自偶阿贝尔码的两个新刻画

自偶阿贝尔码的两个新刻画

近年来，z4环自偶码引起了很多人的兴趣。与二元自偶码一样，z4个自偶码与组合设计、分割代码和模格设计密切相关。1997年，p磊等人使用xn-1的原理在z4上分解，并给出了z4中n（n是奇）长自偶循环代码的完全必要前提。在这项工作中，使用网格路径，给出了z4中n（n是奇）长自偶循环代码的完全需求。Zr表示整数系Z模r的剩余类环,Zr上n长的线性码C是Zrn的子模.C中的一个元素叫做C的码字,记为c.码字c的汉明重量是这个码字中非零分量的个数.Zrn中两个元素c=(c1,c2,…,cn)和c′=(c1′,c2′,…,cn′)的内积定义如下:码C的对偶码C⊥定义如下:如果C⊆C⊥,称码C是自正交的.如果C=C⊥,称码C是自偶的.设G为n阶阿贝尔群,运算为加法,且n与r互素.群环ZrG由所有形如,ag∈Zr的形式多项式组成.ZrG中的运算为通常的加法和多项式卷积乘法.ZrG中的理想称为Zr上n长阿贝尔码.当G为循环群时,阿贝尔码即为循环码.记G={g1,g2,…,gn},,每个c对应于一个码字(a1,a2,…,an)∈Zrn.反之亦然.通过该对应法则可以把ZrG中的一个理想(阿贝尔码)看成Znr的一个子模(线性码),从而可以定义自偶阿贝尔码.群G的所有自同构构成一个群,记为Aut(G).对整数α,记μα:,任意g∈G.易知μ-1∈Aut(G).以下考虑环Zpm上n长阿贝尔码,其中p为素数,m为正整数,且p与n互素.设GR(pm,d)为环Zpm的唯一d次Galois扩张.记O0,O1,…,Os为群G在映射作用下的所有轨道,且di=∣O∣i.有时也用Ox表示G中元素x所在的轨道,即Ox={x,px,p2x,…}.由于O0={0},即d0=1,所以GR(pm,d0)=Zpm.用σ表示G上的自同构μ-1作用在轨道O0,O1,…,Os上导出的集合{0,1,…,s}的置换.关于群环ZpmG的结构有以下结论:定理1(1)环ZpmG和环Zpm×GR(pm,d1)×…×GR(pm,ds)同构.(2)ZpmG中的每个理想I可以表示为I0×I1×…×Is,其中Ij是GR(pm,dj)中所有理想(1),(p),(p2),…,(pm-1),(0)中的某一个.(3)理想I=I0×I1×…×Is的对偶,其中以下给出duadic码的定义.群G的一个劈分(X,A,B)是对G的一个划分,X,A,B均是G的某些轨道的并,满足μ(A)=B,μ(B)=A,其中μ∈Aut(G).一般称这个劈分是由自同构μ给出的一个劈分.特别地,0∈X和μ(X)=X.设τ表示G上的映射x※μx作用在轨道O0,O1,…,Os上导出集合{0,1,…,s}的置换.特别地,当μ=μ-1时,有τ=σ.定义2设(X,A,B)为由μ给出的G的一个劈分,Zpm上的劈分为μ的duadic码定义为ZpmG中满足如下条件的理想I=I0×I1×…×Is:(1)如果Oj⊆A∪B,那么Ij=(pi)当且仅当Iτ(j)=(pm-i);(2)如果Oj⊆X,那么Ij=(pm/2).由定义可知,只有当m为偶数时Zpm上的duadic码才有可能存在.以下定理给出了自偶阿贝尔码和duadic码的关系.定理3设m为偶数,则Zpm上每个自偶阿贝尔码是劈分为μ-1的duadic码.反之,Zpm上劈分为μ-1的duadic码是自偶阿贝尔码.称劈分为(G,,)的duadic码为平凡的duadic码,此时对应的理想称为平凡的自偶阿贝尔码.以下考虑Z4上n长(n为奇数)自偶阿贝尔码的存在性.称满足2γ≡1(modn)的最小的正整数γ为2模n的阶,记为ordn(2).Pless等人给出了Z4上n长(n为奇数)自偶循环码存在的充分必要条件.定理4Z4上n长(n为奇数)自偶循环码存在当且仅当n含如下因子:(1)素数r≡-1(mod8);或者(2)素数r≡1(mod8),且ordr(2)为奇数;或者(3)素数p和q,且ordp(2)=2li,ordq(2)=2lj,l≥1,i为奇数,j为偶数.本文的主要工作是把以上结论推广到Z4上自偶阿贝尔码情形.以下总假设G为n阶(n为奇数)阿贝尔群.引理5(1)如果n=pm,p为奇素数,m为正整数,ordp(2)=s,则ordn(2)=spi,i∈{0,1,…,m-1}.(2)设p和q为两个不同的奇素数,如果ordp(2)=2li,ordq(2)=2lj,l≥1,i为奇数,j为偶数,则对任意正整数i,有-12i(modpq).引理6存在Z4上劈分为μ-1的非平凡duadic码当且仅当存在G的一个轨道Ox满足μ-1(Ox)≠Ox.证明如果存在轨道Ox,μ-1(Ox)≠Ox,构造G的劈分(X,A,B)如下:取A=Ox,B=μ-1(Ox),X=G(A∪B),从而Z4上劈分为μ-1非平凡duadic码存在.反之,假设存在Z4上劈分为μ-1的非平凡duadic码,即存在G的劈分(X,A,B),且A,B非空.不妨设轨道Ox⊆A,则μ-1(Ox)⊆B,故μ-1(Ox)≠Ox.引理7如果存在正整数i使得-1≡2i(modn),则对G的任意轨道Ox,有μ-1(Ox)=Ox.证明设存在正整数i使得-1≡2i(modn),则n∣2i+1.由于对任意a∈G,a的阶o(a)∣n,故o(a)∣2i+1,即(2i+1)a=0.如果a∈Ox,则有μ-1(a)=-a=2ia∈Ox,即μ-1(Ox)=Ox.引理8设G为n阶阿贝尔群,n=pt,p为奇素数,t为正整数.如果ordp(2)为偶数,则对G的任意轨道Ox,有μ-1(Ox)=Ox.如果,则ordn(2)<2la.这与ordn(2)=2la矛盾.从而,即.由引理7知命题成立.引理9设G为n阶阿贝尔群,n=pe11pe22,p1,p2为两个不同的奇素数,e1,e2为正整数.如果ordpi(2)=2liji,ji为奇数,i=1,2,则当且仅当l1=l2时对G的任意轨道Ox有μ-1(Ox)=Ox.证明设对G的任意轨道Ox有μ-1(Ox)=Ox.假设l1<l2,则.由引理5(2)可知,任意正整数i′,有-12i′(modp1p2).取G中两个元素x1,x2,o(xi)=pi,i=1,2.令y=x1+x2∈G,考虑轨道Oy.因为o(y)=p1p2,则由-12i(modp1p2)可知-yOy,这与所设矛盾.故l1≥l2.同理可证l1≤l2,从而l1=l2.以下引理是引理9的直接推广(略去证明过程).引理10设G为n阶阿贝尔群,n=pe11pe22…pses,pi(i=1,…,s)为互不相同的奇素数,s,ei(i=1,…,s)为正整数.如果,l≥1,i=1,…,s,ji均为奇数,则当且仅当l1=l2=…=ls时对G的任意轨道Ox有μ-1(Ox)=Ox.下面证明本文主要结论.定理11设G为n(n为奇数)阶阿贝尔群,μ-1∈Aut(G),则以下三个命题等价:(1)存在Z4上一个n长非平凡的自偶阿贝尔码.(2)存在Z4上一个劈分为μ-1的n长非平凡duadic码.(3)n含如下因子:(i)素数r≡-1(mod8);或者(ii)素数r≡1(mod8),且ordr(2)为奇数;或者(iii)素数p和q,且ordp(2)=2li,ordq(2)=2lj,l≥1,i为奇数,j为偶数.证明由定理3知命题(1)和命题(2)等价.往证命题(2)和命题(3)等价.(3)⇒(2):首先考虑情形(i)和(ii).此时都有ordr(2)为奇数.事实上如果n含有素因子r≡-1(mod8),由数论知识可知2是模r的二次剩余,所以2(r-1)/2≡1(modr).又(r-1)/2为奇数,所以ordr(2)为奇数.由于素数r∣n,由群论的知识可知G中存在一个元素x,x的阶o(x)=r.考虑轨道Ox,则Ox={x,2x,22x,…,2(t-1)x},其中t=ordr(2).由于奇数阶阿贝尔加法群G中任意元素a,-a≠a,如果μ-1(Ox)=Ox,则∣Ox∣为偶数,这与∣Ox∣=t为奇数矛盾.可见μ-1(Ox)≠Ox.由引理6知,存在Z4上一个劈分为μ-1的非平凡duadic码.其次考虑情形(iii).如果n含素因子p,q满足情形(iii),此时由群论知