分

21.定义符号函数sgn（x）=，已知a，b∈R，f（x）=x|x﹣a|sgn（x﹣1）+b．（1）求f（2）﹣f（1）关于a的表达式，并求f（2）﹣f（1）的最小值．（2）当b=时，函数f（x）在（0，1）上有唯一零点，求a的取值范围．（3）已知存在a，使得f（x）＜0对任意的x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．参考答案：【考点】分段函数的应用．【专题】数形结合；分类讨论；向量法；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据已知求出f（2）﹣f（1）=2|2﹣a|﹣|1﹣a|=，分析其单调性可得函数的最小值；（2）当x∈（0，1）时，f（x）=，由f（x）=0得：，即，令g（x）=|x﹣a|，h（x）=，在同一坐标系中分别作出两个函数在（0，1）上的图象，数形结合可得答案；（3）若存在a，使得f（x）＜0对任意的x∈[1，2]恒成立，则+x＜a＜+x对任意的x∈[1，2]恒成立，分类讨论可得答案．【解答】解：（1）∵函数sgn（x）=，f（x）=x|x﹣a|sgn（x﹣1）+b．∴f（2）=2|2﹣a|+b，f（1）=|1﹣a|+b，∴f（2）﹣f（1）=2|2﹣a|﹣|1﹣a|=，由f（2）﹣f（1）在（﹣∞，2]上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，故当a=2时，f（2）﹣f（1）的最小值为﹣1；（2）当b=时，函数f（x）=﹣x|x﹣a|+=，当x∈（0，1）时，f（x）=，由f（x）=0得：，即，令g（x）=|x﹣a|，h（x）=，在同一坐标系中分别作出两个函数在（0，1）上的图象，如下图所示：由图可得：当a∈（﹣∞，）∪{}∪[，+∞）时，两个函数图象有且只有一个交点，即函数f（x）在（0，1）上有唯一零点；（3）x∈[1，2]时，f（x）=x|x﹣a|+b，由f（x）＜0得：|x﹣a|＜，∴b＜0，且＜x﹣a＜对任意的x∈[1，2]恒成立，即+x＜a＜+x对任意的x∈[1，2]恒成立，∵y=+x在[1，2]上单调递增，故当x=2时，y=+x取最大值2+，y=+x，x∈[1，2]的最小值为：，①，解得：b∈（﹣1，﹣）；②，解得：b∈[﹣4，﹣1]；③解得：b∈（﹣∞，﹣4），综上可得：b∈（﹣∞，﹣）．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，数形结合思想，分类讨论思想，难度中档．22.（14分）（2014?宜春校级模拟）设函数f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx．（Ⅰ）若f（x）在x=处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明f′（x0）＜0．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）利用求导公式求出导数并化简，由导数的几何意义和题意可得f′（）=﹣4，解出a的值即可；（Ⅱ）对导数因式分解后，再求出函数f（x）的定义域，然后在定义域内分a≥0，a＜0两种情况，解不等式f′（x）＞0，f′（