四川省遂宁市拦江中学高三数学文联考试题含解析

四川省遂宁市拦江中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(

) A．或﹣1 B．2或 C．2或1 D．2或﹣1参考答案：D考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．2.已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（

）A．（1，2）

B．

C．

D．参考答案：A3.已知i是虚数单位，若复数z满足z=，则z的共轭复数为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】先利用复数的乘除运算法则求出z，由此能求出z的共轭复数．【解答】解：∵i是虚数单位，复数z满足z====﹣，∴z的共轭复数=．故选：C．【点评】本题考查复数的共轭复数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用．4.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于

A．

B． C．

D．参考答案：D5.设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝(

)

A．{0}

B．{0,1}

C．{－1,1}

D．{－1,0,1}参考答案：B6.已知，为虚数单位，且，则的值为

（

）

A.2

B.

C.

D.参考答案：D由得，所以，选D.7.若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx－2在x＝1处有极值，则ab的最大值是A．2

B．3

C．6

D．9参考答案：D8.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为(

)A.6 B.8 C. D.参考答案：B【分析】根据三视图画出四棱锥的直观图，然后再结合四棱锥的特征并根据体积公式求出其体积即可．【详解】由三视图可得四棱锥为如图所示的长方体中的四棱锥，其中在长方体中，，点分别为的中点．由题意得，所以可得，又，所以平面即线段即为四棱锥的高．所以.故选B．9.已知函数f（x）是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，且当x＞0时，f（x）单调递增，则关于x的不等式f（x﹣1）＞f（a）的解集为（）A． B．C． D．随a的值而变化参考答案：C【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】具有奇偶性的函数定义域关于原点对称可求得a值，由偶函数性质知，f（x﹣1）＞f（a）可化为f（|x﹣1|）＞f（），根据f（x）的单调性可得|x﹣1|＞，再考虑到定义域即可解出不等式．【解答】解：因为f（x）是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，所以（a﹣1）+2a=0，解得a=．则f（x）定义域为[﹣，]．由偶函数性质知，f（x﹣1）＞f（a）可化为f（|x﹣1|）＞f（），又x＞0时，f（x）单调递增，所以|x﹣1|＞①，又﹣≤x﹣1②，联立①②解得x＜或＜x≤，故不等式f（x﹣1）＞f（a）的解集为[，）∪（，]．故选C．10.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，△是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A△的外接圆的半径，点到面的距离,为球的直径点到面的距离为,此棱锥的体积为二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.则关于x的不等式：的解集是_______________.

参考答案：略12.命题“?x∈R，ex＞x”的否定是

．参考答案：?x∈R，ex≤x考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：本题要求出命题的否定，由于命题是一个特称命题，故其否定是不念旧恶全称命题，特称命题的否定的书写格式书写即可解答： 解：∵p：“?x∈R，ex＞x∴￢p：?x∈R，ex≤x故答案为?x∈R，ex≤x点评：本题考点是命题的否定，考查命题否定的定义及命题否定的书写格式，属于基本题，在书写命题的否定时要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的书写形式是全称命题，解答此类题时要正确书写．13.已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的焦距为

．参考答案：2或2．【分析】根据题意，由等比数列的性质可得m2=4×9=36，解可得m的值，分2种情况讨论：当m=6时，圆锥曲线的方程为+y2=1，为椭圆，当m=﹣6时，圆锥曲线的方程为y2﹣=1，为双曲线，由椭圆和双曲线的几何性质分析可得c的值，进而由焦距的定义可得答案．【解答】解：根据题意，实数4，m，9构成一个等比数列，则有m2=4×9=36，则m=±6，当m=6时，圆锥曲线的方程为+y2=1，为椭圆，其中a=，b=1，则c==，则其焦距2c=2，当m=﹣6时，圆锥曲线的方程为y2﹣=1，为双曲线，其中a=1，b=，则c==，则其焦距2c=2，综合可得：圆锥曲线+y2=1的焦距为2或2；故答案为：2或2．14.双曲线的一条渐近线方程为，则

.参考答案：

15.已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为，则a的值为________．参考答案：或16.已知函数，则的值是

.参考答案：略17.已知半径为R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R=______.参考答案：【分析】根据题意，得出AB＝BC＝CA＝R，利用其周长得到正三角形ABC的外接圆半径r，故可以得到高，设D是BC的中点，在△OBC中，又可以得到角以及边与R的关系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R．【详解】∵球面上三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB，∴AB＝BC＝CA＝R，设球心为O，因为正三角形ABC的外径r＝2，故高ADr＝3，D是BC的中点．在△OBC中，BO＝CO＝R，∠BOC，所以BC＝BO＝R，BDBCR．在Rt△ABD中，AB＝BC＝R，所以由AB2＝BD2+AD2，得R2R2+9，所以R＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了球的基本概念及性质应用，考查了空间想象能力，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修选修4-1,几何证明选讲如图，AB为圆O的切线，A为切点，C为线段AB的中点，过C作圆O的割线CED（E在C，D之间）求证：CBE=BED。参考答案：19.在△ABC中，．（1）若，求的最大值；（2）若，，，D为垂足，求BD的值．参考答案：解：（1），∵，∴，∴，∴当时，有最大值．（2）由余弦定理可知，故，又∵，∴．

20.如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？参考答案：【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】（1）设BC=x，求出AB，得出侧面积S关于x的函数，利用基本不等式得出S的最大值；（2）用x表示出圆柱的底面半径，得出体积V（x）关于x的函数，判断V（x）的单调性，得出V（x）的最大值．【解答】解：（1）连接OC，设BC=x，则AB=2，（其中0＜x＜30），∴S=2x=2≤x2+=900，当且仅当x2=900﹣x2，即x=15时，S取最大值900；∴取BC=15cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2．（2）设圆柱底面半径为r，高为x，则AB=2=2πr，解得r=，∴V=πr2h=，（其中0＜x＜30）；∴V′=，令V′（x）=0，得x=10；因此V（x）=在（0，10）上是增函数，在（10，30）上是减函数；∴当x=10时，V（x）取得最大值V（10）=，∴取BC=10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm3．21.（12分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足、、成等比数列，过F作双曲线C在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P．（1）求证：；（2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围．

参考答案：解析：（1）法一：l：，解得，．∵、、成等比数列，∴，∴，，，，，∴，．∴法二：同上得，．∴PA⊥x轴．．∴．（2）∴．即，∵，∴，即，．∴，即．22.在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠APB=90°,点M是线段AB上的点,且PM⊥CD,AB=BC=2PB=2AD=4BM. (1)证明:平面PAB⊥平面ABCD; (2)求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值. 参考答案：(1)由AB=2PB=4BM,∠APB=90°,得PM⊥AB, 又PM⊥CD,且AB与CD相交,所以PM⊥平面ABCD, 又PM?平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD. (2)解法一由(1)及AD∥BC,∠ABC=90°可知,DA⊥平面PAB,延长BA与CD交于点H,连接PH,作AN⊥PH于点N,连接ND,则平面PAB与平面PCD的夹角是∠AND. 设BM=1,则AB=4,PB=2,AD=2,PM=,易知△HAN∽△HPM,故AN=,DN=, 所以sin∠AND=, 故平面PAB与平面PCD夹角的正弦值是. 解法二 如图建立空间直角坐标系,易知平面PAB的一个法向量为n=(1,0,0), 设BM=,则P(0,0,t),C(2t,,0),D(t,-t,0), 因此=(2t,,-t),=(-t,-2t,0). 设平面PCD的法向量为m=(x,y,z), 则由m·=0,m·=0,得x+2y=0,4x+y-z=0,即m=(2,-,7)为平面PCD的一个法向量,所以cos<m,n>=, 故平面PAB与平面PCD夹角的正弦值是. 本题以四棱锥为载体,主要考查空间面面位置关系的证明及二面角的求解等,意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.第(1)问比较简单,由PM⊥AB,PM⊥CD,得到PM⊥平面ABCD,从而得到平面PAB⊥平面ABCD;第(2)问既可以用传统法“作、证、算”来解决,也可以用空间向量法解决. 【