四川省宜宾市南溪第二中学高三数学文上学期摸底试题含解析

四川省宜宾市南溪第二中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.以下四个命题中，真命题的个数为

【

】①集合的真子集的个数为；②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角；③设，若，则且；④设无穷数列的前项和为，若是等差数列，则一定是常数列．A．

B．

C．

D．

参考答案：B①正确。②错误。③当时，满足，但且，所以错误。④错误。若为等差数列，设，n=1时，，时，，所以若，则为常数列。若,则不是常数列，它从第2项开始为常数，但第1项不等于第2项。选B.2.已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（

）A.(－1,1) B.[0,1] C.[0,1) D.参考答案：C【分析】先对函数求导，用导数方法判断函数的单调性，再结合题意，列出不等式组，即可求出结果.【详解】因为（），所以，由得，所以，当时，，即单调递增；当时，，即单调递减；又函数在区间上不是单调函数，所以有，解得.故选C【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数在给定区间的单调性求参数的问题，通常需要对函数求导，用导数方法研究函数单调性即可，属于常考题型.3.已知向量满足与的夹角为，若对一切实数,恒成立，则的取值范围是(

)。A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】向量模的计算公式;数量积运算;恒成立问题的等价转化.【答案解析】C解析：解：因为与的夹角为，所以，把原式平方整理可得：恒成立，所以，即，即，故选C.【思路点拨】由已知,利用模的计算公式两边平方转化为关于的一元二次不等式，由于对一切实数原式恒成立，由解之即可．4.参考答案：A略5.抛物线的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最小值是(

)A. B. C. D.2参考答案：C解析：因，故，由基本不等式可得即，应选答案C。6.从一批产品中取出三件，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A．A与C互斥 B．B与C互斥C．任两个均互斥 D．任两个均不互斥参考答案：B【考点】互斥事件与对立事件．【专题】阅读型．【分析】事件C包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，即不全是次品，把事件C同另外的两个事件进行比较，看清两个事件能否同时发生，得到结果．【解答】解：由题意知事件C包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，∴事件C中不包含B事件，事件C和事件B不能同时发生，∴B与C互斥，故选B．【点评】本题考查互斥事件和对立事件，是一个概念辨析问题，注意这种问题一般需要写出事件所包含的所有的结果，把几个事件进行比较，得到结论．7.已知，则=（

）A．1

B．

C．-1

D．参考答案：D8.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的a=2，则输入的a，b可能是（

）A．15,18

B．14,18

C．12,18

D．9,18参考答案：B9.已知函数，其中为自然对数的底数，若关于的方程，有且只有一个实数解，则实数的取值范围为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B【知识点】函数与方程B9若a=0则方程f（f（x））=0有无数个实根，不满足条件,若a≠0，若f（f（x））=0，则f（x）=1，∵x＞0时，f（）=1，关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，

故当x≤0时，a?ex=1无解，即ex=在x≤0时无解，故＜0或＞1，故a∈（-∞，0）∪（0，1），【思路点拨】若a=0则方程f（f（x））=0有无数个实根，不满足条件，若a≠0，若f（f（x））=0，可得当x≤0时，a?ex=1无解，进而得到实数a的取值范围．10.已知分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知单位向量的夹角为60°，则=__________.

参考答案：略12.函数的零点为

.参考答案：113.已知等差数列{an}的公差为2，且a1，a2，a4成等比数列，则a1=；数列{an}的前n项和Sn=

．参考答案：2；n2+n

【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意可得a1，a1+2，a1+6成等比数列，通过解方程求得a1的值．然后求和．【解答】解：∵数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，∴a1，a1+2，a1+6成等比数列，∴（a1+2）2=a1（a1+6），解得a1=2，数列{an}的前n项和Sn=2n+=n2+n．故答案为：2；n2+n．14.已知平面直角坐标系中两点、，O为原点，有.设、、是平面曲线上任意三点，则的最大值为________参考答案：20.【分析】将圆方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径长，由题意得，转化为圆内接四边形中正方形的面积最大，即可得出的最大值.【详解】将圆的方程化为标准方程得，圆心坐标为，半径长为，，由于圆内接四边形中，正方形的面积最大，所以，当四边形为正方形时，取最大值，此时正方形的边长为，所以，，故答案为：.【点睛】本题考查圆的几何性质，考查圆内接四边形面积的最值问题，解题时要充分利用题中代数式的几何意义，利用数形结合思想进行转化，另外了解圆内接四边形中正方形的面积最大这一结论的应用.15.将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星．如图所示的正六角星的中心为点O，其中x，y分别为点O到两个顶点的向量．若将点O到正六角星12个顶点的向量都写成ax+by的形式，则a+b的最大值为．参考答案：5【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出求a+b的最大值时﹐只需考虑图中6个顶点的向量即可，分别求出即得结论．【解答】解：欲求a+b的最大值﹐只需考虑右图中6个顶点的向量即可，讨论如下﹔（1）∵═﹐∴（a，b）=（1，0）；（2）∵，所以（a，b）=（3，1）；（3）∵，所以（a，b）=（2，1）；（4）∵，所以（a，b）=（3，2）；（5）∵，所以（a，b）=（1，1）；（6）∵，所以（a，b）=（0，1）；因此﹐a+b的最大值为3+2=5﹒故答案为：5﹒16.观察下列等式:照此规律,第n个等式可为_

_参考答案：17.抛物线上的点到焦点的距离为2，则

．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图,椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2,椭圆C上一点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F2的直线l交椭圆C于A,B两点,问在x轴上是否存在定点P,使得为定值？证明你的结论.参考答案：（Ⅰ）由题设得,又,解得,∴.故椭圆的方程为.（4分）（Ⅱ）,当直线的斜率存在时,设此时直线的方程为,设,,把代入椭圆的方程,消去并整理得,,则,,可得.设点,那么,若轴上存在定点,使得为定值,则有,解得,此时,,当直线的斜率不存在时,此时直线的方程为,把代入椭圆方程解得,此时,,,,综上,在轴上存在定点,使得为定值.（12分）19.在△ABC中，，，△ABC的面积等于，且．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求的值．参考答案：（Ⅰ）1；（Ⅱ）.【分析】（I）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组，解方程组求得的值.（II）利用正弦定理求得的的值，利用二倍角公式求得的值.【详解】解：（Ⅰ）由已知得整理得解得或因为，所以．（Ⅱ）由正弦定理，即．所以【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理解三角形，考查二倍角公式，属于中档题.20.已知函数f（x）=ax+lnx+（Ⅰ）若a≥0或a≤﹣1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x）至多一个零点．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出函数的对数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出函数的单调性，从而求出函数的零点个数即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，①a≥0时，ax+a+1＞0，则当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．②a≤﹣1时，ax+a+1＜0，则当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．（Ⅱ）对于函数f（x）：﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=1或﹣，﹣1＜a＜﹣时，0＜﹣＜1，故当x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（﹣，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．a=﹣时，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上递减．﹣＜a＜0时，﹣＞1，故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．

故有①设a≥0，f（x）≥f（1）=2a+1＞0，f（x）无零点，②设a≤﹣1，f（x）≤f（1）=2a+1＜0，f（x）无零点，③设a=﹣，f（x）单调递减，至多一个零点，④设﹣1＜a＜﹣，则当x∈（0，﹣）时，f（x）单调递减；当x∈（﹣，+∞）时，f（x）≤f（1）=2a+1＜0，因此f（x）至多一个零点，⑤设﹣＜a＜0，则当x∈（﹣，+∞），f（x）单调递减；当x∈（0，﹣）时，f（x）≥f（1）=2a+1＞0，因此f（x）至多一个零点，综上，f（x）至多一个零点．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．21.已知六面体EFABCD如图所示，BE⊥平面ABCD，，，，，，，M，N分别是棱FD，ED上的点，且满足.（1）求证：平面BFN∥平面MAC；（2）若平面MAC与平面ECD所成的二面角的大小为，求.参考答案：(1)见证明；(2)【分析】解法一：（1）连接，设，根据相似三角形以及等分线段性质，即可证明，连接，证明是平行四边形，得到，由两平面平行判定定理即可得到平面平面。解法二：（1）由题意可得，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，分别与平面中两个相交向量相乘等于0，即可证明平面平面；（2）由（1）可得平面的法向量，再求出平面的法向量，进而求得平面与平面所成的二面角的余弦值，由此求出。【详解】解：（1）证法一：连接，设，连接，，因为，所以，所以，在中，因为，所以，且平面，故平面，在中，因为，所以，且，所以，因为，所以，所以是平行四边形，所以，且平面，所以平面，因为，所以平面平面.证法二：因为，，，，，所以，因为，平面，所以平面，所以，，取所在直线为轴，取所在直线为轴，取所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得，，，，所以，因为，所以，所以点的坐标为，同理可求点的坐标为，所以，，设为平面的法向量，则，令，解得，，所以，因为，，所以，且，所以平面平面（2）为平面的法向量.，可求平面的一个法向量为所以，所以