多层时间序列回归模型方法综述

多层统计模型方法综述目前为止，研究多层统计模型的学者有很多，但大家基本上接受两组人分别独立开发出同一模型的结果，这两组人分别有各自分析的成熟的软件。一组是S.Raudenbush与A.Bryk建立的hierarchicallinearmodel，开发的软件为HLM。另一组是由H.Goldstein定义的multilevelmodels，开发出的软件为MLwiN（早期版本称ML3，MLn）。多层统计模型有许多名称，有multilevelmodels,hierarchicallinearmodel,random-effectmodel,randomcoefficientmodel,variouscomponentmodel,mixed-effectmodel,empiricalBayesmodel.多层统计模型主要用于对横截面数据（即面板数据）以及层次结构数据的研究。详情见下表：多层统计模型横截面数据层次结构数据实例模型临床实验和动物实验的重复测量多水平主成分分析多中心临床试验研究多水平判别分析纵向观测如儿童生长发育研究多水平logistic回归流行病学现场调查如整群抽样调查多水平Poisson回归遗传学家系调查资料多水平时间序列分析Meta分析资料多元多水平模型多水平结构方程模型虽然多层统计模型应用于不同的研究方向有不同的模型，但这些模型的基本原理是相同的。现在介绍基本的多水平模型：经典模型的基本假定是单一水平和单一的随机误差项，并假定随机误差项8独立、服从方差为常量的正态分布，代表不能用模型解释的残留的随机成分。模型为：Y邙0|+化珥+8。但是，当数据存在层次结构时，随机误差项8则不满足独立常方差的假定。模型的误差项不仅包含了模型不能解释的应变量的残差成分，也包含了高水平单位自身对应变量的效应成分。多水平模型将单一的随机误差项分解到与数据层次结构相应的各水平上，具有多个随机误差项并估计相应的

残差方差（方差是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数，方差（Variance）用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。）及协方差（协方差用于衡量两个变量的总体误差，为正值时，两个变量变化趋势一致，为负值时，两个变量变化趋势不一致）。构建与数据层次结构相适应的复杂误差结构，这是多水平模型区别于经典模型的根本特征。多水平模型由固定和随机两部分构成，与一般的混合效应模型的不同之处在于其随机部分可以包含解释变量，故又称为随机系数模型（randomcoefficientmodel），其组内相关也可为解释变量的函数。多水平模型中最简单的是方差成分模型，该模型包括固定效应模型，不含协变量的随机效应方差成分模型（空模型），含协变量的随机效应方差成分模型。现对含协变量的随机效应方差成分模型进行介绍：假定一个两水平的层次结构数据，医院为水平2单位，患者为水平1单位，医院为相应总体的随机样本，模型中仅有一个解释变量X（即协变量）。y—P+卩x+eij0j1ijOijj—1,2,…，m示水平2单位i—i—1,2,.n,示水平1单位奩和Xij分别为第j个医院中第i个患者应变量观测值和解释变量观测值，0。j和卩1为参数估计，e0j为通常的随机误差项。与经典模型的区别在于00j,经典模型中的估计为00,仅一个估计值，表示固定的截距，而在方差成分模型中00j表示j个截距值，即当x取0时，第j个医院在基线水平时y的平均估计值。卩—0+u0j00j00为平均截距，反映yj和xj的平均关系，即当x取0时，所有y的总平均估计值。",为随机变量，表示第j个医院y的平均估计值与总均数的离差值，反映了第j个医院对y的随机效应。0表示协变量x的固定效应估计值，即y与协变量X的关系在各医院间是相同1的，换言之，医院间y的变异与协变量x的变化无关。方差成分模型拟合j条平行的回归线，截距不同(卩0j)，斜率相同(卩1)对医院水平残差的假定E(u)二0Var(u)=b20j，0juo对患者水平残差的假定与传统模型一致E(e)=0Var(e)=c20ij0ije。水平1上的残差与水平2上的残差相互独立Cov(u,e)=00j0ij随机系数模型随机系数模型是指协变量(自变量是指研究者主动操纵，而引起因变量发生变化的因素或条件，因此自变量被看作是因变量的原因。协变量：在实验的设计中，协变量是一个独立变量(解释变量)，不为实验者所操纵，但仍影响响应。同时,它指与因变量有线性相关并在探讨自变量与因变量关系时通过统计技术加以控制的变量。常用的协变量包括因变量的前测分数、人口统计学指标以及与因变量明显不同的个人特征等)的系数估计不是固定的而是随机的，即协变量对反应变量的效应在不同的水平2单位间是不同的。y=P+卩x+eij0j1jij0ij与方差成分模型的区别在于P1j方差成分模型中协变量x的系数估计为固定的P，表示协变量x对反应变ij1ij量的效应是不变的•在随机系数模型中，协变量x的系数估计为P，表示每个医ij1j院都有其自身的斜率估计，表明协变量x对反应变量的效应在各个医院是不同ij的。

0的假定及其含义与方差成分模型一致，现P为随机变量，假定：TOC\o"1-5"\h\z0j1jE(0)=0Var(0)=G1j11ju0表示第j个医院的y随x变化的斜率；0表示全部医院的y随x变化的1j1斜率的平均值。&2是指各医院的y随x变化的斜率的方差。u10=0+u1j11jE(u)=E(u)=00j1jVar(u)=&21ju1Cov(u,u)=g0j1ju01U1jU1j表示第j个医院的斜率与平均斜率的离差值,b指上述截距离差值与斜01率离差值的协方差，反映了它们之间的相关关系。将模型改记为：y=(0+0x)+(u+ux+e)ij01ij0j1jij0ij即表达为固定部分与随机部分之和，其中，固定效应用均数表示，它决定了全部医院的平均回归线，这条直线的截距即平均截距0，直线的斜率即平均斜0率0为随机系数。1基于以上基础，我们对多水平时间序列模型进行简要介绍。该模型用于面板数据的分析中，面板数据是指数据集中的变量同时含有横截面和时间序列的信息，既考虑了横截面数据存在的共性，又能分析模型中横截面因素的个体特殊效应。对于纵向数据，个体内不同测量时间是水平1，个体间不同个体是水平2AR(自回归)模型为世⑴=□+(1jJ=L因为我们所研究的多水平时间序列模型只考虑t-1时刻的自变量对t时刻的变量的影响，所有AR(1)(一阶)自回归模型为

考虑到固定效应和随机效应，多水平时间序列模型被定义为x(t)=(a+bTX(t-i))+(£⑴+ctX(t-i)+£(t))i,piipii,ppi,p随机系数模型多水平时间序列模型水平II不同医院j个体间不同个体Xi水平I医院内不同患者i个体内不同测量时间t公式y=(卩+卩x)+(u+ux+e)j01j0j1jj0ijx(t)=(a+bTX(T)+(s(t)+ctX(t-i)+£(t))i,piipii,ppi,p固定效应反映了全部