2021年中考数学22 正方形

专题22正方形

专题常识回顾

1.正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2.正方形的性质：

（1）具有平行四边形、矩形、菱形的统统性质：

（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；

（3）正方形的两条对角线相等，并且彼此垂直平分，每一条对角线平分一组对角；

（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴；

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全

等的小等腰直角三角形；

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的间隔相等。

3.正方形的判断

判断一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形

先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。

4.正方形的面积：设正方形边长为a,对角线长为b,S正方彩=“2=±

2

专题典型题考法及解析

【例题1】（2021湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个

正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知NA=90。，BD=4,CF=6,则正方形ADOF的边长是

（）

B

E

A.V2B.2C.V3D.4

【例题2】（2021•四川省凉山州）如图，正方形ABC。的对角线AC、80订交于点O,E是OC上一

点，毗邻EB.过点A作垂足为M,AM与8。订交于点F.求证:OE=OF.

专题典型练习题

一、挑选题

1.（2021内蒙古包头）如图，在正方形A8C。中，AB=\,点E,F分别在边BC和CO上，AE=AF,

2.（2021湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形O4BC绕点。顺

时针旋转45。后得到正方形045G,依此方式，绕点。接连旋转2021次得到正方形

)

c.（一冬一冬D.(0,-1)

3.（2021•四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为

(A)-(B)-(C)-(D)-

6354

4.（2021•贵州省铜仁市）如图，正方形A8CQ中，AB=6,E为A8的中点，将△4£>£沿。E翻折得到

△FDE,耽误EF交于G,FHLBC,垂足为凡毗邻8F、DG.以下结论：①BF〃&）;®/\DFG

^△OCG；⑨XFHBsXEAD：④tan/GEB=&；⑤SABFG=2.6；其中对的个数是（）

3

5.（2021黑龙江省绥化）如图，在正方形4BCD中，E、尸是对角线AC上的两个动点，P是正方

形四边上的随意率性一点，且AB=4,EF=2,设A£=x.当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点

个数的说法中，必然对的是（）

①当尤=0（即E、A两点重合）时，P点有6个

②当0<x<4y[2-2时，P点最多有9个

③当P点有8个时，x=20-2

④当是等边三角形时，尸点有4个

A.①③B.①④C.②④D.②③

二、填空题

6.（2021湖南邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图''.如图,

设勾。=6,弦c=10,则小正方形ABC。的面积是.

7.（2021湖南张家界）如图：正方形ABCQ的边长为1,点E,F分别为BC,CQ边的中点,

毗邻AE,BF交于点P,毗邻PD贝han/APZ）=

8.（2021•湖北省随州市）如图，已知正方形ABC。的边长为a,E为8边上一点（不与端点重合），

将△4OE沿AE对折至△AFE,耽误EF交边BC于点G,毗邻4G,CF.给出下列判断:

------\D

①/EAG=45。；

②若。E=3,则AG〃CF；

③若E为CD的中点，则4GFC的面积为

④若b=FG,则。a；

⑤BG・DE+AF・GE=aL

其中对的是.（写出所有正确判断的序号）

9.（2021福建）如图，边长为2的正方形ABCD中间与半径为2的的圆心重合，E、F分别为AD.

8A的耽误与。。的交点，则图中阴影部分的面积是.（成果保留无）

10.（2021•四川省凉山州）如图，正方形ABCQ中，AB=\2,AE=^AB,点尸在BC上运动（不与B、

4

C重合），过点尸作PQLEP,交CD于点、Q,则CQ的最大值为.

11.（2021•广东广州）如图，正方形A8CZ）的边长为a,点E在边AB上运动（不与点A,B重合），

ZDAM=45°,点F在射线AM上，且CF与A。订交于点G,毗邻EC,EF,EG,则下

列结论：

①NEC/=45。；②AAEG的周长为（1+返）a；

2

③BE2+£>G2=EG2；④的面积的最大值LA

8

其中对的结论是.（填写所有正确结论的序号）

12.（2021•广西贺州）如图，正方形ABC。的边长为4,点E是8的中点，AF平分NBAE交BC于

点F,将△AOE绕点A顺时针旋转90。得△ABG,则CF的长为

D

GBC

13.（2021•山东青岛）如图，在正方形纸片A8C。中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落

在线段AE上的点G处，折痕为AF.若AD=4cm,则CF的长为,

14.（2021江苏镇江）将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使

得点。落在对角线C尸上，EF与订交于点“，则”力=.（成果保留根号）

第10题图

15.（2021辽宁抚顺）如图，在2x6的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，网格中小正

方形的极点叫格点，点A,B.C在格点上，毗邻BC,则tan/ABC=.

三、解答题

16.（2021湖南湘西州）如图，在正方形ABCD中，点、E,尸分别在边CD,上，且AF

=CE.

（1）求证：ZiABF丝△C8E；

（2）若AB=4,AF=1,求四边形下的面积.

17.(2021海南)如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点(与点

A,D不重合)，射线PE与BC的耽误线交于点Q.

(1)求证:Z\PDE丝Z\QCE;

⑵过点E作EF〃BC交PB于点F,毗邻AF,当PB=P(^^①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断

四边形AFEP是否为菱形，并说明来由.

18.(2021湖南株洲)如图所示，已知正方形OEFG的极点。为正方形ABC。对角线AC、80的交

点，毗邻CE、DG.

(1)求证：△DOG94COE；

(2)若DG±BD,正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG订交于点M,AM=求正方形

2

OEFG的边长.

19.(2021•湖北省仙桃市)如图，E,尸分别为正方形A8CZ)的边CB,0c耽误线上的点，且BE=

CF,过点E作EG〃BF,交正方形外角的平分线CG于点G,毗邻GF.求证:

(1)AE±BF；

(2)四边形BEGF是平行四边形.

20.（2021•山东泰安）如图，四边形A8C/）是正方形，△£人?是等腰直角三角形，点E在AB上，且

NCEF=90。,FGLAD,垂足为点C.

（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；

（2）若点，为C尸的中点，GH与DH垂直吗？若垂直,给出证明；若不垂直，说明来由.

21.（2021湖北襄阳）