2021年中考数学总复习《圆》解答题45

2021年中考数学总复习《圆》解答题

已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以PG,1）为圆心的OP与x轴，y

轴分别相切于点M和点M点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度

运动，连接PF，过点P作PE_LP/交y轴于点E,设点尸运动的时间是f秒（/>0）.

（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；

（2）在点F运动过程中，设OE=a,OF=b,试用含a的代数式表示6；

（3）作点F关于点M的对称点F',经过和尸三点的抛物线的对称轴交x轴于

点Q,连接QE.在点尸运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、0、E为顶点的

三角形与以点P、M、尸为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出f的值；若不存在，

请说明理由.

【分析】（1）连接PM,PN,运用△PMF丝△「他证明；

（2）分两种情况：①当1>1时，点E在y轴的负半轴上；②当OVfWl时，点E在y

轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解，

（3）分两种情况，当l<f<2时，当f>2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例

式求出时间t.

【解答】证明：（1）如图，连接PM,PN,

•.•0P与x轴，y轴分别相切于点M和点N,

：.PM±MF,PNLON旦PM=PN,

:.NPMF=NPNE=90°且/NPM=90°,

PELPF,

/NPE=NMPF=90°-ZMPE,

在△PM尸和△「可£1中，

，ZNPE=ZMPF

<PN=PM，

ZPNE=ZPMF

：,APMFQ丛PNE(ASA),

：.PE=PF；

(2)解：分两种情况：

①当，＞1时•，点E在y轴的负半轴上，如图1,

:.NE=MF=t,PM=PN=1,

：.h=OF=OM+MF=1+6a=NE-ON=t-1,

:.b-a=l+t-(r-1)=2,

:・b=2+a,

②OV/Wl时，如图2,点E在)，轴的正半轴或原点上,

：.b=OF=OM+MF=1+Z,a=OE=ON-NE=1-t,

，/?+a=1+f+l-t=2,

••/?=2-ct.

综上所述，当，>1时，b=2+a；当0<7Wl时，b=2-a；

(3)存在;

①如图3,当OVfVl时,

VF(1+n0),尸和尸关于点M对称，〃的坐标为(1,0),

：.F'(I-r,0)

•.•经过M、E和F'三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,

：.Q(I-L,0)

2

：.OQ=\-L,

2

由(1)得/\PMFqAPNE

：.NE=MF=t,

：.0E=\-t,

当AOEQsAMPF

.OE=OQ

,*MPMF

.•.上此时无解，

1t

当△OEQs/XM尸P时，

.OE=OQ

"MFF

l-t=l夺

t1'

解得，f=2-&或r=2+&(舍去)；

②如图4,当1<Y2时，

图4

'：F(1+r,0),尸和尸关于点例对称，何的坐标为(1,0),

：.F'(1-r,0)

；经过M、E和F'三点的抛物线的对称轴交x轴于点。，

：.Q(1-L,0)

2

：.OQ^\--Ir,

由(1)得APMFmAPNE

：.NE=MF=t,

：.OE=t-1

当AOEQS/XMPF

.0E=0Q

■'MPMF

.t-l.H1

••----,

1t

解得，尸上HU

4

当△OEQs/XM尸P时，

.OE=OQ

"MFF

t-l=l夺

t-1-，

解得，f=亚，

③如图5,当，＞2时，

：.F'a-1,o）

•.•经过M、E和尸三点的抛物线的对称轴交x轴于点

：.Q（1-L,0）

2

：.OQ=^t-1,

由（1）得APMFmAPNE

：.NE=MF=t,

：.OE=t-1

当AOEQsAMPF

.0E=0Q

"MPMF

••—^―,------,

1t

无解，

当△OEQs^MFP时，

.OE=OQ

"MFMP'

t-1-,

解得，f=2+