2021年中考数学压轴难题附答案解析

2021年中考数学压轴题

.已知，AB,AC为圆。的弦，连接CO并延长，交A8于点。，且NAOC=2NC；

(1)如图1,求证：AO=CO；

(2)如图2,取弧BC上一点£连接EB、EC、ED,且NED4=NECA,延长EB至点

F,连接尸£>,若/EOF-N尸=60°,求/BQF的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，若C£>=10,EF=6V7,求AC的长度.

解：(1)如图1,连接40,则/OC4=/Q4C,

ZDOA=ZDCA+ZOAC=2ZC,而ZADC=2ZC,

：.ZADC=ZDOA,

；.4)=AO=CO；

©

图1

(2)设NF=x,则/££>尸=60°+x,

：.ZFED=\80°-x-(60°+x)=120°-2x,

:NEDA=NECA,

:.NEBD=NEDB=^(180°-120+2x)=30°+x,

：.NBDF=ZEDF-NEDB=60°+x-30°-x=30°；

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(3)延长EQ交圆于点G,连接。G、04、AG、BG,作AM_L0£＞于点M,作OALLBG

于点N,

图2

•.,/BEG=/8AG=120°-2x,NAL>G=/E£>8=NE8C=/AGD=30°+x,

：.AG=AD=OG=OA,

...△OGA为等边三角形，

1

则NABG=・〃OG=30°=NBDF,

,:EB=ED,NFED=/GEB,

:AFED空AGEB(.AAS),

：.EG=EF=6\H,

:.NG=NE=3巾,

VZOAD^ZOAG-ZDAG=600-(120°-2x)=2x-60°,AD=AO,

：.ZADO^ZAOD=120°-x,

：.ZNDO=\SO°-Z.ADO-ZADG=\S00-(120°-x)-(30--x)=30°,

1

：・ON=*OD=Z)M=OM=m

・・・OC=OG=\0-2af

在RtZ\NOG中，由勾股定理得：(10-2a)2+i+(3夕)2,

3737

解得：a=l或一(舍去一，此时OC=10-2a<0),

33

；.CM=10-1=9,AM=3近,

则AC=y/CM2+AM2=12.

2.如图，边长为6的正方形ABC。中，E,5分别是AD,AB上的点，AP_LBE,P为垂足.

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(I)如图1,AF=BF,AE=2次，点T是射线尸尸上的一个动点，当△A87为直角三角

形时，求A7的长；

(2)如图2,若AE=AF,连接CP,求证：CPVFP.

DCDC

图1图2

(1)解：在正方形ABCZ)中，可得ND4B=90°.

在Rt^BAE中，tan/ABE=霏=竿=坐，

AZAB£=30°.

点T是射线PF上的一个动点，当AABT为直角三角形时，分三种情况：

①当点7在48的上方，ZATB=90°,

显然此时点T和点P重合，即AT=AP=%B=3；②当点T在AB的下方，/ATB=90°,

如图①所示.

在RtZiAPB中，由

可得：AF=BF=PF=3,

：.ZBPF=ZFBP=30°,

/.ZBFT=60°.

在RtZ\ATB中，TF=BF=AF^?>,

...△FTB是等边三角形，

:.TB=3,AT=>JAB2-BT2=3A/3；

③当点T在AB的下方，ZABT=90°时，如图②所示.

在中，ZBFT=60°,BF=3,BT=BF・tan60°=3^3.

在RtAATB中：AT=^AB2+BT2=3<7.

综上所述：当△ABT为直角三角形时，AT的长为3或3遍或3夕；

(2)证明：如图③所示，

•••四边形A8C。是正方形，

：.AB=AD=BC,AD//BC,ZDAB=90°,

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AZ3=Z4.

•・•在RtZXEAB中，APLBE,

AZ1+Z2=9O°,Z3+Z2=90°,

AZ1=Z3,

AZ1=Z3=Z4,

VtanZl=条，tanZ3=器，

.PBAB

••—,

APAE

9

\AE=AFfAB=BC,

.PBBC

••=~~9

APAF

:.△PBCSXPAF、

Z5=Z