2022年中考数学模拟试题压轴题汇(六)

2022年中考数学试题压轴题汇编(六)26．(重庆市江津区)如图，抛物线与轴交于两点A（－1，0），B（1，0），与轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；(3)在轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MN⊥轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把AB代入得：解得：………………………3分（2）令，得∴……………4分 ∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=ABC=∵BD∥CA，∴ABD=BAC过点D作DE轴于E，则BDE为等腰直角三角形令，则∴∵点D在抛物线上∴解得，（不合题意，舍去）∴DE=(说明：先求出直线BD的解析式，再用两个解析式联立求解得到点D的坐标也可) ∴四边形ACBD的面积=AB•OC+AB•DE………………7分（说明：也可直接求直角梯形ACBD的面积为4） (3)存在这样的点M……………………8分∵ABC=ABD=∴DBC=∵MN轴于点N，∴ANM=DBC=在Rt△BOC中，OB=OC=有BC=在Rt△DBE中，BE=DE=有BD= 设M点的横坐标为，则M①点M在轴左侧时，则(ⅰ)当AMNCDB时，有∵即解得：（舍去）则(ⅱ)当AMNDCB时，有即解得（舍去）（舍去）…………10分 ②点M在轴右侧时，则(ⅰ)当AMNDCB时，有∵∴解得（舍去）∴(ⅱ)当AMNCDB时，有即解得：（舍去）∴∴M点的坐标为…………12分25．（黄冈市15分）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.解：（1）a＝－1，b＝2，c＝0（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.（3）不存在.因为当t＜，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，PM与PN不可能相等.26.(湖南常德市)如图10，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.(1)当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(2)当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.①求证：AG⊥CH;②当AD=4，DG=时，求CH的长。AABCDEF图10GAD图11FEBCGADBCEFHM图12ABCDEABCDEFG图11四边形、四边形是正方形，∴ ……………1分∠∠.∴∠90°-∠∠. ……………2分BACDEBACDEFG12图12HPM∴. ……………3分（2）①类似（1）可得△△， ∴∠1＝∠2 …4分 又∵∠＝∠. ∴∠∠＝. 即 …5分 ②解法一:过作于, 由题意有,∴，则∠1＝. ………6分而∠1＝∠2，∴∠2＝＝∠1＝.∴，即. …7分在Rt中，＝＝,………8分 而∽,∴,即,∴. …9分再连接，显然有, ∴.所求的长为. …10分BACDBACDEFG12图12HPM过作于, 由题意有,∴,. ………………8分而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1,,∴4×1+4×4=×CH+4×1.∴=. ………………10分注：本题算法较多，请参照此标准给分.25．(上海市)如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.图9图10(备用)图11(备用)解：（1）∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°∵AD=AE∴∠AED＝60°=∠CEP∴∠EPC＝30°∴三角形BDP为等腰三角形∵△AEP与△BDP相似∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°∴AE=EP=1∴在RT△ECP中，EC=EP=（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x∵AE=1,EC=2∴QC=3－a∵∠ACB＝90°∴△ADQ与△ABC相似∴即，∴∵在RT△ADQ中∵∴解之得x=4，即BC=4过点C作CF福州市满分14分）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线上，过点B作轴的垂线，垂足为A，OA=5。若抛物线过点O、A两点。（1）求该抛物线的解析式；（2）若A点关于直线的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆。过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）把、分别代入，得解得…………3分∴该抛物线的解析式为……………4分（2）点在该抛物线上．………5分理由：过点作轴于点,连结，设与相交于点．∵点在直线上，∴∵点、关于直线对称，∴,,，,．又∵轴，，由勾股定理得．∵，∴，∴．∵，，∴．又∵，∴∽．∴．∴,．∴．……8分当时，．∴点在抛物线上．………………9分（3）抛物线上存在点，使得以为直径的圆与相切．过点作轴于点；连结；过点作轴于点．∴∥∥．∵，．点是的中点，由平行线分线段成比例定理得，∴，同理可得：．∴点的坐标为．……10分∵，∴为的切线．又∵为的切线，∴．∴四边形为正方形．∴．∴．又∵＝，∴≌．∴,．∴．…………12分设直线的解析式为把、分别代入，得 解得，∴直线的解析式为若以为直径的圆与相切，则点为直线与抛物线的交点．可设点的坐标为，则有，．∴．整理得，解得．∴点的横坐标为或．……14分24．(日照市本题满分10分)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：（1）D是BC的中点； （2）△BEC∽△ADC；（3）BC2=2AB·CE．解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD是底边BC上的高．………1分又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴D是BC的中点；………3分(2)证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，∴∠CBE=∠CAD．…………………5分又∵∠BCE=∠ACD，∴△BEC∽△ADC；…………………6分（3）证明：由△BEC∽△ADC，知，即CD·BC=AC·CE．…………………8分∵D是BC的中点，∴CD=BC．又∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC·BC=AB·CE即BC=2AB·CE．……………………10分27．(四川省凉山州)已知：抛物线，顶点C（1，-4），与x轴交于A、B两点，A（-1，0）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于E，依次连接A、D、B、E，点Q为AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，请判断是否为定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作MN⊥EQ，MN分别与边AE、BE相交于M、N（M与A、E不重合，N与E、B不重合），请判断是否成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．（第27题）（第27题）解：（1）设抛物线解析式为………………1分将A（-1，0）带入得……………2分∴即……3分（2）是定值1…………………4分∵AB是直径∴∠AEB=90°∵QF⊥AE∴QF∥BE∴同理可得………………5分∴∴为固定值1.…………6分（3）成立……7分∵直线EC为抛物线对称轴∴EC垂直平分AB∴AE=EB∴∠FAQ=45°∴AF=FQ…………8分∵QF∥BE∴∴………9分∵MN⊥EQ∴∠QEF=∠MNE又∵∠QFE=∠MEN=90°∴△QEF≌△MNE∴……10分∴……11分28．（江苏省无锡市本题满分10分）如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．（1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD；（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．图1图1图2 图2图3图3解:（1）由图2的包贴方法知：AB的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=30 ∵纸带宽为15，∴sin∠DAB=sin∠ABM=,∴∠DAB=30°． （2）在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图，图甲图乙图甲图乙 将图甲种的△ABE向左平移30cm，△CDF向右平移30cm，拼成如图乙中的平行四边形ABCD， 此平行四边形即为图2中的平行四边形ABCD 由题意得，知：BC=BE+CE=2CE=2×， ∴所需矩形纸带的长为MB+BC=30·cos30°+=cm．28．（江苏省宿迁市本题满分12分）已知抛物线交轴于、，交轴于点，其顶点为．（1）求、的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接，过点作直线交抛物线的对称轴于点．求证：四边形是等腰梯形；（3）问Q抛物线上是否存在点，使得△OBQ的面积等于四边形的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（第28题2）（第28题）（第28题2）（第28题）解:（1）求出：，，抛物线的对称轴为：x=2……3分(2)抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE∵OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），∴∠BOE=∠OB