2014江苏南京中考数学试题(含答案)

2014江苏南京中考数学试题(含答案)南京市2014年初中毕业生学业考试数学注意事项：1.本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟。考生答题必须全部填写在答题卡上，答在本试卷上无效。2.请仔细核对监考教师在答题卡上所黏贴的条形码的姓名、考试证号是否与本人相符，然后将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效。4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。一、选择题本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上。1.计算12-7×（-4）+8÷（-2）的结果是(A)-24(B)-20(C)6(D)362.计算a³．（a²）的结果是(A)a(B)a⁵(C)a⁶(D)a⁹3.设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3<a<4；④a是18的算术平方根。其中，所有正确说法的序号是(A)①④(B)②③(C)①②④(D)①③④4.如图，圆O₁、圆O₂的圆心O₁、O₂在直线l上，圆O₁的半径为2cm，圆O₂的半径为3cm，O₁O₂=8cm。圆O₁以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，在此过程中，圆O₁与圆O₂没有出现的位置关系是(A)外切(B)相交(C)内切(D)内含5.在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k₁x的图像与反比例函数y=x的图像没有公共点，则(A)k₁+k₂<0(B)k₁+k₂>0(C)k₁k₂<0(D)k₁k₂>06.如图，一个几何体上半部为正四棱椎，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是(A)(B)(C)(D)二、填空题本大题共10小题，每小题2分，共20分。不须写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。7.-3的相反数是；-3的倒数是。答案：3，-1/38.计算3-2/1的结果是。答案：4/39.使式子1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8的值大于3，需要再加上__________。答案：1/91.有意义的x的取值范围为什么没有给出？请提供完整信息。2.第二届亚洲青年运动会将于2013年8月16日至24日在南京举办。在此期间，约有13000名青少年志愿者将提供服务。请用科学记数法表示13000。3.如图所示，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A’B’C’D’的位置，AD旋转角为α(0°<α<90°)。若∠1=110°，则∠α=？（图中未给出，无法回答）4.如图所示，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=？（图中未给出，无法回答）5.△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点的三角形。若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为？（未给出OAB的图形，无法回答）6.已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：？（未给出图形，无法回答）7.如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，AC与BD相交于点P。已知A(2,3)，B(1,1)，D(4,3)，则点P的坐标为？（未给出图形，无法回答）8.计算(1-2-3-4-5)(2+3+4+5+6)-(1-2-3-4-5-6)(2+3+4+5)的结果是？9.化简(1-ba)/(a-ba+ba+b)÷2x1/(x-22-x)。10.解方程x-1/10的取值范围是多少？11.如图所示，四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N。(1)求证：∠ADB=∠CDB；(2)若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形。12.一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同。求下列事件的概率：(1)搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球；13.某次考试有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一项是正确的。如果小明随机猜答案，求他至少答对3道题的概率。21.某校150名学生上学方式调查题目要求：计算全部选择题都正确的概率，理解和分析随机抽样的合理性，并根据调查结果提出建议。解答：选择题的每个选项有1/4的概率被选中，因此全部选择题都正确的概率是1/4的6次方，即1/4096。如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽样不合理。因为不同年级的学生上学方式可能有所不同，如果只抽取同一个年级的学生，可能导致样本数据不够全面和典型。根据调查结果，可以绘制出某校2000名学生上学方式的条形统计图，从而更直观地了解全校学生的上学方式情况。除了建议学校合理安排自行车停车场地外，还可以建议学校加强对公共交通工具的投入和管理，以便更好地满足学生的出行需求。22.跷跷板高度计算题目要求：根据不等臂跷跷板的长度和两端碰到地面时的夹角，求跷跷板支撑点到地面的高度。解答：设跷跷板支撑点到地面的高度为OH，跷跷板一端与地面的夹角为α，另一端与地面的夹角为β，跷跷板长度为AB。根据正弦定理，有：OH/sinα=AB/2sin(α+β)OH/sinβ=AB/2sin(α+β)将两式相减，得：OH=ABsin(α-β)/(2sin(α+β))23.商场促销方案计算题目要求：根据商场促销方案，计算顾客购物可以获得的双重优惠。解答：商场内所有商品按标价的80%出售，因此购买标价为x元的商品，实际消费金额为0.8x元。根据消费金额表格，可以得知消费金额为320元时，返还金额为30元。因此，购买标价为400元的商品，实际消费金额为320元，获得的优惠额为400×(1-80%)+30=110元。1.如果购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？答案：无法确定。2.如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？答案：至少为1026元。小丽驾车从甲地到乙地。设她出发第xmin时的速度为ykm/h，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系。(1)小丽驾车的最高速度是72km/h；(2)当20≤x≤30时，y=48+2(x-20)，小丽出发第22min时的速度为52km/h；(3)小丽驾车从甲地到乙地共耗油20L。解释：根据图像可知，小丽的最高速度为y=72km/h。当20≤x≤30时，y的变化率为2km/hpermin，因此y=48+2(x-20)。代入x=22得到y=52km/h。小丽驾车从甲地到乙地的时间为50min，行驶的路程为y的定积分，即∫0^50ydx=1200km。根据题目条件，每行驶100km耗油10L，因此小丽驾车共耗油20L。如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD。(1)直线PC与圆O相交于点C，因为∠BCP=∠ACD=90°，所以PC垂直于AC，而AC是圆O的直径，因此PC过圆心O；(2)PC的长为8。解释：根据题目条件，AB=9，BC=6，因此AC=√(9^2+6^2)=√117。由于AC是圆O的直径，因此圆O的半径为r=√117/2。又因为∠BCP=∠ACD=90°，所以PC垂直于AC，因此PC的长等于BC的长减去圆O的半径的两倍，即6-2r=6-2√117/2=8。已知二次函数y=a(x-m)^2-a(x-m)(a、m为常数，且a≠0)。(1)不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；(2)设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。当△ABC的面积等于1时，求a的值；当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值。解释：(1)当y=0时，有a(x-m)^2-a(x-m)=0，即a(x-m)(x-m-1)=0，因此x=m或x=m+1。因此，不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。(2)设顶点为C(h,k)，则有h=m+1/2，k=-a/4。因为A、B两点在x轴上，所以它们的y坐标为0，即a(m+1)^2-a(m+1)=0和a(m^2-m)-a(m)=0。解得m=0或m=1，因此A、B两点坐标分别为(0,0)和(1,0)。因为D点在y轴上，所以其x坐标为0，即a(-m)^2-a(-m)=0，解得m=0或m=-1。因此，当m=0时，有a=4；当m=1时，有a=-3。因此，当△ABC的面积等于1时，a=4；当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，m=-1/2。(2)由(1)可得，△ABD与△CBD互为顺相似。又∵AD平分A，CD平分C，∴BAD=CAD，BDA=CDA。∴△ABD△ACD。∴ADB=ADC。(4分)综上所述，△ABD与△CBD互为顺相似，△ABD与△ACD互为逆相似。(8分)20.(本题8分)解：(1)如图所示，过点P作AC的平行线，交BC于点E。则△APE与△ABC互为逆相似。(4分)(2)如图所示，过点P作BC的平行线，交AC于点F。则△FPB与△ABC互为逆相似。(4分)21.(本题8分)解：如图所示，过点P作AB的垂线PH，交AC于点H。则△APH与△ABC互为逆相似。(4分)由相似三角形的性质可知，PH/AB=AH/AC，即PH=AB·AH/AC。(4分)22.(本题10分)解：(1)如图所示，过点P作BC的角平分线，交AB于点E。则PE是△PBC的角平分线，且PE平分BC。(4分)(2)如图所示，过点P作AC的角平分线，交AB于点F。则PF是△PAC的角平分线，且PF平分AC。(4分)(3)如图所示，过点P作AB的垂线PH，交AC于点H。则PH是△APC的高线，且PH平分AC。(2分)(4)如图所示，过点P作BC的垂线PK，交AC于点K。则PK是△BPC的高线，且PK平分BC。(2分)23.(本题10分)解：如图所示，过点P作AD的垂线PH，交BC于点H。则PH是△APD的高线，且PH=PD·sin∠PAD。(4分)又∵△APD△BPC，∴PD/BC=AD/PC，即PD=AD·BC/PC。(4分)又∵△APC△BPD，∴PC/PD=CA/PB，即PD=PC·PB/CA。(2分)代入PH=PD·sin∠PAD中，得PH=AD·BC·sin∠PAD/CA·PB。(2分)24.(本题12分)解：如图所示，过点P作BC的平行线，交AD于点E；过点P作AD的平行线，交BC于点F。则△APE与△ABC互为逆相似，△FPB与△ABC互为逆相似。(4分)由相似三角形的性质可知，PE/AB=AE/AC，PF/AB=BF/BC。(4分)又∵AE+BF=AB，AC+BC=AB，∴AE/AB+BF/AB=1，AC/AB+BC/AB=1。(4分)25.(本题12分)解：如图所示，过点P作AC的垂线PH，交BD于点H。则PH是△APC的高线，且PH=PC·sin∠ACP。(4分)又∵△APC△BPD，∴PC/PD=CA/PB，即PD=PC·PB/CA。(4分)又∵△BPD△CHD，∴PD/HD=BD/CD，即HD=PD·CD/BD。(2分)代入PH=PC·sin∠ACP和PD=PC·PB/CA中，得PH=PC·PB·CD·sin∠ACP/CA·BD2。(2分)∴根据勾股定理得到：(4分)(OM)²+(MC)²=(OC)²(62-r)²+3²=r²解得r=35/8，即圆O的半径为35/8。(3)设点P的坐标为(x,y)，则由题意可得：x²+y²=(35/8)²(x-9)²+y²=9²联立两式，解得点P的坐标为(105/64,15/8)或(15/8,105/64)。所以点P的坐标为(105/64,15/8)或(15/8,105/64)。(4分)由勾股定理可得，$OM^2+MC^2=OC^2$，即$(62-r)^2+3^2=r^2$。解得$r=\frac{8}{\sqrt{2}}$。在直角三角形OMC和OCP中，$\angleOMC=\angleOCP$，$\angleMOC=\angleCOP$，因此$\triangleOMC\sim\triangleOCP$。由此可得$OC=PC$，即$PC=\frac{7}{\sqrt{2}}$。解法二：(1)如图所示，连接OC。由于AD是圆O的切线，所以$\angleOAD=90^\circ$。又因为BC平行于AD，所以$\angleOMC=180^\circ-\angleOAD=90^\circ$，因此OM垂直于BC。又因为MC=MB，所以AB=AC，$\angleMAB=\angleMAC$。又因为$\angleBAC=2\angleMAC$，而$\angleMOC=2\angleMAC$，所以$\angleMOC=\angleBAC$。又因为AB平行于CD，所以$\angleBAC=\angleACD$。因此$\angleMOC=\angleACD$。又因为$\angleBCP=\angleACD$，所以$\angleMOC=\angleBCP$。而$\angleMOC+\angleOCM=90^\circ$，所以$\angleBCP+\angleOCM=90^\circ$。因此$\anglePCO=90^\circ$，即PC垂直于OC。又因为点C在圆O上，所以直线PC与圆O相切。(2)在直角三角形AMC中，$\angleAMC=90^\circ$，$AC=AB=9$，$MC=\frac{3}{2}$，$BC=3$。由勾股定理可得$AM=\sqrt{AC^2-MC^2}=6\sqrt{2}$。设圆O的半径为r。在直角三角形OMC中，$\angleOMC=90^\circ$，$OM=AM-AO=6\sqrt{2}-r$，$MC=\frac{3}{2}$，$OC=r$。由勾股定理可得$(6\sqrt{2}-r)^2+\frac{9}{4}=r^2$，解得$r=\frac{8}{\sqrt{2}}$。在直角三角形OMC和OCP中，$\angleOMC=\angleOCP$，$\angleMOC=\angleCOP$，因此$\triangleOMC\sim\triangleOCP$。由此可得$OC=PC$，即$PC=\frac{7}{\sqrt{2}}$。(1)证明：$$y=a(x-m)^2-a(x-m)=ax^2-(2am+a)x+am^2+am$$当$a\neq0$时，$(-2am-a)^2-4a(am^2+am)=a^2>0$，因此方程$ax^2-(2am+a)x+am^2+am=0$有两个不相等的实数根。因此，不论$a$和$m$为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。(2)解：$$y=a(x-m)^2-a(x-m)=(x-2)^2-4$$因此，点C的坐标为$(2,-4)$。(1)修改为：图中，已知△ABC，点P在△ABC的边上，过点P可以画出截线PQ。证明：当△PQ与△ABC互为逆相似时，点P必定在△ABC的边上。(2)修改为：根据已知条件，点P在△ABC的边上，过点P可以画出截线PQ。根据相似三角形的性质，当且仅当△PQ与△ABC互为逆相似时，点P在△ABC的边上。我们分三种情况讨论：1.当点P在BC上时，过点P可以画出两条截线PQ1、PQ2，分别满足∠CPQ1=∠A，∠BPQ2=∠A。此时，△PQ1C和△PQ2B都与△ABC互为逆相似。2.当点P在AC上时，过点B作∠CBM=∠A，BM交AC于点M。当点P在AM上时，过点P1可以画出一条截线P1Q，满足∠AP1Q=∠ABC，此时，△AP1Q与△ABC互为逆相似。当点P在CM上时，过点P2可以画出两条截线P2Q1、P2Q2，分别满足∠AP2Q1=∠ABC，∠CP2Q2=∠ABC，此时，△AP2Q1和△P2Q2C都与△ABC互为逆相似。3.当点P在AB上时，过点C作∠BCD=∠A，∠ACE=∠B，CD、CE分别交AC于点D、E。当点P在AD上时，过点P1可以画出一条截线P1Q，满足∠AP1Q=∠ABC，此时，△AQP1与△ABC互为逆相似。当点P在DE上时，过点P2可以画出两条截线P2Q1、P2Q2，分别满足∠AP2Q1=∠ACB，∠BP2Q2=∠BCA，此时，△AQ1P2和△Q2BP2都与△ABC互为逆相似。当点P在BE上时，过点P3可以画出一条截线P3Q，满足∠BP3Q=∠BCA，此时，△Q'BP3与△ABC互为逆相似。与三角形ABC互为逆相似。其中，点A和A'、点B和B'、点C和C'分别对应。设AB=c，AC=b，BC=a。则有以下关系式：$\frac{AB}{AC}=\frac{AC'}{AB'}=\frac{a}{b}$$\frac{BC}{AB}=\frac{BA'}{BC'}=\frac{a}{c}$$\frac{AC}{BC}=\frac{CB'}{CA'}=\frac{b}{c}$根据相似比例的性质，有：$\frac{A