人教版八年级上册数学第十五章 《分式》全章教学设计

人教版八年级上册数学第十五章《分式》全章教学设计第十五章分式15.1.1从分数到分式在实际问题中，我们常常需要描述不同量之间的关系。为了更好地描述这种关系，我们引入了分式的概念，并建立了数学模型。学生需要理解分式的概念，并掌握分式有意义的条件和值为零的条件。重点：理解分式有意义的条件和值为零的条件。难点：熟练地求出分式有意义的条件和值为零的条件。一、复习引入1.整式、单项式和多项式的概念。2.判断下列各式中，哪些是整式，哪些不是整式。8m+nab+aba+b233x-4,2①,1+x+y,2/2,2/2^2,33/2x+2x+1a+b2x二、探究新知1.分式的定义(1)通过一个实际问题，我们可以得到以下分式：(30+v)/(30-v)和90/(30+v)=60/(30-v)观察这些式子，我们可以发现它们都像分数一样，都是A/B的形式。分数的分子A和分母B都是整数，而这些式子中的A，B都是整式，并且B中都含有字母。归纳：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。(2)为了使分式有意义，分式中的分母应满足B≠0的条件。例如，对于分式2x/(1x+y)，分母1x+y不能为0，即x≠-y。学生可以自学教材中的例1和思考题，巩固理解分式有意义的条件。2.分式的值为零的条件对于分式A/B，当A=0时，分式的值为0。而当B=0时，分式无意义。学生需要熟练地求出分式有意义的条件和值为零的条件。巩固练习：教材第129页练习第2和第3题。3.补充例题：当分式的分子为零时，分式的值为多少？分析：当分式的分子为零时，分式的值为0，因为分子为零，分式的值就是0/分母，即0。答案：分式的值为0的条件是分子为零。三、归纳总结1.分式是分数的推广，分式由分子和分母组成。2.当分式的分母不为零时，分式有意义；当分式的分母为零时，分式无意义。3.分式的值为零的条件是分子为零，同时分母不能为零。四、布置作业教材第133页习题15.1第2，3题。在引入分式概念之前，先复习分数的概念，通过类比来自主探究分式的概念、有意义的条件和值为零的条件，从而更好地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力。15.1.2分式的基本性质第一课时：分式的基本性质1.了解分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行分式的变形。2.会用分式的基本性质求分式变形中的符号法则。重点：理解并掌握分式的基本性质。难点：灵活运用分式的基本性质进行分式变形。一、类比引新1.计算：(1)5/2×4/3；(2)6/1÷5/15。思考：在运算过程中运用了什么性质？教师出示问题。学生独立计算后回答：运用了分数的乘法和除法法则。2.你能说出分数的基本性质吗？分数的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的数，分数的值不变。3.尝试用字母表示分数的基本性质：小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质，然后写出分数的基本性质的字母表达式。a/b×c/c=ac/bc，a/b÷c/c=ac/bc(其中a，b，c是实数，且c≠0)二、探究新知1.分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的基本性质吗？分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。你能用式子表示这个性质吗？A/C×C/C=A/C，A/C÷C/C=A/C(其中A，C是整式，且C≠0)例如，x/(2a)×b/(a+b)=xb/2a(a+b)，(a+b)/b÷(a-b)/b=(a+b)/(a-b)2.想一想下列等式成立吗？为什么？-a/(a+b)-a/a=-b/(a+b)；-b/b-b/b=-1教师出示问题。学生小组讨论、交流、总结。3．通过练习，掌握分式约分、通分的技巧，提高分式计算的能力．一、引入教师可以通过提问引导学生回忆分数的约分、通分的概念和方法，然后将其类比到分式上，让学生理解分式约分、通分的意义和方法．二、讲解与练习1．分式的约分类比分数的约分，对于一个分式$\frac{a}{b}$，如果$a$和$b$有一个公因数$c$，则可以将分子和分母同时除以$c$，得到一个等价的分式$\frac{a/c}{b/c}$，这个过程就是分式的约分．练习：将下列分式约分到最简形式：(1)$\frac{6x}{9y}$；(2)$\frac{2a^2b}{4ab}$；(3)$\frac{5x^2y^3}{10xy}$．2．分式的通分类比分数的通分，对于两个分式$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{d}$，它们的最简公分母是$bd$，可以将它们分别乘以$\frac{d}{d}$和$\frac{b}{b}$，得到等价的分式$\frac{ad}{bd}$和$\frac{bc}{bd}$，这个过程就是分式的通分．练习：将下列分式通分：(1)$\frac{3}{4x}-\frac{2}{3x}$；(2)$\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1}$；(3)$\frac{1}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}$．3．综合练习练习：化简下列分式，使分子分母互质：(1)$\frac{6x}{15y}$；(2)$\frac{3a^2b}{6ab}$；(3)$\frac{10x^2y^3}{20xy}$．练习：将下列分式通分，并化简：(1)$\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x+3}$；(2)$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}$；(3)$\frac{1}{x^2-1}+\frac{1}{x-1}$．三、课堂小结1．分式的约分、通分的概念和方法是什么？2．最简公分母的概念是什么？3．如何进行分式的约分、通分？四、布置作业教材第133页习题15.1第6，7题．在讲解分式的约分、通分时，教师可以通过实例演示和练习巩固学生的理解和技能，同时强调最简公分母的概念和意义，让学生养成化简分式的习惯．一、类比引新在计算乘法时，我们采用了“约分”的方法，分数的约分约去的是分子与分母的公因数，分式不一定相等。例如，分式52a+aba+b可以约去分子和分母的公因式a，得到abab/(a+ab+b)。教师点拨：分式的约分是指将分子和分母同时除以它们的公因数，使得分式的值不变。类似地，我们可以将分式2/3和5/7变成同分母的分式，这个过程叫做分式的通分。通分时，我们需要将分式的分母都化成最简形式，并找到它们的最小公倍数作为通分的分母。例如，将分式2/4和3/5通分，我们需要将4和5分解质因数，然后取各质因数的最高次幂作为最简公分母，即20。然后，将分子乘上相应的倍数，使得分母都变成20，得到5/10和12/20两个分式。二、探究新知我们可以将分式-25abcx-96x-12xy+6y约分为-5abc/3b和-6(x-y)/3(x-y)，这两个分式都是最简分式。注意到分子和分母都是多项式，我们需要先将它们分解因式，然后约去公因式。练习中的分式也可以约分为最简形式，例如，2axy-2a(a+b)(a-x)/(x-4m-3m)可以约分为-2a(a+b)(x-a)/(x-m-9)。最简公分母是指多个分式的分母的最简公倍数。为了求最简公分母，我们需要先将每个分式的分母分解质因数，然后取各质因数的最高次幂作为最简公分母的因式。例如，分式3/2、2/3和4/x的最简公分母是6x。1．分式的乘法分式的乘法法则：分式相乘，分子相乘，分母相乘．例如：$\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$注意：在乘法中，如果分子和分母都有因式，应先约分再相乘，最后化简到最简分式．例如：$\frac{4a^2b}{6ab^2}\times\frac{5b^2}{2a}=\frac{10a^2b^3}{3b^3}=\frac{10a^2}{3b}$2．分式的除法分式的除法法则：分式相除，相当于将被除数乘以除数的倒数．例如：$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$注意：在除法中，如果分子和分母都有因式，应先约分再相除，最后化简到最简分式．例如：$\frac{6a^2b^3}{8ab^2}\div\frac{3b}{4a}=\frac{6a^2b^3}{8ab^2}\times\frac{4a}{3b}=\frac{2a^2}{b}$三、巩固练习1．计算：(1)$\frac{3}{4}\times\frac{5}{6}$(2)$\frac{2x^2}{3y}\times\frac{4y}{5x}$(3)$\frac{5x^2y}{3xy^2}\div\frac{10x^3}{3y}$(4)$\frac{3x^2y^3}{4xy}\div\frac{2xy^2}{5x^2}$2．小明需要将一块长方形的地毯分成两份，一份长宽比为$\frac{3}{4}$，另一份长宽比为$\frac{5}{6}$，应该怎样分割才能使两份地毯面积相等？每份地毯的长和宽各是多少？问题1：一个长方体容器的底面长为a，宽为b，容积为V。当容器中装满水时，水面的高度是多少？问题2：大拖拉机m天耕地ahm，小拖拉机n天耕地bhm。大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的几倍？解：问题1求水面高度，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的几倍。根据上述计算，我们可以总结出分式的乘除法法则：分式乘法法则：分式乘以分式，分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。分式除法法则：分式除以分式，将除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。即：a/b*c/d=ac/bd，a/b÷c/d=ad/bc。举例分析：例1：计算(1)4xyab-5ab/3y2x2c4cd；(2)2/(3y2x2c4cd)。分析：这是一个应用分式的乘除法法则进行运算的例题。注意在计算时，应该先判断运算符号，再计算结果，并将结果约分到最简。解：(1)4xyab-5ab/3y2x2c4cd=(4xy-5)ab/3y2x6xy3x4abcd2bd=(4xy-5)/2c4cd-10abc/5ac。(2)2/(3y2x2c4cd)=2/3y2x6xy3x4abcd2bd=2/(18x3y5abcd)=1/(9x3y5abcd)。例2：计算(1)(a-4a+4a-1)/2·2；(2)(22a-2a+1a-4)/(49-m2)÷m(m-7)。分析：这两题是分子与分母是多项式的情况，需要先进行因式分解，然后再运用分式的乘除法法则。解：(1)原式=(a-2)/[(a-1)(a+2)(a-1)(a+2)]=(a-2)/[(a-1)2(a+2)2]。(2)原式÷[m(m-7)(49-m2)]=(22a-2a+1a-4)/[m(m-7)(7+m)(7-m)]=-2/[m(7+m)(7-m)]。例3：一个正方形试验田的边长为a米（a>1），去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后，剩下的部分为“丰收1号”小麦试验田。另一个正方形试验田的边长为(a-1)米，称为“丰收2号”小麦试验田。两块试验田的小麦都收获了500千克。求：(1)哪种小麦的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？分析：这道题的实质是运用分式的乘除法进行计算。解：(1)两块试验田的面积分别为a²-1和(a-1)²，单位面积产量分别为500/(a²-1)和500/[(a-1)²]。比较两者，可得当a>2时，“丰收2号”小麦的单位面积产量高。(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍，即(500/[(a-1)²])/(500/(a²-1))=(a²-1)/(a-1)²=a+1/(a-1)。(2)化简分子、分母；(3)进行分式乘法运算；(4)将结果化为最简形式。3．分式的乘方运算分式的乘方运算：分式的乘方是指将一个分式连乘若干次，即分式的分子和分母都分别乘以自身的若干次方．例如：(a/b)^2=a^2/b^2三、拓展练习1．计算：(1)(a/b)^3×(b/a)^2；(2)(2x/3y)^2÷(8x^2/9y)；(3)(a/b)^2÷(a/b)^3．2．解答下列问题：(1)分式的乘方运算的原理是什么？(2)如何进行分式的乘方运算？(3)分式的乘方运算中，分子和分母分别乘以自身的几次方？四、课堂小结本节课主要学习了分式的乘方运算和分式的乘除法、乘方混合运算，通过实例的讲解，让学生掌握了分式的乘方运算原理和方法，以及分式乘除法、乘方混合运算的步骤和技巧。同时，也要注意符号的变化和化简到最简形式的要求。五、作业布置教材第146页习题15.2第3，4题。1．通过乘方的意义，引出了分式的乘方，并进行了归纳。2．分式乘法的方法是将分子和分母分别进行乘方。3．正整数指数幂的运算法则包括乘方、除法、乘方的乘法和指数为1的幂。4．在进行乘、除和乘方的混合运算时，要注意运算顺序，同时要先确定符号。5．对于例题，要注意运算顺序和符号，并且在做乘方运算时先确定符号。本节课主要讲解了分式的乘方运算和分式的加减运算。在分式的乘方运算中，采用类比的方法让学生得出分式的乘法则，强调注意运算顺序。在分式的加减运算中，重点讲解了同分母和异分母的分式加减法则，引导学生掌握运算方法。最后，通过例题的讲解，巩固了学生的理解和运用能力。今天我们要学习分式的混合运算，这包括加减乘除四种运算。我们已经学过分式的加减运算和乘除运算，现在我们要将它们结合起来进行混合运算。首先，我们要明确分式混合运算的顺序，按照先乘除后加减的原则进行。如果有括号，先计算括号里的内容。接下来，我们来看两个典型例题：例1：计算(x+2)/(4x)+2/(x-2)÷(4x-2)/(x-2)分析：首先计算括号里的内容，即2/(x-2)÷(4x-2)/(x-2)=2(1-x)/(2x-1)。然后通分，得到(x+2)(x-2)/(4x)(x-2)+2(1-x)/(2x-1)=(x^2-4)/(4x(x-2))+2(1-x)/(2x-1)。最后将分子相加减，约分，得到最简分式。例2：计算(x+2y)/(4y)÷(x-2y)/(x-4y)-(2x+4y)/(2(2-y))分析：先将除法转化为乘法，即(x+2y)/(4y)÷(x-2y)/(x-4y)=(x+2y)/(4y)×(x-4y)/(x-2y)，然后通分，得到(x^2-8y^2)/(4y(x-2y)(x-4y))。接下来，将减法转化为加法，即(2x+4y)/(2(2-y))=-(x-y)/(2-y)，然后通分，得到-2(x-y)/(2(2-y))。最后将加减法合并，得到(x^2-8y^2)/(4y(x-2y)(x-4y))-2(x-y)/(2(2-y))，再将分子相加减，约分，得到最简分式。三、巩固练习1.计算(3x-1)/(x+2)+(2x-5)/(x-1)-(x^2-1)/(x^2-4)2.计算(x+1)/(x-2)-1/(x-1)÷(x-3)/(x^2-5x+6)四、课堂小结分式的混合运算包括加减乘除四种运算，按照先乘除后加减的原则进行。如果有括号，先计算括号里的内容。最后将分子相加减，约分得到最简分式。五、布置作业教材第146页习题15.2第6，7题。例3：计算：$-\frac{1}{2}(-x-y)\div\frac{y}{2x}$。分析：本题可用分配律简便计算。改写：计算$-\frac{1}{2}(-x-y)\div\frac{y}{2x}$，可以使用分配律简化计算。例4：$\frac{-2}{a+b}\cdot\frac{1}{a-b}\div\frac{a+b}{a^2-b^2}$。分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分。改写：先使用平方差公式分解被除式，然后约分，得到$\frac{-2}{2a(a-b)}=-\frac{1}{a-b}$。例5：计算$\frac{(m+2)^2}{2-m}\cdot\frac{2}{3-mx-x^2}\div(2x-4x+4)$。解：先化简分式，然后按照混合运算法则计算。改写：化简分式得到$\frac{5m-4}{m^2-2m-3}\cdot\frac{2}{(x-2)(x+2)}\div2(x-2)$，然后按照混合运算法则计算，得到最终结果为$-\frac{1}{2(x-2)}$。例6：计算$\frac{(m+2)^2}{2-m}\cdot\frac{2}{3-mx-x^2}$和$\frac{2}{x-2}-\frac{x+2}{x^2-4x+4}$。解：先化简分式，然后按照混合运算法则计算。改写：化简第一个分式得到$\frac{5m-4}{m^2-2m-3}\cdot\frac{2}{(x-2)(x+2)}$，化简第二个分式得到$\frac{2}{x-2}-\frac{x-2}{(x-2)^2}$，然后按照混合运算法则计算，得到最终结果为$\frac{2(5m-4)}{(m-3)(x-2)(x+2)}-\frac{1}{x-2}$。小结：分式的混合运算法则是先算括号里的，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的。在计算中，可以使用分配律、平方差公式等方法化简分式，注意约分和化为最简分式。2.一些题目可以通过应用运算律和公式来简化计算。五、作业布置：1.请完成教材第146页习题15.2第6题，题目为：11x－2x＋1。2.计算表达式2/(x+1)-2/(x-1)，其中x=2-1。需要先进行化简再求值。分式的混合运算是本章的重点和难点，涉及到因式分解和通分这两个较难的知识点。可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力。15.2.3整数指数幂：1.知道负整数指数幂a=1/a^n(a≠0，n是正整数)。2.掌握整数指数幂的运算性质。3.能够用科学记数法表示绝对值小于1的数。重点是掌握整数指数幂的运算性质和会使用科学记数法表示绝对值小于1的数。难点在于理解和应用负整数指数幂的性质。一、复习引入：1.回忆正整数指数幂的运算性质：(1)同底数的幂的乘法：a^m*a^n=a^(m+n)(m，n是正整数)。(2)幂的乘方：(a^m)^n=a^(mn)(m，n是正整数)。(3)积的乘方：(ab)^n=a^n*b^n(n是正整数)。(4)同底数的幂的除法：a^m/a^n=a^(m-n)(a≠0，m，n是正整数，m>n)。(5)分式的乘方：(a/b)^n=a^n/b^n(n是正整数)。2.回忆指数幂的规定，即当a≠0时，a^0=1。二、探究新知：(一)1.计算当a≠0时，a/a=a^0=1。假设正整数指数幂的运算性质a/a=a(a≠0，m，n是正整数，m>n)中的m>n这个条件去掉，那么a/a=a。总结：负整数指数幂的运算性质：a^-n=1/a^n(a≠0)。2.练习巩固：填空：(1)(-2)^3=-8，(2)(-2)^4=16，(3)(-2)^5=-32，(4)2^3=8，(5)2^-3=1/8，(6)(-2)^-5=-1/32。3.例1(教材例9)计算：(1)a/a；(2)(2/b)^-3；(3)(ab)^-2；(4)ab*ab。解：(1)a/a=a^0=1；(2)(2/b)^-3=(b/2)^3；(3)(ab)^-2=1/(ab)^2=1/a^2b^2；(4)ab*ab=a^2b^2。本节课将学习分式方程的解法，首先需要回顾一下分式的基本概念和运算法则．一、分式的基本概念和运算法则1．分式的定义分式是指由分子和分母组成的形如a/b的表达式，其中a和b都是整数，b≠0．2．分式的化简分式的化简是指将分式中的分子和分母约分至最简的过程．3．分式的乘除法分式的乘法是指分子和分母分别相乘，然后化简得到最简分式的过程．分式的除法是指将除数取倒数，然后与被除数相乘，得到最简分式的过程．4．分式的加减法分式的加减法是指将分母化为通分，然后分子相加或相减，得到最简分式的过程．二、分式方程的解法分式方程是指含有分式的等式，例如a/x+b/x=c，其中a、b、c都是常数，x是未知数．分式方程的解法与整式方程的解法类似，但需要注意分母不能为0．1．分式方程的基本解法将方程中的分母化为通分，然后将分子相加或相减，得到最简分式，最后解方程得到未知数x的值．2．分式方程的特殊解法当分式方程中含有分式的倒数时，可以采用特殊解法，即将分式方程中的分式倒数化为整式，然后解方程得到未知数x的值．三、课堂小结本节课学习了分式方程的解法，需要注意分母不能为0，可以采用基本解法和特殊解法来解决分式方程．四、布置作业教材第149页习题15.3第1，2，3题．本节课的教学设计注重培养学生的解决问题的能力，通过实际例题的演练，让学生掌握分式方程的解法，提高数学解题的能力和应用能力．第1课时：分式方程的解法本课时的重点是解分式方程的基本思路和解法，难点在于理解解分式方程时可能无解的原因。一、复习引入问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速为多少？解：设江水的流速为x千米/时，根据题意，得：$\frac{90}{30+x}=\frac{60}{30-x}$方程有分式和未知数在分母中，因此是分式方程。二、探究新知1．解分式方程的思路为了解决解分式方程的问题，可以将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解。所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。2．例1解方程解：将方程两边同乘以$(x-25)$，约去分母，得$x+5=10$。解这个整式方程，得$x=5$。但是当$x=5$时，原分式方程左边和右边的分母$(x-5)$与$(x-25)$都是0，因此，$x=5$不是分式方程的根，应当舍去。所以原分式方程无解。3．检验增根的原因在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根。因此，在解分式方程时必须进行检验。注意：删除了明显有问题的段落，对其余段落进行了小幅度的改写，使文章更加通顺易懂。解分式方程的一般步骤如下：将分式方程化为整式方程，解得未知数的值，再检验所得解是否符合原分式方程的要求。例如，对于方程①，我们可以将其乘以最简公分母(30+v)(30-v)，得到整式方程(30+v)(30-v)(3/v+2/3)=(30+v)(30-v)(5/2)，然后化简得到2v^2-180=0，解得v=±6。我们检验发现，当v=6时，原分式方程中的分母不为0，所以v=6是方程的解。对于方程②，我们可以将其乘以最简公分母(x-5)(x+5)，得到整式方程(2x-10)/(x-1)=(x-5)(x+5)/(x-1)，然后化简得到2x-10=x^2-25，解得x=5或x=-3。但我们检验发现，当x=5时，原分式方程中的分母为0，所以x=5不是方程的解，而x=-3是方程的解。在解决实际问题中，我们需要先审清题意，设定未知数，列出分式方程，然后解得未知数的值，并检验所得解是否符合问题的要求。这节课将学习如何列分式方程解应用题。对于解分式方程应用题，可以使用以下解题方法和步骤。【步骤】(1)审清题意；(2)设未知数（要有单位）；(3)根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；(4)解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；(5)写出答案（要有单位）。例如，例1中，某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2,640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致。已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用了2小时输完。要求求出这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩。对于这道题，我们需要设甲的输入速度为x名/分钟，乙的输入速度为y名/分钟。由于甲的输入速度是乙的2倍，因此可以列出相等关系式：x=2y。又因为甲比乙少用了2小时输完，因此可以列出另一个相等关系式：t1+120=t2，其中t1和t2分别表示甲和乙输入所需的时间（单位为分钟）。将这两个相等关系式带入工程中，可以列出方程：2640=x(t1)+y(t1+120)，即2640=x(t2-120)+y(t2)。解方程得到x=8，y=4，因此甲每分钟能输入8名学生的成绩，乙每分钟能输入4名学生的成绩。例2和练习中的题目也可以使用类似的方法解决。例如，例2中，A、B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车