多元问题的最值问题 高三数学选择填空难题突破

多元问题的最值问题高三数学选择填空难题突破多元函数的最值问题是指在多个约束条件下，求解某一个问题的最大和最小值。该问题中有多个未知数，解题方法多种多样，包括导数法、消元法、基本不等式法、换元法、数形结合法、向量法等。解决这个问题需要灵活多变的数学思想和方法。解题的策略可以分为三种类型。类型一是导数法。例如，对于不等式$x-2y\leqc(x-y)$，其中$x>y$，求实数$c$的最大值。答案是$2-2\sqrt{2}$。类似地，对于已知函数$f(x)$，其定义域为$R$，有$f(x)=-x+ax+1(x\leq8\ln(x+1)+1)$，若$x_2-x_1$的最小值大于5，则$a$的范围为$(-\infty,-4)$。类型二是消元法。例如，对于方程$e^{2x-y}(y-x)-ae^{2y-x}=0$，当对于任意实数$x$都存在实数$y$与之对应时，实数$a$的取值范围为$(-\infty,-1/3)$。类型三是基本不等式法。例如，对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，若对任意$x\inR$，不等式$f(x)\geqf'(x)$恒成立，则$a+c\leq2$。需要注意，题目中变量较多时，可以将一些变量看成整体，从而将问题转化为一元函数的值域来讨论。1.在$\DeltaABC$中，$a,b,c$分别为$\angleA,\angleB,\angleC$所对的边，若函数$f(x)=\frac{1}{3\pi}\left(x+bx^2+a^2+c^2-acx+1\right)$有极值点，则$\sin\left(2B\right)-\frac{1}{3}$的最小值是（）。【答案】D【解析】由于$f(x)$有极值点，所以$f'(x)=0$有解。计算可得：$$f'(x)=\frac{2bx-ac}{3\pi}$$所以极值点$x_0=\frac{ac}{2b}$。此时$$f(x_0)=\frac{1}{3\pi}\left(\frac{ac}{2b}+a^2+c^2-\frac{a^2c^2}{4b^2}+1\right)$$$$=\frac{4b^2+12b^2a^2+12a^2b^4+3a^4b^2+3c^4b^2+4a^2c^2b^2-a^4c^2}{12\pib^2}$$$$=\frac{(3b^2+a^2+c^2)^2-a^4-c^4}{12\pib^2}$$根据余弦定理可得$$\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$$$$\cos2B=2\cos^2B-1=\frac{a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2}{4a^2c^2}$$$$=\frac{(a^2+c^2-b^2)^2-4a^2c^2}{4a^2c^2}$$所以$$\sin\left(2B\right)-\frac{1}{3}=\sqrt{1-\cos^2\left(2B\right)}-\frac{1}{3}=\frac{2a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}{6a^2c^2}$$$$=\frac{4b^2+12b^2a^2+12a^2b^4+3a^4b^2+3c^4b^2+4a^2c^2b^2-a^4c^2}{12\pia^2c^2}-\frac{1}{3}$$$$=\frac{(3b^2+a^2+c^2)^2-a^4-c^4}{12\pia^2c^2}-\frac{1}{3}=f(x_0)-\frac{1}{3}$$由于$f(x)$有极值点，所以$f(x)$在定义域内单调递增或单调递减。由于$f(x)$是一个关于$x$的二次函数，所以$f(x)$在$x_0$左侧单调递减，在$x_0$右侧单调递增。因此，当$x_0$是极小值点时，$\sin\left(2B\right)-\frac{1}{3}$最小；当$x_0$是极大值点时，$\sin\left(2B\right)-\frac{1}{3}$最大。所以要求$f(x)$的极小值点。由于$f(x)$是一个关于$x$的二次函数，所以当$a,b,c$固定时，$f(x)$的极小值点$x_0$可以通过求导得到。计算可得：$$x_0=\frac{ac}{2b}$$代入$f(x)$可得$$f(x_0)=\frac{(3b^2+a^2+c^2)^2-a^4-c^4}{12\pib^2}$$所以$\sin\left(2B\right)-\frac{1}{3}$的最小值是$$f(x_0)-\frac{1}{3}=\frac{(3b^2+a^2+c^2)^2-a^4-c^4}{12\pib^2}-\frac{1}{3}$$选项D正确。2.已知函数$f(x)=e^{2x-3}+\lnx$，$g(x)=2x-3$，若$f(m)=g(n)$成立，则$n-m$的最小值是（）。【答案】D【解析】由题意可得$$e^{2m-3}+\lnm=2n-3$$$$\lnn=\lnm+2$$将第一个式子化为$e^{2m-3}+\lnm-2n+3=0$，记$h(m)=e^{2m-3}+\lnm-2n+3$，则题目要求$h(m)=0$的最小正数解$m-n$。$h(m)$是一个关于$m$的连续可导函数，所以$h(m)=0$的最小正数解$m_0$可以通过牛顿迭代法得到。迭代公式为$$m_{k+1}=m_k-\frac{h(m_k)}{h'(m_k)}$$计算可得$$h'(m)=2e^{2m-3}+\frac{1}{m}$$$$h''(m)=4e^{2m-3}-\frac{1}{m^2}$$由于$h(m)$在$m=n$处有一个零点，所以$h(n)=0,h'(n)=0$。代入迭代公式可得$$m_{k+1}=m_k-\frac{h(m_k)}{h'(n)}=m_k-\frac{e^{2m_k-3}+\lnm_k-2n+3}{2e^{2n-3}+\frac{1}{n}}$$取$m_0=n+1$，则迭代得到的结果如下表所示。|$k$|$m_k$||---|---||0|$n+1$||1|$n+\frac{1}{2}$||2|$n+\frac{1}{3}$||3|$n+\frac{1}{4}$||4|$n+\frac{1}{5}$||5|$n+\frac{1}{6}$||6|$n+\frac{1}{7}$||7|$n+\frac{1}{8}$||8|$n+\frac{1}{9}$|可见，$m_0=n+1$时，迭代得到的结果$m_k$单调递减，且$\lim\limits_{k\to\infty}m_k=n$。因此，$n-m$的最小值是$$n-m=\lim_{k\to\infty}(m_k-n)=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{k+1}=\boxed{0}$$选项D正确。3.已知$x_1$是函数$f(x)=x+1-\ln(x+2)$的零点，$x_2$是函数$g(x)=x^2-2ax+4a+4$的零点，且满足$|x_1-x_2|\leq1$，则实数$a$的最小值是（）。【答案】D【解析】首先求出函数$f(x)$的零点$x_1$。由于$f(x)$是一个关于$x$的连续可导函数，所以$x_1$可以通过牛顿迭代法得到。迭代公式为$$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$$计算可得$$f'(x)=\frac{1}{x+2}-1$$由于$f(x)$在$x_1$处为零，所以$f(x_1)=0$，代入迭代公式可得$$x_{k+1}=x_k-\frac{x_k+1-\ln(x_k+2)}{\frac{1}{x_k+2}-1}=\frac{1}{2}\left(x_k+1+\ln(x_k+2)\right)$$取$x_0=0$，则迭代得到的结果如下表所示。|$k$|$x_k$||---|---||0|0||1|0.5||2|0.791759||3|0.918938||4|0.965666||5|0.984218||6|0.992047||7|0.995995||8|0.997993||9|0.998996|可见，$x_0=0$时，迭代得到的结果$x_k$单调递增，且$\lim\limits_{k\to\infty}x_k=1$。因此，$x_1\in(0,1)$。由于$g(x)$是一个关于$x$的二次函数，所以$g(x)$的零点$x_2$可以通过求解一元二次方程$g(x)=0$得到。计算可得$$x_2=a+\sqrt{a^2-4a-4}$$由于$|x_1-x_2|\leq1$，所以$x_2$的取值范围是$x_1-1\leqx_2\leqx_1+1$。代入$x_2=a+\sqrt{a^2-4a-4}$可得$$a+\sqrt{a^2-4a-4}\leqx_1+1$$$$a-\sqrt{a^2-4a-4}\geqx_1-1$$联立以上两个不等式可得$$\sqrt{a^2-4a-4}\leqx_1+1-a$$$$\sqrt{a^2-4a-4}\leqa-x_1+1$$由于$a^2-4a-4=(a-2)^2-8\geq-8$，所以$\sqrt{a^2-4a-4}\geq-2$。因此，$a-x_1+1\geq-2$，$x_1+1-a\geq-2$。联立以上两个不等式可得$$a\geqx_1-1$$$$a\geq3-x_1$$由于$x_1\in(0,1)$，所以$3-x_1>2$。因此，$a$的最小值是$3-x_1$。代入$x_1=0.998996$可得$a\geq2.001004$。因此，$a$的最小值是$\boxed{2.001004}$。4.若曲线$C_1:y=x^2$与曲线$C_2:y=a\mathrm{e}^x(a>0)$存在公共切线，则$a$的取值范围为（）。【答案】D【解析】曲线$C_1$的切线方程为$y=2x_0(x-x_0)+{x_0}^2$，其中$x_0$为切点的横坐标。曲线$C_2$的切线方程为$y=a\mathrm{e}^{x_0}(x-x_0)+a\mathrm{e}^{x_0}$，其中$x_0$为切点的横坐标。由于$C_1$的切线方程$y=2x_0(x已知函数$f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq1\\\log_2{x},&x>1\end{cases}$，且$f(f(x))=\begin{cases}x,&x\leq1\\\log_2(\log_2{x}),&x>1\end{cases}$。令$g(y)=\log(\log{x}),x>1$，则$g(y)=\frac{2a^2y^2+ay}{4a^2y^2-11}$，其中$a>0$。求$a$的最小值。已知函数$f(x)=e^x$，$g(x)=\ln(x+1)$，对于任意$a\in\mathbb{R}$，存在$b\in(0,+\infty)$，使得$f(a)=g(b)$。求$b-a$的最小值。已知函数$f(x)=\begin{cases}\ln{x}-1,&1<x\leq2\\1,&x>2\end{cases}$，求实数$m$的取值范围，使得不等式$f(x)\leq5-mx$恒成立。已知函数$f(x)=x+bx+c(b,c\in\mathbb{R})$，对于任意$x\in\mathbb{R}$，恒有$f(x)\leqf(x)$。若对于满足上述条件的任意$b,c$，不等式$f(c)-f(b)\leqM(c-b)$恒成立，求$M$的最小值。2.改写后的文章：已知函数$f(x)$如下，求$a$的最小值：$$f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq1\\\log_2{x},&x>1\end{cases}$$且$f(f(x))$如下：$$f(f(x))=\begin{cases}x,&x\leq1\\\log_2(\log_2{x}),&x>1\end{cases}$$令$g(y)=\log(\log{x}),x>1$，则$g(y)=\frac{2a^2y^2+ay}{4a^2y^2-11}$，其中$a>0$。已知函数$f(x)$和$g(x)$如下，求$b-a$的最小值：$$f(x)=e^x,g(x)=\ln(x+1)$$对于任意$a\in\mathbb{R}$，存在$b\in(0,+\infty)$，使得$f(a)=g(b)$。已知函数$f(x)$如下，求实数$m$的取值范围，使得不等式$f(x)\leq5-mx$恒成立：$$f(x)=\begin{cases}\ln{x}-1,&1<x\leq2\\1,&x>2\end{cases}$$已知函数$f(x)=x+bx+c(b,c\in\mathbb{R})$，对于任意$x\in\mathbb{R}$，恒有$f(x)\leqf(x)$。若对于满足上述条件的任意$b,c$，不等式$f(c)-f(b)\leqM(c-b)$恒成立，求$M$的最小值。已知函数$f(x)=ax^3+x^2-ax(a\inR,且a\neq0)$，若$f(x)\leq0$恒成立，则$a$的取值范围是多少？【解析】首先考虑$f(x)$的零点，即解方程$ax^3+x^2-ax=0$，得$x=0$或$x=\pm\sqrt{\frac{1-a}{a}}$.当$a>0$时，$f(x)$在$x=0$左侧单调递减，在$x=0$右侧单调递增，因此$f(x)\leq0$恒成立的条件是$f(0)\leq0$，即$a\geq0$.当$a<0$时，$f(x)$在$x=-\sqrt{\frac{1-a}{a}}$左侧单调递减，在$x=-\sqrt{\frac{1-a}{a}}$右侧单调递增，在$x=0$左侧单调递增，在$x=0$右侧单调递减，在$x=\sqrt{\frac{1-a}{a}}$左侧单调递减，在$x=\sqrt{\frac{1-a}{a}}$右侧单调递增，因此$f(x)\leq0$恒成立的条件是$f(-\sqrt{\frac{1-a}{a}})\leq0$和$f(\sqrt{\frac{1-a}{a}})\leq0$，即$-a\geq\sqrt{1-a}$且$a\leq-\sqrt{1-a}$，解得$-\frac{1}{2}\leqa\leq0$.综上所述，$a$的取值范围为$[-\frac{1}{2},\infty)$（或$a\geq0$）.已知函数$f(x)=e^{-e^x}+3x+x^3$，定义函数$g(x)=f(x)+f'(x)$，其中$x\in[-1,b]$（$b>-1$）。要使$g(x)$在$x=-1$处取得最小值，需要满足$b\in(-\infty,-1)\cup(17/117,+\infty)$。因此，实数$b$的最大值为$17/117$。已知函数$f(x)=e^{-e^x}+3x+x^3$，求$a\in(-1,1)$时，使得$f(2a-1)+f(b-1)=\frac{2a^2b^2+1}{a+1b}$的最小值。首先，将$f(x)$求导得$f'(x)=-e^{-e^x}e^x+3+3x^2$。因此，$g(x)=f(x)+f'(x)=e^{-e^x}+3x+x^3-e^{-e^x}e^x+3+3x^2$。将$f(2a-1)+f(b-1)=\frac{2a^2b^2+1}{a+1b}$代入$g(x)$中，得到$g(x)=\frac{2a^2b^2+1}{a+1b}+3x+x^3-\left(e^{-e^{2a-1}}e^{2a-1}+e^{-e^{b-1}}e^{b-1}\right)+3+3x^2$。要使$g(x)$在$a\in(-1,1)$时取得最小值，需要满足$b=\frac{a^2+1}{a+1}$。将$b$代入$g(x)$中，得到$g(x)=\frac{2a^2(a^2+1)^2+1}{(a+1)^3}+3x+x^3-\left(e^{-e^{2a-1}}e^{2a-1}+e^{-e^{a^2}}e^{a^2}\right)+3+3x^2$。对$g(x)$求导，得到$g'(x)=3x^2+3+\left(1-e^{-e^{2a-1}}e^{2a-1}\right)e^{2a-1}+\left(1-e^{-e^{a^2}}e^{a^2}\right)e^{b-1}$。令$g'(x)=0$，解得$x=\pm\sqrt{-1-\frac{1-e^{-e^{2a-1}}e^{2a-1}}{3}}$。由于$x\in[-1,b]$，因此需要满足$x=-\sqrt{-1-\frac{1-e^{-e^{2a-1}}e^{2a-1}}{3}}$。将$x$代入$g(x)$中，得到$g(x)=\frac{2a^2(a^2+1)^2+1}{(a+1)^3}+3\left(-\sqrt