一种3rpr少自由度并联机构刚度与弹性变形的分析

一种3rpr少自由度并联机构刚度与弹性变形的分析

现在，被忽视的组织正在关注少自由。因为它们的运营分支机构很少，工作场所大，简单的结构和易于控制的优点。刚性是组合机构最重要的执行指标之一。对于使用更高精度的最终执行器，更高的刚度允许更高的加工速度。因此,在初始设计阶段,对于分析并联机构的刚度和弹性变形是很重要的。到目前为止,很少研究致力于解决并联机构的刚度和弹性变形问题。本工作对一种3UPS+RRPR少自由度并联机构的总刚度与弹性变形进行求解时受约束力/矩的影响进行了研究。13联合体结构的刚度和弹性变形1.13ups+rrpr的静力学建模这种3UPS+RRPR并联机构具有4个自由度。它的构造是和3SPS+UP并联机构相似的,另外,中心从动约束分支UP被一个主动旋转副-旋转副-移动副-旋转副(RRPR)主动约束分支r0代替并且为了消除SPS分支的从动自由度,每一个SPS主动分支ri的一个球副S被替换成一个万向副。另外,一些几何约束R1⊥R2,R2⊥r0,R2⊥R3,R3满足与y共线。因为每一个UPS主动分支仅能承受沿ri的轴向力,3UPS+RRPR则有相当大的承载能力。中心主动约束分支ro提供一个约束力/矩和一个主动旋转给m,m的不需要的自运动能被有效地消除并且工作空间显著扩大。3UPS+RRPR并联机构的受力情况如图1所示。整个工作载荷(F,T)是和3SPS+UP并联机构相似,另外在3UPS+RRPR并联机构的(F,T)被3个主动力Fai(i=1,2,3),1个主动力矩Ta,和2个约束力Fc1和Fc2平衡。每一个Fai沿着并作用在ri上,Ta作用在ro和Z上。根据3个决定的条件,Fc2施加在ro的O点上并且满足Fc2‖y。从参考文献中导出3UPS+RRPR的一个静力学方程为:[Fa1Fa2Fa3ΤaFc1Fc2]=-(JΤ)-1[FΤ]‚(1)式(1)中:这里J是3UPS+RRPR并联机构的一个6×6的雅可比矩阵。ri和δi(i=1,2,3)是主动分支的长度和单位矢量,r0和δ0是中心分支的长度和单位矢量。当给定4个独立姿态参数(α,β,λ,ro),ri,,δi和ei时,在{B}里的cj(j=1,2)和dj能被用(α,β,λ,ro)来表达,并且已经在参考文献中导出。1.2约束fc1ro假设刚性平台m被UPS的3个弹性主动分支ri支撑并且被一个弹性RRPR约束分支ro约束。如果仅仅从它的非预加载荷的平衡位置产生的小位移来考虑,机构的总的空间力/矩-挠度的关系是线弹性的。根据构造空间,主动分支和约束分支的活塞/气缸的每一个长度都能被确定。令r1i,A1i,I1i和J1i分别为分支ri的长度,活塞截面,惯性力矩和惯性旋转力矩。令(ri-r1i),Ai,Ii和Ji分别为分支ri的长度,截面,惯性力矩和圆柱的惯性旋转力矩。令Ei和Gi为分支ri(i=0,1,2,3)的弹性系数和弹性旋转系数。图2为Fai与Fcj下各分支的弹性微变形。图3为每个主动和约束力与力矩下的主动分支的弹性微变形。当每个主动力Fai(i=1,2,3)沿着ri作用在UPS的主动分支ri上,分支ri的纵向弹性微变形dri如图2(a)所示。在ro上的R1的轴的长度较短,它的转动和横向弹性变形可以被忽略。当约束力Fc2施加在转动副R2的ro上并且满足Fc2⊥ro,相对于j=2端点ro(图2(b))的横向弹性变形为dc2。当约束力Fc1存在于转动副R3的ro上并且满足Fc1⊥ro,端点o(图3(a))的横向弹性微变形dc1:dc1=Fc1kc1。(2)约束力矩Ta包括一个沿着ro的分量Tau和一个垂直于ro的分量Tav,它们被表达为:{Τa=ΤaΖ,Τau=ΤaΖ⋅δo=Τacβ,Τav=ΤaΖ⋅(δo×R2)=Τasβ。(3)当Tav存在于分支ro的万向副上并且满足Tav⊥ro时,ro的端点(图3(b))的横向弹性微变形为dav:dav=Τavkav=Τasβkav,(4)这里kav=-2Eo/[r21oΙ1o+(ro-r1o)2Ιo],kav是相对于Tav的ro的横向刚度。当Tau施加于约束分支ro的万向副上,分支ro的端点(图3(c))的弹性旋转微变形为dθa:dθa=Τaukau=Τacβkau,(5)式(5)中:kau=-Go/(r1oJ1o+ro-r1oJo)。当Tτ施加于主动约束分支ro的万向副R3上,分支ro的端点(图3(d))的弹性旋转变形dθτ:dθτ=Ττkτ=-Fc1r2osβ(cβ+tβsβ)kτ,(6)式(6)中kτ=-Go(r1oJ1o+ro-r1oJo)。式(5)和式(6)中kau和kτ是约束分支ro的横向和旋转刚度相对于Tau和Tτ。当Tav和Fc1施加在主动约束分支ro上时,从式(2)至式(4)中得到分支ro的o点的横向弹性变形:dc=dav+dc1。(7)当Tau和Tτ施加在主动约束分支ro上时,从式(5)和式(6)中得到分支ro的弹性旋转变形dθo:dθo=dθa+dθτ。(8)从式(2)至式(8)导出3UPS+UP并联机构的力-变形方程为:[dr1dr2dr3dθodc1dc2]=Cg[Fa1Fa2Fa3ΤaFc1Fc2],(9)Cg=[1/ka10000001/ka20000001/ka3000000cβ/kaurosβ(cβ+tβsβ)/kc0000sβ/kav1/kc10000001/kc2]‚(10)Cg是3UPS+RRPR并联机构的主动分支ri和主动约束分支ro的一个6×6的总伴随矩阵。因此,推导3UPS+RRPR并联机构的总刚度矩阵和弹性变形为[dXodYodΖodαxdαydαz]=J-1Cg[Fa1Fa2Fa3Fc1Fc2Ττ]⇒[dXodYodΖodαxdαydαz]=C[FΤ]⇒[FΤ]=Κ[dXodYodΖodαxdαydαz]。(11)式(11)中:Κ=-(J-1C-1gJ)6×6=[k11k12⋯k16k21k22⋯k26⋮⋮⋮⋮k61k62⋯k66],C=-J-1Cg(J-1)Τ=Κ-1。这里K是3UPS+UP并联机构的一个6×6的总刚度矩阵,(dXo,dYo,dZo,dαx,dαy,dαz)是平台的6个弹性变形分量。分支的总伴随矩阵Cg与式(10)相同。23uns+rrpr串联机构的刚度变化3UPS+RRPR并联机构的实例分析结果见图4。在3UPS+RRPR并联机构里,令初始独立姿态变量(α,β,λ,ro)随时间t变化如图4(a)和图4(b)所示。设L=1.2m,l=0.6m,F=-[203060]TN,T=[30300]TN·m,Ei=Eo=2.11×1011Pa,主动分支ri(i=1,2,3)的活塞和气缸的直径是Di1=Di2=0.04m,EiIi1=EiIi2=26502N·m2,并且Ai1=Ai2=0.0013m2。中心分支ro的活塞和气缸的直径是Do1=Do2=0.06m。从图4中能看出,通过增加ro的活塞和气缸的直径,约束分支ro的横向变形dc、dc2和旋转变形dθo,还有平台的弹性变形(dXo,dYo,dZo,dαx,dαy,dαz)能被减小很多。在3UPS+RRPR并联机构的总刚度矩阵K中的k11至k33,k41至k63,k14至k36,k44至k66中特征项见图5。综合图4和图5得出:①3UPS+RRPR并联机构的刚度相应的改变平台的姿态;②当平台定位在它的初始位置,也就是主动分支的伸长量最小并且平台的姿态-方位变形最小时,3UPS+RRPR并联机构的刚度最大。3ups+rrpr串联机构的刚度和约束/矩导出带有主动约束分支3UPS+RRPR并联机构的总刚度矩阵及弹性变形。解出3UPS+RRPR并联机构中的主动分支和约束分支的弹性变形,及主动约束分支的伴随矩阵。根据主动约束分支的