排列组合解题技巧

排列组合解题技巧题型1―空法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.【例1】学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析：此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解：先排学生共有汽种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有程种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为AsA4种. 78 7题型2―绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题可以用捆绑法来解决问题即将需要相邻的元素合并为一个元素再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列.【例2】5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起，有多少种不同的排法？分析：此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制，因此，女生是特殊元素，并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.解：因为女生要排在一起，所以可以将3个女生看成是一个人与5个男生作全排列，有A6种排法,其中女生内部也6有A3种排法，根据乘法原理共有A6A3种不同的排法.题型3— 法（插拔法）:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想将其化归为简单的、具体的问题来求解【例3】在高二年级中的8个班，组织一个12个人的年级学生分会，每班要求至少1人，名额分配方案有多少种？分析：此题若直接去考虑的话，就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题就会显得比较清楚，方法简单,结果容易理解.解：此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份，有多少种不同的分法问题，因此须把这12个白球排成一排，在11个空档中放上7个相同的黑球每个空档最多放一个，即可将白球分成8份，显然有C71种不同的放法，所以名额分配方案有C171种.题型4一余法:在组合问题中有多少取法就有多少种剩法他们是一一对成的因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.【例4】袋中有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币10个如果从袋中取出2元钱，有多少种取法？分析：此题是一个组合问题，若是直接考虑取钱的问题的话，情况比较多，也显得比较凌乱，难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话，就会很容易解决问题.解：把所有的硬币全部取出来将得到0.05x23+0.10x10=2.15元所以比2元多0.15元所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有c*+C13C10种取法.题型5—对等法:在有些题目电它的限制条件的肯定与否定是对等电各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.【例5】期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序？分析：对于任何一个排列问题，就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况,能够得到全体，那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性解：不加任何限制条件，整个排法有人9种，"语文安排在数学之前考"，与"数学安排在语文之前考"的排法是相等9的，所以语文安排在数学之前考的排法共有2A;种.题型6—*除法:有些问题，正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中排除.【例6】某班里有43位同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种？分析：此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况，这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话，不但容易理解，而且在计算中也是非常的简便.这就可简化计算过程.解：43人中任抽5人的方法有。*种，正副班长，团支部书记都不在内的抽法有C50种,所以正副班长，团支部书记至少有1人在内的抽法有C*-C;。种.&型7—号排位问题分步法:把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.【例7】将数字1，2,3,4填入标号为1，2,3,4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有[]A.6种B.9种C.11种D.23种分析：先把1填入方格，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3x3x1=9种填法，故选B.题型8——序分配问题逐分法:有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下■分组法.【例8】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有[]A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种分析：先从10人中选出2个承担甲项任务，再从剩下8个中选1人承担乙项任务，第三步从另外7人中选1个承担两项任务，不同的选法共有C10C1C1=2520种，故选C-题型9—多元问题分类法:元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计.【例9】由数字0,1,2,3,4,5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 ]A.210个B.300个C.464个D.600个分析：按题意，个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况，分别有A55个，AiAiA3个，AiAi*个，AiAi*个AiA;个，合并总计得300个故选B。【例10】从1,2,3,...100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？分析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，它们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记作A,则A={7,14,...98}共有14个元素，不能被7整除的数的集合A={i,2,・・・,99,i00}共有86个元素.由此中知，从A中任取两数的取法共有C2种;从A中任取一个数又从A中任i4取一个数的取法共有C；4C；6种，两情形共得符合要求的取法有C24+C；4C；6=1295种.【例11】从1,2,...100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少？分析：将I={1,2，…，100}分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A={4,8，…，100};被4除余1的数集B={1,5，…，97};被4除余2的数集为C={2,6,...98}；被4除余3的数集为D={3,7,...99},易见这四个集合，每一个都含25个元素；从A中任取两个数符合要求；从B、D中各取一个数的取法也符合要求；从C中任取两个数的取法同样符合要求；此外其它取法都不符合要求由此即可得符合要求的取法共有C2+CiCi+C2种；题型10—— 问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(AUB)=n(A)+n(B)-n(AAB)【例12】从6名运动员中选出4个参加4x100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？分析：设全集I={6人中任取4人参赛的排列},A={甲第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n(I)-n(A)-n(B)+n(AcB)=A4—A3-A3+A2-252(种)题型11—定位问题优先漆某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排旧他元素.【例13】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法 种.分析：老师在中间三个位置上选一个位置，有A1种，然后4名同学在其余4个位置上有A4种，共AiA4=72种。9.多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理.【例14】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是[]A.36B.120C.720D.1440.分析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为6个不同元素排成一排，共A6=720种，故选C。【例15】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素要排在后排，有多少种排法？分析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A2种；某一个元素在后半段四个位置中选一个，4有A：种；其余5个元素任意排在剩余的5个位置上有A5种，故共有A2A：As=5760种排法。题型12—"至少”问题间接法;关于"至少”类型组合问题，用间接法较方便.【例16】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台其中至少要甲型和乙型电视机各一台则不同取法共有[]A.140种B.80种C.70种D.35种分析逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同取法共有C3—C4—C3=70种，故选C。题型13—选排问题先取后排法:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法.【例1