几何综合压轴题（12题）（原卷版）

专题10几何综合压轴题一．解答题（共12小题）1．（2020•海安市一模）定义：如果一个直角三角形的两条直角边的比为，那么这个三角形叫做“半正切三角形”．（1）如图①，正方形网格中，已知格点，，在格点，，，中，与，能构成“半正切三角形”的是点；（2）如图②，为“半正切三角形”，点在斜边上，点在边上，将射线绕点逆时针旋转，所得射线交边于点，连接．①小彤发现：若为斜边的中点，则一定为“半正切三角形”．请判断“小彤发现”是否正确？并说明理由；②连接，当时，求的值．2．（2020•崇川区校级一模）（1）如图1，已知中，、分别是、的中点，求证：，．（2）利用第（1）题的结论，解决下列问题：①如图2，在四边形中，，、分别是、的中点，求证：，②如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，点，分别为，的中点，连接，求长度的最大值．3．（2020•江都区校级一模）（1）问题发现如图1，在和中，，，，连接，交于点．填空：①的值为；②的度数为．（2）类比探究如图2，在和中，，，连接交的延长线于点．请判断的值及的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点重合时的长．4．（2019•宜兴市一模）如图，矩形，，，点为上一点，且，点从点出发，向终点运动，速度为，以为斜边在上方作等腰直角，以，为邻边作，连接．设点的运动时间为秒．（1）试说明：；（2）当点落在直线上时，求的值；（3）点从运动到的过程中，直接写出的最小值．5．（2020•启东市一模）如图，已知矩形中，，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，连接，作点关于直线的对称点，设点的运动时间为．（1）若，仅在边运动，求当，，三点在同一直线上时对应的的值．（2）在动点在射线上运动的过程中，求使点到直线的距离等于3时对应的的值．6．（2020•扬州校级一模）【发现】如图1，点，分别在正方形的边，上，连接．因为，所以把绕逆时针旋转至，可使与重合．因为，所以，所以、、共线．如果（填一个条件），可得．经过进一步研究我们可以发现：当，，满足时，．【应用】如图2，在矩形中，，，点在边上，且．（1）若，点在边上，且（如图，求的长；（2）若点在边上，且，求的取值范围．7．（2020•崇川区校级一模）如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、．（1）请判断线段和的数量关系，并说明理由；（2）当、、三点在同一直线上时，求的长；（3）设的中点为，连接，试求线段长的最小值．8．（2020•无锡一模）如图，矩形中，，．动点，同时分别从点，出发，分别沿着射线和射线的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接，以为直径作交射线于点，设运动的时间为．（1）当点在线段上时，用关于的代数式表示，．（2）在整个运动过程中，①连结，当为何值时，为等腰三角形．②圆心处在矩形内（包括边界）时，求的取值范围，并直接写出在此范围内圆心运动的路径长．9．（2020•灌南县一模）如图（1），已知点在正方形的对角线上，，垂足为点，，垂足为点．（1）证明与推断：①求证：四边形是正方形；②推断：的值为（2）探究与证明：将正方形绕点顺时针方向旋转角，如图（2）所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形在旋转过程中，当，，三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长交于点．若，，则．10．（2020•亭湖区校级一模）发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为的正方形和边长为的正方形，开始时，点在上，如图1．将正方形绕点逆时针方向旋转．（1）如图2，小亮将正方形绕点逆时针方向旋转，连接、，当点恰好落在线段上时，小亮发现，请你帮他说明理由．当，时，请你帮他求此时的长．（2）如图3，小亮旋转正方形，点在的延长线上，连接、．当平分时，请你帮他求及的度数．（3）如图4，的延长线与直线相交于点，．当正方形绕点从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点运动的路线长（用含的代数式表示）．11．（2020•高邮市一模）在中，，．（1）如图1，若将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的面积为．（2）如图2，点为延长线上一个动点，连接，以为直角顶点，为直角边作等腰直角，连接，求证：；（3）如图3，点，为线段上两点，且，点是线段上一个动点，点是线段上一个动点，是否存在点，，使的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．12．（2020•南通一模）如图，矩形中，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边运动，到点停止运动