概率统计大题

十六、概率统计大题:9年9考，每年1题.第1问多为统计问题，第2问多为分布列、期望计算问题；特点：实际生活背景在加强.冷点：回归分析，独立性检验.但2015年课标全国I已经非常灵活地考了回归分析，独立性检验在2010年课标卷考过，估计近年不会再考回归分析，可能会在求分布列上设计应用情景.有人说，理科的概率分布列应该属于创新行列.我不这么认为，概率与分布列不是追求创新，而是追求与实际的完美结合.概率不是新颖，而是力求联系实际，与实际问题相吻合.但苦于找不到合适的案例，所以有时会事与愿违，但命题人的初衷却是如此，概率的初衷不是创新，而是应用，目标是贴近生活、背景公平、控制难度.2019年做压轴题出现，可见其考查的难度大大增加了。年份 题目及答案

（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.21.解:X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-a用，P(X=0)=ap+(1-a)(1-p)，P(X=1)=a(1-p)，所以X的分布列为X-10p(1-«)/?邛*（1-）川一用Ml")(2)(i)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1因此p=0.4p.J0.5p+0.1p.讨，故0.1(p,1-p)=0.4(ppi1-p=4(p-p.J.,7）为公比为4,首项为p1的又因为p1-p0=py0，所以｛pi,7）为公比为4,首项为p1的等比数列.（ii）由（i）可得p=p-pp=p-p+p-p+L+p-p+p=(p8-p;)+(p7-p6)+L+(p1-p0)48-1p1由于由于p8T，故p1二邑所以p所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=44-1——p二y3 1 257p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4=2开工0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.2018年(20)(12分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(P)，求f(P)的最大值点P0(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的P0作为P的值.已知每件产品的检验费用为2兀，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX；(ii)以检验费用与赔偿费用的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解：(1)f(p)=C2(1-p)18p2,由20f(p)=C2(p-1)18p2nf(p)=C2[18(p-1)17p2+(p-1)182p]20 20二C2(p-1)17[18p2+(p-1)2p]=C2(p-1)17(20p2-2p)20 20f'(p)=0np=0.1当pg(0,0.D时，f'(p)>o,当pg9」，1)时，f'(p)<o,所以f(p)的最大值点

p0=0.1(2)(i)由(1)知决P=0」，令Y为余下180件中的不合格品件数，则Y:B(180,0.1) X=20x2+25Y=40+25Y .E(X)=40+25E(Y)=40+25x180x0.1=490.(ii)如果对余下的产品全部检验，则这箱产品检验总费用为400元，而400<EX,所以应该对余下的产品全部检验.2017年(19)(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(从,C2).(1)假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(从3,从+3o)之外的零件数，求P(X>1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(N—30，N+3o)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(五)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经 计 算 得 x=2当x二9971=1S=」上兄(x-君2=震(圮x2-16x2)2穴0.212,其中x为抽取的第V16 1 116 i 1= ==1 1 ==1,1个零件

的尺寸，，=l，2，-/6.用样本平均数元作为目的估计值1，用样本标准差$作为0的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(口—30,Q+36)之外的数据，用剩下的数据估计日和6(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N(从,62),则P(从―36＜Z＜从+36)=0.9974,0.997416=0.9592, 0.008氏0.09.解：(1)由题可知尺寸落在(日-36，日+36)之内的概率为0.9974,落在(--36，-+36)之外的概率为0.0026.P(X=0)=C06(1-0.9974》0.997416x0.9592，P(X>1)=1-P(X=0)x1-0.9592=0.0408.由题可知X~B(16，0.0026)，・•.E(X)=16x0.0026=0.0416.(2)(i)尺寸落在(--36，-+36)之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在(--36，-+36)之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理.--36=9.97-3x0.212=9.334-+36=9.97+3x0.212=10.606(--36，-+36)=(9.334，10.606)Q9.22式9.334，10.606)，,需对当天的生产过程检查.因此剔除9.22.剔除数据之后-的估计值为：9.97x16-9.22 x10.0215用x2=16x0.2122+16x9.972x1591.134i=1i剩下样本数据的方差为L1591.134-9.222-15x10.022)x0.00815

所以6的估计值为为＜0.008x0.09某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：2016年2016年(19)(12分)以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I）求X的分布列；（II）若要求P（X<n）>0.5，确定n的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？19.（I）由题意每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2 1分两台机器甲乙需要同时购买的易损零件个数X的情况可由下面的表格得到X89101181617181991718192010181920211119202122所以X=16,17,18,19,20,21,22 2 分且结合表格容易得P(X=16)=0.2x0.2=0.04P(X=17)=0.2x0.4+0.4x0.2=0.16P(X=18)=0,2x0.2+0,2x0.2+0,4x0,4=0,24P(X=19)=0.2x0.2+0.2x0.2+0.4x0.2+0.2x0.4=0.24P(X=20)=0.4x0.2+0.2x0.4+0.2x0,2=0.2P(x=21)=0.2x0.2+0.2x0.2=0.08P(x=22)=0.2x0.2=0.04 7 分所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04 8分(II)由分布列知P(X<18)=0.04+0.16+0.24=0.44<0.5P(X<19)=0.04+0.16+0.24+0.24，0.5所以n的最小值为19. 10分(III)购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当n=19时，费用的期望为19x200+500x0.2+1000x0.08+1500x0.04=4040当n=20时，费用的期望为20x200+500x0.08+1000x0.04=4080所以应选用n=19 12分2015年2015年某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量弓（i=1,2,・・・，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xy①X(x-x)2ii=12(D-3)2i2(xii=1-x)(y-y)i2(3ii=1—(3)(y-y)ii=146.566.8289.81.61469108.863表中①.二qx①=—28①.8 ii=1（I）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d6哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（III）已知这种产品的年利率z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据（II）的结果回答下列问题：年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（％,、），（u2#2），…，（un\），其回归线V=a+Bu18.（12分）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图:率距一

频组一91-

率距一

频组一91-

O.

_u0002Ari—r…1.■………t”…1~। 卜.165175185 195 205 215225方5质量指标值（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数工和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（II）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N⑴,82），其中R近似为样本平均数K”近似为样本方差s2.（i）利用该正态分布，求P（187.8<Z<212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.附：<150心12.2.若Z〜N（从,82）,则P（日一8<Z<日+8）=0.6826,P（从一28<Z<曰+28）=0.9544.解：（I）抽取产品质量指标值的样本平均数1和样本方差S2分别为x=170X0.02+180X0.09+190X0.22+200x0.33+210x0.24+220x0.08+230x0.02二200

s2=(-30)x0.02+(-20》x0.09+(-10)x0.22+0x0.33+(10)x0.24+(20》x0.08+(30》x0.02—150 6分(II)(i)由(1)知z〜N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.6826 9分(ii)由(i)知， 件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826依题意知X:B(100,0.6826)，所以EX=100x0.6826=68.26 12分2013年19、（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.解：（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件入，第二次取出的4件产品都是优质品为事件,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(AR)U(A2B2),且A1B1与A色互斥，所以p(a)=p(AiBi)+p(A2B2)=P(Ai)P(Bi|Ai)+P(A2)P(B2|A2)TOC\o"1-5"\h\z_4 1 11 3 X + X—— .161616264(2)X可能的取值为400,500,800,并且一、 4111— 、 1- 、1P(X=400)=1-————11,P(X=500)=—,P(X=800)=1.161616 16 4所以X的分布列为X400500800P111116164TOC\o"1-5"\h\z11 1 1EX=400x+500x+800x-=506.25.16 16 42012年18.（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量〃（单位：枝，neN）的函数解析式.（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.解：(1)当n>16时，y=16义(10—5)=80当n<15时，y=5n—5(16—n)=10n—80得：10n-叫<15)(neN)80 (n>16)得：(2)(i)X可取60,70,80P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7X的分布列为X607080P0.10.20.7EX=60x0.1+70x0.2+80x0.7=76DX=162x0.1+62x0.2+42x0.7=44(ii)购进17枝时，当天的利润为=76.4y=(14x5-3x5)x0.1+(15x5-2x5)x0.2+(16x5-1x5)x0.16+17x5x=76.476.4>76得：应购进17枝.2。11年(19)(12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的郑数分布表1指标被分组!】以频敷2Q43B配方的莱教分布骤指标值分细[90,94)(94.9S)晔T02)[102.顺效41232（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（II）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为,=*2〉 94WFc102,4,f>102.从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）解：（I）由实验结果知，用A配方生产的产品中