2021年新高考数学模拟试卷九

2021年新高考数学模拟试卷（9）

选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.(5分)设集合A={0,-2},B=[-1,0,2},则()

A.(0}B.{-1,2}C.{-2,0)D.{-2,-1,0,

2)

2.（5分）对变量羽y有观测数据（笛，yi）（i=L2,…，10）,得散点图（1）；对变量〃,

v,有观测数据（版,v/）（f=l,2,…,10）,得散点图（2）,由这两个散点图可以判断

)

3060

2550

2040

1530

1020

10

5

-----1---1----'----1-----

O234567x1234567u

⑴(2)

A.变量x与y正相关，〃与u正相关

B.变量x与y正相关，〃与u负相关

C.变量x与y负相关，〃与u正相关

D.变量x与y负相关，〃与u负相关

3.（5分）已知角a的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若它的终边经过点P

(2,1),则tcm(2a+/)=()

1

A.-7B.C.一D.7

7

4.（5分）设a,（是实数,则是“间+|例〈1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（5分）函数/G）=7+4*1勺图象只可能是（

A.B.

c.D.

6.（5分）已知三棱锥S-ABC的外接球为球。，SA为球。的直径，且SA=2,若面SAC

，面SA8,则三棱锥S-A3C的体积最大值为（）

12

A.-B.-C.1D.2

33

7.（5分）定义在R上的奇函数/（%）满足/（1+冗）=/（1-x）,且当xRO,1]时，/（元）

31

=x（3-2x）,则/（万）—（）

11

A.-1B.-4C.-D.1

22

8.（5分）设抛物线C：/=”（p>0）焦点为F,点M在C上，且|“目=3,若以MF为

直径的圆过点（或，0）,则C的方程为（）

A./=4y或/=8yB./=2y或W=4y

C./=4y或%2=16yD./=2y或7=16y

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

x2y2、

9.（5分）已知双曲线一^—[7=1（。>0,b>0）的左、右焦点分别为尸1,Fz,尸为双曲线

a2b2

上一点，且|PFI|=2|PF2|,若豆11/为尸尸2=李，则对双曲线中a,b,c,e的有关结论正

确的是（）

A.e=V6B.e=2C.b=V5aD.b=y/3a

10.（5分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以[160,180）,[180,200）,[200）

220）,[220,240）,[240,260）,[260,280）,[280,300]分组的频率分布直方图如图.

则下列说法正确的是()

A.直方图中x=0.0075

B.上图中所有矩形面积之和为1

C.月平均用电量的众数和中位数分别为230,224

D.在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,

用分层抽样的方法抽取11户居民，月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取5户.

11.(5分)已知函数y=/(x)的定义域为(0,+8),对任意的x,)，€(0,+°°),/(%)

+f(y)=f(xy)成立，当x>I时，f(x)>0.若数列｛〃”｝满足a\=f(1),且f(如+i)

=/(2a«+l)(〃CN*),则正确的是()

A./(1)=0

B.y—f(x)在(0,+8)为减函数

C.a239=22018-1

D.622019=22019-1

12.(5分)如图，在棱长为1的正方体ABC。-A181CD1中，P为棱CC1上的动点(点P

不与点C,C1重合)，过点P作平面a分别与棱8C,CZ)交于M,N两点,若CP=CM

=CN,则下列说法正确的是()

A.AiC_L平面a

B.存在点P,使得ACi〃平面a

C.存在点尸，使得点4到平面a的距离为£

D.用过P,M,功三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）已知i为虚数单位，若复数（1+市）（1+i）纯虚数，则实数a=.

14.（5分）若/°2°=40+a1（X-1）+42（X-1）2+…+.2020（X-1）2°2°,则号+号+--

。2020_

32020--------------•

15.（5分）设当x=6时，函数/（x）=sinx-2cosx取得最大值，贝ljsin6=.

16.（5分）函数/（x）=x（x-51）（x-S2）…（x-S8）,其中Sn为数列｛a〃｝的前n项和，

若丽=壶，则/⑹=——

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,且〃+c?-a?=竽儿.

（I）求sinA的值;

（II）若△ABC的面积为鱼，且&sinB=3sinC,求△ABC的周长

18.（12分）已知等差数列｛〃”｝的前"项和为。2=1,57=14,数列｛加｝满足瓦•尻•必bn=

n2+n

2T.

（1）求数列｛“"｝和｛晶｝的通项公式：

（2）若数列｛Cn｝满足Cn=b"COS（anil）,求数列｛Cn｝的前2〃项和T2”.

19.（12分）如图，在四棱锥P-A8CZ）中，△M。,。是以AQ为斜边的等腰直角三角形，

底面ABC。为直角梯形，CDA.AD,PB=l,AD=2DC=2BC=2,为线段A。的中点.

（1）证明：08〃平面PCD；

（2）求二面角P-AD-B的大小.

20.（12分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，

从人居环境改善、饮食习惯，社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要

坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某小组

通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）

卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）

膳食合理状况类；（6）作息规律状况类.经过数据整理，得到如表：

卫生习惯状垃圾处理状体育锻炼状心理健康状膳食合理状作息规律状

况类况类况类况类况类况类

有效答卷份380550330410400430

数

习惯良好频0.60.90.80.70.650.6

率

假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.

（/）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类

中习惯良好者的概率；

（II）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合

理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；

（III）利用上述六类习惯调查的排序，用“1=1”表示任选一位第A类受访者是习惯良

好者，“&=0”表示任选一位第左类受访者不是习惯良好者（％=1,2,3,4,5,6）.写

出方差*1,比2,密,比4,疣5,a6的大小关系.

x2y21

21.（12分）已知椭圆r：/+正=l（a>b>0）的离心率为3，点A为该椭圆的左顶点，

过右焦点尸（c,0）的直线/与椭圆交于8,C两点，当BCLx轴时，三角形ABC的面

积为18.

(1)求椭圆r的方程；

(2)如图，当动直线BC斜率存在且不为0时，直线x=c分别交直线A8,AC于点M、

N,问x轴上是否存在点尸，使得PMJ_PN,若存在求出点P的坐标：若不存在说明理由.

22.(12分)已知函数/(x)=Cv2”)炭(aGR).

(1)若函数/(x)有两个不同的极值点，求实数。的取值范围；

(2)当a=0时，若关于x的方程/(x)=，〃存在三个不同的实数根，求实数，"的取值

范围.

2021年新高考数学模拟试卷(9)

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题，满分40分，每小题5分)

1.(5分)设集合A={0,-2},B={-1,0,2},则AU5=()

A.{0}B.{-1,2}C.{-2,0}D.{-2,-1,0,

2}

【解答】解：・・・A={0,-2},B={-1,0,2},

；.AUB={-2,-1,0,2).

故选：D.

2.(5分)对变量x,y有观测数据(x/,yz)(Z=l,2,…，10),得散点图(1)；对变量小

v,有观测数据(4，w)(i=l,2,10),得散点图(2),由这两个散点图可以判断

()

%

3060

2550

2040

1530

1020

510

_I----1----1-----1----1-----1----■—

O1234567x1234567u

(1)G)

A.变量x与y正相关，〃与u正相关

B.变量x与y正相关，v与u负相关

C.变量x与y负相关，〃与u正相关

D.变量x与y负相关，〃与u负相关

【解答】解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关,

由题图2可知，〃随u的增大而增大，各点整体呈上升趋势，〃与u正相关.

故选：C.

3.(5分)已知角a的顶点与原点O重合，始边与x釉的正半轴重合，若它的终边经过点P

(2,1),则tcm(2a+*)=()

11

A.-7B.-4C.一D.7

77

【解答】解：根据题意，tana=

2tana2xi4

.-.tan2a="嗯-=——J=总

1-taMai_(£3

ntan2a+tav^J+l

'4，l—tan2atan^i-^xl

故选：A.

4.(5分)设a,6是实数，则“<P+.wi”是“国+步|W1”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：设a,b是实数，则“a2+/Wl”推不出“同+物W1”,

例如0.72+0.62=0.85<1,但0.7+0.6=1.3>1,

“间+|臼W1"=>“/+代1”,

是“同+QW1”的必要不充分条件.

故选：B.

【解答】解：因为对于任意的x6R,/(x)=/+*>0恒成立，所以排除A,B,

由于f(0)=(^+^=\,则排除。，

故选：C.

6.(5分)己知三棱锥S-A8C的外接球为球。，S4为球。的直径，且SA=2,若面S4C

，面SAB,则三棱锥S-A8C的体积最大值为()

12

A.-B.-C.1D.2

33

【解答】解：如图，

连接OC,OB,则Vs-ABC=Vs-OBC+VA-OBC,

两三棱锥高的和的最大值为SA=2.

要使三棱锥S-ABC的体积最大，则△OBC面积最大为三xOBxOCxsin乙BOC=-x

22

1

1x1x1=-.

2

111

・・・三棱锥S-ABC的体积最大值为；x-x2=-.

323

故选：A.

4

7.(5分)定义在R上的奇函数一(X)满足了(1+冗)=f(l-x),且当x日0,1]时，/(无)

=x(3-2x),贝lj/(当)=()

11

A.-1B.-4C.-D.1

22

【解答】解：根据题意，函数/(x)满足/(1+x)=f(l-X),则有/(-X)=/(x+2),

又由，(x)为奇函数，则f(x+2)=-f(x),

则有f(x+4)=-/(x+2)=/(x),即函数/(x)是周期为4的周期函数，

e31、1z1/、11

则f(万)=/(-*+16)=/(-分=-/(-)=-[-(3-2XJ)]=-1；

故选：A.

8.(5分)设抛物线Cx2=py(p>0)焦点为F,点M在。上，且|MQ=3,若以MF为

直径的圆过点(VL0),则C的方程为()

A./=4y或/=8丫B./=2y或/=4y

C./=4y或/=16yD./=2y或/=16y

【解答】解：•.•抛物线C：/=py(p>0)焦点为F,.(0,-),准线为：)=-%

44

设M(/%,〃)，

•.•点M在抛物线C上，|MF|=3,；.n=3-*

又•••圆的直径为MF,.•.圆心为MF的中点，半径「=梳，.•.圆心坐标为(竺，-),

222

又；圆过点(VL0),

.•.J(y-V2)2+(|-0)2=|,解得：机=2伍

/•M(2V213—3代入抛物线C方程：x^—py＞得：8=p(3—号)，

：.p2-12p+32=0,

・“=4或8,

・・・抛物线C方程为：？=4y或7=8y,

故选：A.

二.多选题(共4小题，满分20分，每小题5分)

x2y2

9.(5分)已知双曲线三-77=1(。＞0,/?＞0)的左、右焦点分别为五2,尸为双曲线

azb2

上一点，且|PFI|=2|PF2|,若sin/FiPF2=弊，则对双曲线中a,b,c,e的有关结论正

确的是()

A.e=V6B.e=2C.b=\[SaD.b=y/3a

【解答】解：由双曲线定义可知:|尸尸1|-甲尸2|=干尸2|=功・・.|PF1|=4〃,

由sinZFiPF2=可得8$/尸12尸2=土工，

44

4a2+16a2—4c21

在同中，由余弦定理可得：---------------=±-

2x2ax4a4

解得：­=4或=6，

e—W=2或遍.

:,c=2a或c=\[6a

又丁。2=〃2+/,

:.b=或b=y[Sa

故选：ABCD.

10.(5分)某城市户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180),[180,200),1200,

220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.

则下列说法正确的是()

A.直方图中x=0.0075

B.上图中所有矩形面积之和为1

C.月平均用电量的众数和中位数分别为230,224

D.在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,

用分层抽样的方法抽取11户居民，月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取5户.

【解答】解：由频率分布直方图得：

在A中，(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)X20=l,

解得x=0.0075.故A正确；

在B中，由频率分布直方图的性质得所有矩形面积之和为1,故8正确；

在C中，月平均用电量的众数为：和中位数分别为22°+24°=230,

2

[160,220)的频率为:(0.002+0.0095+0.011)X20=0.45,

[220,240)的频率为0.0125X20=0.25,

工中位数为：220+练器x20=224,故C正确；

在。中，在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用

户中，

用分层抽样的方法抽取11户居民，

月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取：11xn-mnnr??肾nnmnn”=5户.故

。正确.

故选：ABCD.

11.(5分)已知函数y=/(x)的定义域为(0,+8),对任意的x,yG(0,+8),f(x)

+/'(y)=f(xy)成立，当x>l时,f(x)>0.若数列｛斯｝满足(1),且/(a〃+i)

=/(2即+1)(nGN*),则正确的是()

A./(I)=0

B.y=f(x)在(0,+8)为减函数

C.£Z2O19=22018-1

D.a20i9=22019-1

【解答】解：由fG)=/(孙)，

取x=y=L得：(1)=f(1),即/(I)=0,

x

设x>y>0,则一>1,

y

xxx

则/(x)-f=fxy)-f(y)=/(一)(y)-/(y)=f>。，

即函数y=f(%)在(0,+8)为增函数，

又/(Cln+\)=f(2。〃+1),

所以Un+l=2。〃+1,

即。〃+1+1=2(1)，

又41+1=/(1)+1=1,

所以｛。〃+1｝为以1为首项，2为公比的等比数列，

所以〃〃+l=2〃-1

n1

即an=2-L

所以«2019=22018-1,

故选：AC.

12.(5分)如图，在棱长为1的正方体A8CO-481C1D1中，P为棱CC1上的动点(点产

不与点C,。重合)，过点P作平面a分别与棱8C,CD交于M,N两点,若CP=CM

=CN,则下列说法正确的是()

A.AC_L平面a

B.存在点尸，使得ACi〃平面a

..5

C.存在点P,使得点Ai到平面a的距离为孑

D.用过P,M,功三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形

【解答】解：连接ADi,D\P,AM.DB.

易得AQi〃PM,CCl//PM,C\D//PN,DB//MN.

对于A,可得正方体中AiC_L面08。，即可得4C_L平面a,故A正确.

对于8,平面a,且AC=W>|,所以存在点P,使得点4到平面a的距离为

5

故正确.

3

对于D,用过P,M,三点的平面去截正方体，得到的截面是四边形PMADi,PM#

ADi,四边形PM4D1一定是梯形，故正确.

故选：ACD.

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）已知i为虚数单位，若复数（1+H）（1+1）纯虚数，则实数a=1.

【解答】解：,；（1+ai）（l+i）—（1-a）+（l+i?）i是纯虚数,

A{l+a；0,得”=L

故答案为：I.

14.（5分）若/°20=〃（）+m（x-]）+a2（X-1）2+--*4-6Z2O2O（X-1）2020,则生+^|+…+=

（34）202。-1.

-3----------------

【解答】解：:/°2°=〃0+〃1（X-1）+〃2（%-1）…+02020（X-1）2020,

令1=1得：40=1；

令%=[得:

2020_加入alia2i...।a2020.

()+-2+-+-2020；

.«1,02a202042020

••y+^+-+^=(3)T；

故答案为：(护2。一1

V5

15.(5分)设当x=8时，函数/(x)=sinx-2cosx取得最大值，则sin6=不,

「V52芯

【解答】解：V/(x)=sinx-2cosx=V5(―sinx——^―cosx)

=V5sin(x-<p),其中cos(p=络，

・.”=e时取得最大值，

1

Asin(6-q))=1,即8-(p=讶兀+2/CTT,k£Z,

1A/5

则sin。=sin(<p+,兀+2/CTT)=cos(p=、-，

Vs

故答案为：—.

16.(5分)函数/(x)=x(x-Si)(x-S2)…(x-58),其中Sn为数列｛〃〃｝的前n项和,

若即=适/，则/(0)==一

【解答】解：:/(x)=x(X-51)(X-S2)…(X-S8),

:・f(X)=[(X-S1)(X-S2)•••(X-5s)]+x[(x-Si)(x-S2)…(x-Ss)]',

则/(0)=§&♦♦♦&,

111

•・•"〃=而也=向一市’

・C_11,11,,11

••on-]-w2十万2—53■十*,*•--n---n-+T1T

_11n

n+1n+1

rn.lc<Co1.281

贝S1S2…S8=2XwX…Xg=g,

1

故答案为f：

9

四.解答题(共6小题，满分70分)

17.(10分)在△A8C中，角A,B,C的对边分别为小b,c,且川+c?-a?=警be.

(I)求sinA的值；

(II)若△A8C的面积为鱼,且&sinB=3sinC,求△ABC的周长

【解答】解：(I)；炉+C2-=^bc,

由余弦定理可得2方ccosA=-^-bc,

.2V2

•・cosA——~，

Z.^EAABC中,siivl=V1—cos2A=考.

(II)：丛ABC的面积为a，BP-/?csin4=去bc=V2,

：.hc=6^2f

又・,・V^sinB=3sinC由正弦定理可得企b=3c,

A/?=3V2,c=2,则〃2=川+。2-2bccosA=6,

A/6,

：./\ABC的周长为2+3&+V6.

18.(12分)已知等差数列｛a〃｝的前几项和为％,42=1,57=14,数列(仇｝满足瓦•力2,83…bn;

M+九

2~^~.

(1)求数列｛〃〃｝和｛瓦｝的通项公式;

(2)若数列｛Cn｝满足Cn=A〃COS求数列｛Cn｝的前2〃项和公〃.

【解答】解：(1)设等差数列｛〃〃｝的公差设为d,由〃2=1,S7=14,

1111

可得ai+d=l,7〃i+21d=14,解得〃i=d=2，则m+7(〃-1)=)〃；

-2+-n(n—1)

由瓦•力2•63…匕=22,可得加•历•加…加-1=22(〃22),

两式相除可得加=2〃(〃22),对〃=1也成立，

故加=2、(尤N*)；

1

(2)Cn=b〃cos(a〃ir)=2〃cos(-m),

2

7T37r1

贝!J乃〃=2cos—+22COSTI+23COS—+24cos(2n)+…+22〃％os(一(2/?-1)n)+22”cos(mi)

222

=22cosn+24cos(2TT)4--«+22,ZCOS(/m)=-22+24-2‘+…+(-1)n<22,?=-KJ)):

.,xn+l

4A+(-4A)

5,

19.(12分)如图，在四棱锥尸-ABC。中，△抄1O,。是以AD为斜边的等腰直角三角形,

底面ABCD为直角梯形，CD_LA。，PB=l,AD=2DC=2BC=2,为线段AD的中点.

(1)证明：。8〃平面PCD；

（2）求二面角P-A。-8的大小.

【解答】解：（1）证明：由底面ABCD为直角梯形，得OD〃BC,

又由AQ=2BC,。为线段中点，得OD=BC,

所以四边形OBCD为平行四边形，则OB//CD.

又OBC平面PCD,CCu平面PCD,

故OB〃平面PCD.

（2）由已知PO_LA。，BOLAD,

所以二面角P-AD-B的平面角为/POB,

由PB=1,PO=OD=1,PB=1,得△PO2是等边三角形，

故408=60°,

所以P-AD-B的大小为60°.

20.（12分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，

从人居环境改善、饮食习惯，社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要

坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某小组

通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）

卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）

膳食合理状况类；（6）作息规律状况类.经过数据整理，得到如表：

卫生习惯状垃圾处理状体育锻炼状心理健康状膳食合理状作息规律状

况类况类况类况类况类况类

有效答卷份380550330410400430

数

习惯良好频0.60.90.80.70.650.6

率

假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.

(/)从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类

中习惯良好者的概率；

(II)从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合

理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；

(III)利用上述六类习惯调查的排序，用“1=1”表示任选一位第々类受访者是习惯良

好者，“1=0”表示任选一位第人类受访者不是习惯良好者(％=1,2,3,4,5,6).写

出方差。日,央2,a4,Dfy,力出的大小关系.

【解答】解：(/)设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者"的事件

为A,

有效问卷共有380+550+330+410+400+430=2500(份)，

其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是400X0.65=260人，

故P(A)=需^=0104；

(//)设该区“卫生习惯状况良好者“，"体育锻炼状况良好者“、"膳食合理状况良好者”

事件分别为A,B,C,

根据题意，可知尸(A)=0.6,(B)=0.8,P(C)=0.65,

设事件E为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习

惯方面，至少具备两类良好习惯“

则P(E)=P(ABC)+P(ABC)+PCABO+P(ABC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(X)P(B)P(C)+P(A)P(B)

P(C)

=0.6X0.8X0.35+0.6X0.2X0.65+