2021年中考数学复习讲座10：方案设计型问题

2021年中考数学复习专题讲座十：方案设计型问题

一、中考专题诠释

方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操

作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。

随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越

受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程

所要求的核心内容之一。

二、解题策略和解法精讲

方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图

形拼接等。所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。

这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造

合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。解答此类问题必须具有扎实的基础知识和

灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函

数思想及分类讨论等各种数学思想。

三、中考考点精讲

考点一：设计测量方案问题

这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。所用到的数学知识主要有相似、

全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。

例1（2020河南）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅.如图所示，一条幅从

楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定.小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测

得楼顶A点的仰角为31。，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45。.已

知点C到大厦的距离BC=7米，ZABD=90°.请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整

数.参考数据：tan31°之0.60,sin31°=0.52,cos31°=0.86）.

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

分析：设AB=x米.根据NAEB=45。，NABE=90。得至ljBE=AB=x,然后在RtZ\ABD中得到

x

tan31°---------.求得x=24.然后在RtZXABC中，利用勾股定理求得AC即可.

x+16

解答：解：设AB=x米.

VZAEB=45°,ZABE=90°,

；.BE=AB=x

*人j

在RtaABD中，tanZD=—AB,

BD

即tan31°=--------

x+16

16tan31°16x0.6

..x=

1-tan31°~1-0.6-,

即AB、24米

在RtZ\ABC中，

AC=y)BC2+AB2®々+242=25.

即条幅的长度约为25米.

点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求

解.

考点二：设计搭配方案问题

这类问题不仅在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。它一般给出两

种元素，利用这两种元素搭配出不同的新事物，设计出方案，使获利最大或成本最低。解

题时要根据题中蕴含的不等关系，列出不等式(组)，通过不等式组的整数解来确定方案。

例2(2020内江)某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和

3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造

型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题：

造型花卉甲乙

A8040

B5070

(1)符合题意的搭配方案有几种？

(2)如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说

明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？

考点：一元一次不等式组的应用。

专题：应用题；图表型。

分析：(1)设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型(60-x)个，根据“4200

盆甲种花卉，,“3090盆乙种花卉”列不等式求解，取整数值即可.

(2)计算出每种方案的花费，然后即可判断出答案.

解答：解：(1)设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型(60-x)个，

(80x+50(60-x)<4200

则有,、,，

40x+70(60-x)<3090

解得37<x<40,

所以x=37或38或39或40.

第一方案：A种造型37个，B种造型23个；

第二种方案：A种造型38个，B种造型22个；

第三种方案：A种造型39个，B种造型21个.

第四种方案：A种造型40个，B种造型20个.

(2)分别计算三种方案的成本为：

①37x1000+23x1500=71500元，

②38x1000+22x1500=71000元，

③39x1000+21x1500=70500元，

(4)40x1000+20X1500=70000元.

通过比较可知第④种方案成本最低.

答：选择第四种方案成本最低，最低位70000元.

点评：此题考查了一元一次不等式组的应用，是一道实际问题，有一定的开放性，（1）根

据图表信息，利用所用花卉数量不超过甲、乙两种花卉的最高数量列不等式组解答；（2）为

最优化问题，根据（1）的结果直接计算即可.

考点三：设计销售方案问题

在商品买卖中，更多蕴含着数学的学问。在形形色色的让利、打折、买一赠一、摸奖等

促销活动中，大家不能被表象所迷惑，需要理智的分析。通过计算不同的销售方案盈利情况,

可以帮助我们明白更多的道理。近来还出现运用概率统计知识进行设计的问题。

例5（2020广安）某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，

经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记

本电脑共需80000元.

（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？

（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396,要求购买的总费用

不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几

种购买方案？

（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？

考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。

分析：（1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得等量关

系：①买1块电子白板的钱=买3台笔记本电脑的钱+3000元，②购买4块电子白板的费用

+5台笔记本电脑的费用=80000元，由等量关系可得方程组，解方程组可得答案；

（2）设购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396-a）台，由题意得不等关系：①购买

笔记本电脑的台数W购买电子白板数量的3倍;②电子白板和笔记本电脑总费用M2700000元，

根据不等关系可得不等式组，解不等式组，求出整数解即可；

（3）由于电子白板贵，故少买电子白板，多买电脑，根据（2）中的方案确定买的电脑数与

电子白板数，再算出总费用.

解答：解：（1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得：

'x=3y+3000

4x+5y=80000

解得：尸15000.

ly=4000

答：购买1块电子白板需要15000元，一台笔记本电脑需要4000元.

（2）设购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396-a）台，由题意得：

396-a43a

（150003+4000（396-a）<2700000）

解得：99<a<101A,

11

为正整数，

，a=99,100,101,则电脑依次买：297台，296台,295台.

因此该校有三种购买方案：

方案一：购买笔记本电脑295台，则购买电子白板101块；

方案二：购买笔记本电脑296台，则购买电子白板100块；

方案三：购买笔记本电脑297台，则购买电子白板99块;

（3）解法一：

购买笔记本电脑和电子白板的总费用为：

方案一：295x4000+101x15000=2695000（元）

方案二：296x4000+100x15000=2684（X）0（元）

方案三：297x4000+99x15000=2673000（元）

因此，方案三最省钱，按这种方案共需费用2673000元.

解法二：

设购买笔记本电脑数为z台，购买笔记本电脑和电子白板的总费用为W元，

贝ijW=4000z+15000（396-z）=-11000z+5940000,

：W随z的增大而减小，二当z=297时，W有最小值=2673000（元）

因此，当购买笔记本电脑297台、购买电子白板99块时，最省钱，这时共需费用2673000

元.

点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出

题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组.

考点四：设计图案问题

图形的分割、拼接问题是考查动手操作能力与空间想能力的一类重要问题，在各地的

中考试题中经常出现。这类问题大多具有一定的开放性，要求学生多角度、多层次的探索,

以展示思维的灵活性、发散性、创新性。

例6（2020遵义）在4x4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正

方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有

种.

考点：利用轴对称设计图案.

分析：根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案.

解答：解：如图所不：

故一共有13种做法，

故答案为：13.

点评：此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称

的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案.

四、真题演练

考点：利用平移设计图案.

专题：探究型.

分析：根据平移及旋转的性质对四个选项进行逐一分析即可.

解答：解：A、是利用图形的旋转得到的，故本选项错误；

B、是利用图形的旋转和平移得到的，故本选项错误；

C、是利用图形的平移得到的，故本选项正确；

D、是利用图形的旋转得到的，故本选项错误.

故选C.

点评：本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形经过平移后所得图形与原图形全等是解答

此题的关键.

3.（2020丽水）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影

部分构成中心对称图形.该小正方形的序号是（）

考点：利用旋转设计图案.

分析：通过观察发现，当涂黑②时，所形成的图形关于点A中心对称.

解答：解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中

心对称图形.

故选B.

点评：本题考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，要知道，一个图形绕端点旋转

180。所形成的图形叫中心对称图形.

4.（2020广元）下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对

称来分析整个图案的形成过程的图案有（）

考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案.

分析：根据旋转、轴对称的定义来分析.

图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；

轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称.

解答：解：图形1可以旋转90。得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合;

图形2可以旋转180。得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；

图形3可以旋转180。得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；

图形4可以旋转90。得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合.

故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案

有4个.

故选A.

点评：考查了旋转和轴对称的性质.①旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的

大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；②轴对称图形的对应线段、对应

角相等.

二、填空题

5.（2020杭州）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数.若在此平

面直角坐标系内移动点A,使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标

仍是整数，则移动后点A的坐标为.

考点：利用轴对称设计图案.

分析：根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重

合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把A进行移动可得到点的坐标，注

意考虑全面.

A1(-1,1),A"(-2,-2),C(0,2),D(-2,-3)

故答案为：(-1,1),(-2,-2)),(0,2),(-2,-3).

点评：此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义，根据3个定点

所在位置，找出A的位置.

6.(2020漳州)利用对称性可设计出美丽的图案.在边长为1的方格纸中，有如图所示的

四边形(顶点都在格点上).

(1)先作出该四边形关于直线1成轴对称的图形，再作出你所作的图形连同原四边形绕0

点按顺时针方向旋转90。后的图形；

(2)完成上述设计后，整个图案的面积等于.

考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案.

专题：探究型.

分析：(1)根据图形对称的性质先作出关于直线1的对称图形，再作出所作的图形连同原四

边形绕0点按顺时针方向旋转90。后的图形即可；

(2)先利用割补法求出原图形的面积，由图形旋转及对称的性质可知经过旋转与轴对称所

得图形与原图形全等即可得出结论.

先作出关于直线1的对称图形；

再作出所作的图形连同原四边形绕0点按顺时针方向

旋转90。后的图形.

（2）•.•边长为1的方格纸中一个方格的面积是1,

.•.原图形的面积为5,

...整个图案的面积=4x5=20.

故答案为：20.

点评：本题考查的是利用旋转及轴对称设计图案，熟知经过旋转与轴对称所得图形与原图形

全等是解答此题的关键.

三、解答题

7.（2020山西）实践与操作：如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等

的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形.

（1）请你仿照图1,用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在图3中重新设计一个不同的轴

对称图形.

（2）以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形.

考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案.

分析：（1）利用正方形边长的一半为半径，以边长中点为圆心画半圆，画出两个半圆即可得

出答案；

（2）利用（1）中图象，直接拼凑在一起得出答案即可.

图3

解答：图4解：(1)在图3中设计出符合题目要求的图形.

(2)在图4中画出符合题目要求的图形.

评分说明：此题为开放性试题，答案不唯一，只要符合题目要求即可给分.

点评：此题主要考查了利用轴对称设计图案，仿照已知，利用轴对称图形的定义作出轴对称

图形是解题关键.

9.(2020丹东)南中国海是中国固有领海，我渔政船经常在此海域执勤巡察.一天我渔政

船停在小岛A北偏西37。方向的B处，观察A岛周边海域.据测算，渔政船距A岛的距离

AB长为10海里.此时位于A岛正西方向C处的我渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在

其北偏东50。的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号.渔政船接警后，立即沿BC航

线以每小时30海里的速度前往救助，问渔政船大约需多少分钟能到达渔船所在的C处？(参

考数据：sin37°~0.60,cos37°=0.80,sin50yo.77,cos50yo.64,sin53°~0.80,cos53°~0.60,

sin40°=0.64,cos40°=0.77)

考点：解直角三角形的应用-方向角问题.

分析：首先B点作BD1AC,垂足为D,根据题意，得：/ABD=/BAM=37。，

ZCBD=ZBCN=50°,然后分别在RtaABD与RtZ\CBD中，利用余弦函数求得BD与BC

的长，继而求得答案.

根据题意，得：/ABD=/BAM=37。，ZCBD=ZBCN=50°,

在RtZ\ABD中，

,BD

.cosNABD=-----,

AB

；.cos37°=—=0.80,

10

.,•BD~10x0.8=8（海里）,

在RtACBD中，

cosZCBD=-----,

BC

。8

cos50=-----~0.64,

BC

.,•BC~8-0.64=12.5（海里）,

12.5+30=—（小时），

12

Z.—x60=25（分钟）.

12

答：渔政船约25分钟到达渔船所在的C处.

点评：此题考查了方向角问题.此题难度适中，解题的关键是利用方向角构造直角三角形，

然后解直角三角形，注意数形结合思想的应用.

10.（2020长春）如图，有一个腺衣架放置在水平地面上，在其示意图中，支架OA、OB

的长均为108cm,支架OA与水平晾衣杆OC的夹角ZAOC为59°,求支架两个着地点之间

的距离AB.（结果精确到0.1cm）[参考数据：sin59°=0.86,cos59°=0.52,tan59°=1.66]

考点：解直角三角形的应用.

分析：作ODLAB于点D,在直角三角形OAD中，利用已知角的余弦值和OA的长求得

AD的长即可求得线段AB的长.

解答：A。5解：作ODLAB于点D,

VOA=OB

；.AD=BD

：OC〃AB

ZOAB=59°,

在RtAOD中，AD=OA«cos59°,

AB=2AD=2OA・cos59°=2x108><0.52=l12.3cm.

答：支架两个着地点之间的距离AB约为112.3cm.

点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形并求解

12.（2020河池）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据

统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达

到180辆.

（1）若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小

区到2012年底电动自行车将达到多少辆？

（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分

别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个.考虑到实际因素，计划露天车位的数量不

少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？

试写出所有可能的方案.

考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用。

分析：（1）设年平均增长率是X,根据某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011

年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆，可求出增长率，进而可求出到2012年底家庭电

动车将达到多少辆.

（2）设建x个室内车位，根据投资钱数可表示出露天车位，根据计划露天车位的数量不少

于室内车位的2倍，但不超过室内车位的3倍，可列出不等式组求解，进而可求出方案情况.

解答：解：（1）设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为X,

则125（1+x）2=180,

解得X|=0.2=25%,X2=-2.2（不合题意,舍去）

A180（1+20%）=216（辆），

答：该小区到2012年底家庭电动自行车将达到216辆；

（2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，

则p000a+200b=30000①，

l2a<b<2.5a②

由①得b=150-5a,

代入②得204W坦，

7

是正整数，

，a=20或21,

当a=20时b=50,当a=21时b=45.

方案一：建室内车位20个，露天车位50个；

方案二：室内车位21个，露天车位45个.

点评：本题考查了一元二次方程的应用，关键是先求出增长率，再求出2012年的家庭电

动自行车量，然后根据室内车位和露天车位的数量关系列出不等式组求解.

15.（2020丹东）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动.在一个不透明的箱子里放有

4个完全相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“30元”和“50元”的字样.规定：顾客

在本商场同一日内，消费每满300元，就可以从箱子里先后摸出两个球（每次只摸出一个球,

第一次摸出后不放回）.商场根据两个小球所标金额之和返还相应价格的购物券，可以重新

在本商场消费.某顾客消费刚好满300元，则在本次消费中：

（1）该顾客至少可得元购物券，至多可得元购物券；

（2）请用画树状图或列表法，求出该顾客所获购物券的金额不低于50元的概率.

考点：列表法与树状图法.

分析：（1）根据题意即可求得该顾客至少可得的购物券，至多可得的购物券的金额；

（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券的金

额不低于50元的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

解答：解：（1）根据题意得：该顾客至少可得购物券：0+10=10（元），至多可得购物券：

30+50=80（元）.

故答案为：10,80.

（2）列表得:

0103050

0-(0,10)(0,30)(0,50)

10(10,0)-(10,30)(10,50)

30(30,0)(30,10)-(30,50)

50(50,0)(50,10)(50,30)-

•••两次摸球可能出现的结果共有12种，每种结果出现的可能性相同，而所获购物券的金额

不低于50元的结果共有6种.

该顾客所获购物券的金额不低于50元的概率是：

2

点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意画树状图法与列表法可以不重复不遗

漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完

成的事件；注意此题是不放回实验.

17.（2020铁岭）为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派生活委员小亮到文具店为

获奖同学购买奖品.小亮发现，如果买1个笔记本和3支钢笔，则需要18元；如果买2个

笔记本和5支钢笔，则需要31元.

（1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？

（2）班主任给小亮的班费是100元，需要奖励的同学是24名（每人奖励一件奖品），若购

买的钢笔数不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？

考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。

分析：（1）每个笔记本x元，每支钢笔y元，根据题意列出方程组求解即可；

（2）设购买笔记本m个，则购买钢笔（24-m）个利用总费用不超过100元和钢笔数不少

于笔记本数列出不等式组求得m的取值范围后即可确定方案.

解答：解：（1）设每个笔记本x元，每支钢笔y元

依题意得：0+3厂18

12x+5y=31

（x=3

解得:

Iy=5

答：设每个笔记本3元，每支钢笔5元.

（2）设购买笔记本m个，则购买钢笔（24-m）个

次斯琴俎（3/5（24-m）<100

依题意得：j

10<%24-m

解得：12NmN10

•；m取正整数

Am=10或11或或

.••有三种购买方案：①购买笔记本10个，则购买钢笔14个.

②购买笔记本11个，则购买钢笔13个.

③购买笔记本12个，则购买钢笔12个.

点评：本题考查了一元一次不等式的应用及二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细的

分析题意并找到等量关系列方程或不等关系列不等式.

18.（2020南充）学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小

车.若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元;若租用2辆大车一辆小车共需租车费1100

元.

（1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？

（2）若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案.

考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。

分析：（1）设大车每辆的租车费是x元、小车每辆的租车费是y元.根据题意：“租用1

辆大车2辆小车共需租车费1000元”；“租用2辆大车一辆小车共需租车费1100元”；列出

方程组，求解即可；

（2）根据汽车总数不能小于生鳍（取整为6）辆，即可求出共需租汽车的辆数；设出租

45

用大车m辆，则租车费用Q（单位：元）是m的函数，由题意得出100m+1800W2300,得

出取值范围，分析得出即可.

解答：解：（1）设大车每辆的租车费是x元、小车每辆的租车费是y元.

可得方程组b+2k1°0°,

12x+y=1100

解得产400.

ly=300

答：大车每辆的租车费是400元、小车每辆的租车费是300元.

（2）由每辆汽车上至少要有1名老师，汽车总数不能大于6辆；

由要保证240名师生有车坐，汽车总数不能小于空竺（取整为6）辆，

45

综合起来可知汽车总数为6辆.

设租用m辆甲种客车，则租车费用Q（单位：元）是m的函数，

QPQ=400m+300（6-m）；

化简为：Q=100m+1800,

依题意有：100m+1800W2300,

m<5,

又要保证240名师生有车坐，m不小于4,

所以有两种租车方案，

方案一：4辆大车，2辆小车；

方案二：5辆大车，1辆小车.

随m增加而增加，

当m=4时，Q最少为2200元.

故最省钱的租车方案是：4辆大车，2辆小车.

点评：本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用和理解题意的能力，关

键是根据题目所提供的等量关系和不等量关系，列出方程组和不等式求解.

19.(2020朝阳)为支持抗震救灾，我市A、B两地分别有赈灾物资100吨和180吨，需全

部运往重灾区C、D两县，根据灾区的情况，这批赈灾物资运往C县的数量比运往D县的

数量的2倍少80吨.

(1)求这批赈灾物资运往C、D两县的数量各是多少吨？

(2)设A地运往C县的赈灾物资数量为x吨(x为整数).若要B地运往C县的赈灾物资

数量大于A地运往D县赈灾物资数量的2倍，且要求B地运往D县的赈灾物资数量不超过

63吨，则A、B两地的赈灾物资运往C、D两县的方案有几种？

考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。

专题：调配问题。

分析：(1)设运往C县的物资是a吨，D县的物资是b吨，然后根据运往两地的物资总

量列出一个方程，再根据运往C、D两县的数量关系列出一个方程，然后联立组成方程组求

解即可；

(2)根据A地运往C县的赈灾物资数量为x吨，表示出B地运往C县的物资是(160-x)

吨，A地运往D县的物资是(100-x)吨，B地运往D县的物资是120-(100-x)=(20+x)

吨，然后根据“B地运往C县的赈灾物资数量大于A地运往D县赈灾物资数量的2倍”列出

一个不等式，根据“B地运往D县的赈灾物资数量不超过63吨”列出一个不等式，组成不等

式组并求解，再根据x为整数即可得解.

解答：解：(1)设运往C县的物资是a吨，D县的物资是b吨，

根据题意得，上心:100+180,

Ia=2b-80

解得[a=160,

lb=120

答：这批赈灾物资运往C、D两县的数量各是160吨，120吨；

(2)设A地运往C县的赈灾物资数量为x吨，则B地运往C县的物资是(160-x)吨，

A地运往D县的物资是(100-x)吨，B地运往D县的物资是120-(100-x)=(20+x)

吨，

俎坍麻酉俎fl60-x>2(100・x)①

根据题息得，i,

[20+x<63②

解不等式①得，x>40,

解不等式②得，x<43,

所以，不等式组的解集是40Vx*3,

：x是整数，

；.x取41、42、43,

...方案共有3种，分别为：

方案一：A地运往C县的赈灾物资数量为41吨，则B地运往C县的物资是119吨，

A地运往D县的物资是59吨，B地运往D县的物资是61吨；

方案二：A地运往C县的赈灾物资数量为42吨，则B地运往C县的物资是118吨，

A地运往D县的物资是58吨，B地运往D县的物资是62吨；

方案三：A地运往C县的赈灾物资数量为43吨，则B地运往C县的物资是117吨，

A地运往D县的物资是57吨，B地运往D县的物资是63吨.

点评：本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，找出题目中的数量

关系是解题的关键，（2）难点在于根据A地运往C县的赈灾物资数量为x吨，表示出运往

其他县的物资是解题的关键.

20.（2020北海）某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6：5.

（1）求出该班男生与女生的人数；

（2）学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人；②女生人

数超过男生人数2人以上.请问男、女生人数有几种选择方案？

考点：一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用。

分析：（1）设男生有6x人，则女生有5x人，根据男女生的人数的和是55人，即可列方

程求解；

（2）设选出男生y人，则选出的女生为（20-y）人，根据：①男生人数不少于7人；②女

生人数超过男生人数2人以上，即可列出不等式组，从而求得y的范围，再根据y是整数，

即可求得y的整数值，从而确定方案.

解答：解：（1）设男生有6x人，则女生有5x人.（1分）

依题意得：6x+5x=55（2分）

x=5

6x=30,5x=25（3分）

答：该班男生有30人，女生有25人.（4分）

（2）设选出男生y人，则选出的女生为（20-y）人.（5分）

由题意得/（6分）

ly>7

解之得：7WyV9

，y的整数解为：7、8.（7分）

当y=7时，20-y=13

当y=8时,20-y=12

答：有两种方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生8人，女生12人.（8

分）

点评：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读

懂题列出不等式关系式即可求解.

21.（2020温州）温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运

往A,B,C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍,各地的运费如图所示.设

安排x件产品运往A地.

（1）当n=200时，①根据信息填表：

A地B地C地合计

产品件数（件）x2x200

运费（元）30x

②若运往B地的件数不多于运往C地的件数,总运费不超过4000元,则有哪几种运输方案?

（2）若总运费为5800元,求n的最小值.

考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。

专题：应用题。

分析：（1）①运往B地的产品件数=总件数n-运往A地的产品件数-运往B地的产品

件数；运费=相应件数x一件产品的运费；

②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元列出不等式组，求得

整数解的个数即可；

（2）总运费=A产品的运费+B产品的运费+C产品的运费，进而根据函数的增减性及（1）

中②得到的x的取值求得n的最小值即可.

解答：解：（1）①根据信息填表

A地B地C地合计

产品件数（件）200-3x

运费1600-24x50x56x+1600

②由题意，得产-3X<2X,

ll600+56x<4000

解得40<x<42.§,

7

为整数，

.•.x=40或41或42,

有三种方案，分别是（i）A地40件，B地80件，C地80件；

（ii）A地41件，B地77件，C地82件；

（iii）A地42件，B地74件，C地84件；

（2）由题意，得30x+8（n-3x）+50x=5800,

整理,得n=725-7x.

n-3x>0,

Ax<72.5,

又•..xN。，

.•.0WXW72.5且x为整数.

：n随x的增大而减少，

...当x=72时,n有最小值为221.

点评：考查一次函数的应用；得到总运费的关系式是解决本题的关键；注意结合自变量的

取值得到n的最小值.

23.（2020深圳）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8

万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如表所示：

价格进价售价

（元/台）（元/台）

种类

电视机50005500

洗衣机20002160

空调24002700

（1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量

不超过电视机的数量的3倍.请问商场有哪几种进货方案？

（2）在“2012年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金每购1000

元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动.在（1）的条件下，若三种电器在活动期间

全部售出，商家预估最多送出多少张？

考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。

分析：（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40-2x）台，根据空调的数

量不超过电视机的数量的3倍，且x以及40-2x都是非负整数，即可确定x的范围，从而

确定进货方案；

（2）三种电器在活动期间全部售出的金额，可以表示成x的函数，根据函数的性质，即可

确定y的最大值，从而确定所要送出的消费券的最大数目.

解答：解：（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40-2x）台，

40-2x43x

根据题意“^°2x>0

5000x+2000x+2400（40-2x）<118000

解得：8<x<10,

根据x是整数，则从8到10共有3个正整数，分别是8、9、10,因而有3种方案：

方案一：电视机8台、洗衣机8台、空调24台；

方案二：电视机9台、洗衣机9台、空调22台；

方案三：电视机10台、洗衣机10台、空调20台.

（2）三种电器在活动期间全部售出的金额y=5500x+2160x+2700（40-2x）,

即y=2260x+108000.

由一次函数性质可知：当x最大时，y的值最大.

x的最大值是10,则y的最大值是:2260x10+108000=130600元.

由现金每购1000元送50元家电消费券一张，可知130600元的销售总额最多送出130张消

费券.

点评：本题考查了不等式组的应用以及一次函数的应用，正确确定x的条件是解题的关

键.

24.(2020黔西南州)某工厂计划生产A,B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表:

A种产品B种产品

成本(万元/件)25

利润(万元/件)13

(1)若工厂计划获利14万元，问A,B两种产品应分别生产多少件？

(2)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案?

(3)在(2)的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润.

考点：一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用。

分析：(I)设生产A种产品x件，则生产B种产品有10-x件，根据计划获利14万元,

即两种产品共获利14万元，即可列方程求解；

(2)根据计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，这两个不等关系即可列出不

等式组，求得x的范围，再根据x是非负整数，确定x的值，x的值的个数就是方案的个数;

(3)由己知可得，B产品生产越多，获利越大，因而B取最大值时，获利最大，据此即可

求解.

解答：解：(1)设生产A种产品x件，则生产B种产品10-x件，于是有

x+3(10-x)=14,

解得：x=8,

则10-x=10-8=2(件)

所以应生产A种产品8件，B种产品2件；

(2)设应生产A种产品x件，则生产B种产品有10-x件，由题意有：

f2x+5(10-x)<44a.、°

，解得：2Wx<8；

x+3(10-x)>14

所以可以采用的方案有：(后2,，A=3,(A=4,(A=5,(A=6,[A=7共$种方案;

1B=81B=61B=51B=41B=3

(3)由已知可得，B产品生产越多，获利越大，所以当[人=2时可获得最大利润，其最大利

|B=8

润为2x1+8x3=26万元.

点评：本题考查理解题意的能力，关键从表格种获得成本价和利润，然后根据利润这个等

量关系列方程，根据第二问中的利润和成本做为不等量关系列不等式组分别求出解，然后求

出哪种方案获利最大从而求出来.

25.(2020攀枝花)煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用

煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划.某煤矿现有1000吨煤炭要全部运往A、

B两厂，通过了解获得A、B两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/t・km”表示：每吨煤炭

运送一千米所需的费用）：

厂别运费（元/t・km）路程（km）需求量（t）

A0.45200不超过600

Ba（a为常数）150不超过800

（1）写出总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的

取值范围；

（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费

（可用含a的代数式表示）

考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。

分析：（1）根据总费用=运往A厂的费用+运往B厂的费用.经化简后可得出y与x的函

数关系式，

（2）根据图表中给出的判定吨数的条件，算出自变量的取值范围，然后根据函数的性质来

算出所求的方案.

解答：解：（1）若运往A厂x吨，则运往B厂为（1000-x）吨.

依题意得：y=200x0.45x+150xax（1000-x）

=90x-150ax+150000a,

=(90-150a)x+150000a.

卜《600

依题意得:

11000-x<800

解得：200<x<600.

，函数关系式为y=(90-150a)x+150000a,(200<X<600).

（2）当0VaV0.6时,90-150a>0,

当x=200时，y城小=（90-150a）x200+150000a=120000a+18000.

此时，1000-x=1000-200=800.

当a>0.6时，90-150a<0,又因为运往A厂总吨数不超过600吨，

.•.当x=600时，丫即卜=（90-150a）x600+150000a=60000a+54000.

此时，1000-x=1000-600=400.

答：当0<a<0.6时，运往A厂200吨，B厂800吨时，总运费最低，最低运费120000a+18000

元.

当a>0.6时，运往A厂600吨，B厂400吨时，总运费最低，最低运费60000a+54000.

点评：本题考查了利用一次函数的有关知识解答实际应用题，一次函数是常用的解答实际

问题的数学模型，是中考的常见题型，同学们应重点掌握.

26.（2020凉山州）某商场计划购进冰箱、彩电进行销售.相关信息如下表：

进价（元/台）售价（元/台）

冰箱a2500

彩电a-4002000

（I）若商场用80000元购进冰箱的数量与用64000元购进彩电的数量相等，求表中a的值.

（2）为了满足市场需要求，商场决定用不超过9万元采购冰箱、彩电共50台，且冰箱的数

量不少于彩电数量的3

6

①该商场有哪几种进货方式？

②若该商场将购进的冰箱、彩电全部售出，获得的最大利润为w元，请用所学的函数知识

求出w的值.

考点：一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用。

专题：应用题；图表型。

分析：（1）分别表示冰箱和彩电的购进数量，根据相等关系列方程求解；

（2）设购买彩电x台，则购进冰箱（50-x）台.

①根据题意列表达式组求解；

②用含x的代数式表示利润W,根据x的取值范围和一次函数的性质求解.

解答：解：（1）根据题意得80000^,64000

aa-400

解得a=2000.经检验a=2000是原方程的根；

（2）设购买彩电x台，则购进冰箱（50-x）台.

①根据题意得，6、

a（50-x）+（a-400）x<90000

解得：25SxW刎，

11

故有三种进货方式：

1）购买彩电25台，则购进冰箱25台；

2）购买彩电26台，则购进冰箱24台；

3）购买彩电27台，则购进冰箱23台.

②一个冰箱的利润为：500元，一个彩电的利润为400元，

故w=400x+500（50-x）=-100x+25000,

w为关于x的一次函数，且为减函数，

而25金是更，x取整数，

11

故当x=25时,获得的利润最大,最大为22500元.

点评：此题考查了一次函数的应用、分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题

的关键是求出a的值，利用函数及不等式的知识进行解答.

27.（2020佳木斯）国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议

决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区.现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两

地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资.已知这两种货车的载重量分

别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：

运往地甲地（元/辆）乙地（元/辆）

车型

大货车720800

小货车500650

（1）求这两种货车各用多少辆？

（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往

甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车

调配方案，并求出最少总运费.

考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用。

分析：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据大、小两种货车共18辆，运输228

吨物资，列方程组求解；

（2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为（8-a）辆，前往甲地的小货车

为（9-a）辆，前往乙地的小货车为［10-（9-a）］辆，根据表格所给运费，求出w与a的

函数关系式；

（3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方

案.

解答：解：（1）解法一、设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得

卜……（2分）

ll6x+10y=228

解得［

ly=10

答：大货车用8辆，小货车用10辆.…（1分）

解法二、设大货车用x辆，则小货车用（18-x）辆，根据题意得

16x+10（18-x）=228…（2分）

解得x=8

A18-x=18-8=10（辆）

答：大货车用8辆，小货车用10辆；…（1分）

（2）w=720a+800（8-a）+500（9-a）+650（10-（9-a）］...（2分）

=70a+11550,

.,.w=70a+11550（03三8且为整数）…（1分）

（3）16a+10（9-a）>120,

解得aN5,…（1分）

XV0<a<8,

•••5WaW8且为整数，...（1分）

V