第三章控制系统的时间响应分析

第三章控制系统的时间响应分析第1页，课件共62页，创作于2023年2月3.1时域分析的提法

3.1.1时域分析的基本思想

3.1.2系统的时域响应

时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信息。

当系统受外加作用所引起的输出（即x(t)）随时间的变化规律，我们称其为系统的“时域响应”。

系统的时域响应由两部分组成：瞬态响应和稳态响应。（这是从稳定性角度分析）。第2页，课件共62页，创作于2023年2月3.1时域分析的提法注意!

瞬态响应是指在输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到达到一个新的稳定状态的响应过程（亦称为动态响应），又称过渡过程。

稳态响应是指当时间t趋于无穷大时系统的输出响应，它反映了系统的精度。第3页，课件共62页，创作于2023年2月3.1时域分析的提法

系统产生瞬态响应的原因是，由于系统包含一些储能元件，所以当输入信号作用于系统时，输出量不能立即跟随输入信号而变化。而是在系统达到稳态响应之前逐渐趋近于稳态响应的变化过程。

值得指出的是，通常人们只讨论稳定系统的时域响应，而且往往通过在典型输入信号作用下系统输出的运动状况对系统的运动性能进行分析。

第4页，课件共62页，创作于2023年2月3.2时间响应及其组成

（从外作用力与系统本身固有特性对微分方程的解的影响分析）。（讲解）第5页，课件共62页，创作于2023年2月

3.3典型输入信号

在分析和设计控制系统时，我们需要有一个对各种控制系统性能进行分析的基础。这种基础可以这样来实现：预先规定一些特殊的试验输入信号（我们称之为典型输入信号），然后比较各种系统对这些输入信号的响应。(输入分为确定性信号和非确定性信号)。许多控制系统的设计准则是建立在这些信号的基础上。因为系统对典型输入信号的响应特性与系统对实际输入信号的响应特性之间存在一定的关系，所以采用典型输入信号来评价系统性能是合理的。选择典型输入信号的原则是：

常用的典型输入信号有下面几种：

1)反映最恶劣的工作情况；

2)反映实际的工作情况；

3)在数学上和实验中比较容易得到。第6页，课件共62页，创作于2023年2月

3.3典型输入信号

1．脉冲函数

脉冲函数的定义为

（3.3.1）其中，A为脉冲函数的阶跃值，A=1的阶跃函数称为单位阶跃函数，是狄拉克－函数，它的定义为

（3.3.2）

第7页，课件共62页，创作于2023年2月

3.3典型输入信号

工程中常常用实际脉冲近似地表示理想脉冲。如图3.1所示，实际的单位脉冲的数学关系为

（3.3.3）

第8页，课件共62页，创作于2023年2月

其中,显然，当时，实际脉冲的极限即为理想脉冲。r(t)

t

图3.1

实际单位脉冲函数

3.3典型输入信号第9页，课件共62页，创作于2023年2月

单位脉冲函数的拉氏变换为1，即

L2．阶跃函数

阶跃函数的定义为

（3.3.4）其中，A为阶跃函数的阶跃值（见图3.2）。A＝1的阶跃函数为单位阶跃函数，记为1(t)，其一次微分为

图3.2

阶跃函数

3.3典型输入信号第10页，课件共62页，创作于2023年2月

3.3典型输入信号

单位阶跃函数的拉氏变换为3．斜坡函数（或速度阶跃函数）

斜坡函数的定义为

（3.3.5）

其中，B为速度阶跃值（见图3.3）。B＝1的斜坡函数为单位斜坡函数，其一次微分为单位阶跃函数。图3.3

斜坡函数第11页，课件共62页，创作于2023年2月

3.3典型输入信号

单位斜坡函数的拉氏变换为4．抛物线函数（或加速度阶跃函数）抛物线函数的定义为

（3.3.6）

其中，C为加速度阶跃值（见图3.4），C＝1的抛物线函数为单位抛物线函数，其一次微分为单位斜坡函数。

图3.4

抛物线函数第12页，课件共62页，创作于2023年2月

3.3典型输入信号

单位抛物线函数的拉氏变换为5．正弦函数正弦函数的定义为

（3.3.7）

其中，A为正弦函数的阶跃值；Ｗ为频率（见图3.5）。

A＝1的正弦函数为单位正弦函数。

图3.5

正弦函数第13页，课件共62页，创作于2023年2月

3.3典型输入信号

单位正弦函数的拉氏变换为

通常，我们用单位阶跃函数作为典型输入信号，则可以在一个统一的基础上对各种系统的特性进行比较和研究。第14页，课件共62页，创作于2023年2月

3.4

控制系统瞬态性能分析

对于任何一个控制系统，如果其数学模型及初始条件、外界输入给定，我们总可以通过求出其时域响应表达式来对其瞬态响应特性和稳态响应特性进行分析。粗略地说，在控制系统的全部响应过程里，系统的瞬态性能表现在过渡过程完结之前的响应中。系统性能的分析，又以准确的定量方式来描述而被称为系统的性能指标。在系统分析中，无论是本章介绍的时域分析法，还是后面各章的其它系统分析方法，都是紧密地围绕系统的性能指标来分析控制系统的。需要指出的是，只有稳定系统，对于其瞬态特性和稳态特性的研究才是有意义的。

本节将讨论控制系统的瞬能性能分析。第15页，课件共62页，创作于2023年2月

3.4

控制系统瞬态性能分析

3.4.1

瞬态性能指标瞬态响应指的是一个控制系统在过渡过程中的状态和输出的行为。

所谓过渡过程，是指系统在外力的作用下从一个稳态转移到另一个稳态的过程。

在控制系统中，把阶跃信号当作对系统性能考验最为严重的输入信号。若系统对该类输入信号的响应良好，则该系统对其它信号的响应一般也是良好的。为了定量地说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用一些瞬态性能指标。

第16页，课件共62页，创作于2023年2月

3.4

控制系统瞬态性能分析

一个稳定的线性定常连续系统对单位阶跃函数的响应通常有衰减振荡和单调变化两种类型。具有衰减振荡的瞬态过程如图3.6所示。

p

tr0.5

y(t)td

tp01

tst稳态误差图3.6

具有衰减振荡的单位阶跃响应第17页，课件共62页，创作于2023年2月0tσ超调量允许误差±Δ10.90.50.1trtptstdy(t)0.02或0.05

3.4

控制系统瞬态性能分析第18页，课件共62页，创作于2023年2月延迟时间td（DelayTime）：响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。上升时间tr（RisingTime）:响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间(对于无振荡系统)。对于振荡系统，也可定义为由零开始，首次达到稳态值所需的时间。上升时间越短，响应速度越快。峰值时间tp（PeakTime）：响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。

3.4

控制系统瞬态性能分析调节时间ts（SettlingTime）：响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%）作为误差范围。第19页，课件共62页，创作于2023年2月超调量Mp或σ%（MaximumOvershoot）:超出稳态值（为1）的最大偏离量Mp

稳态误差ess:

期望值与实际值之差。

3.4

控制系统瞬态性能分析第20页，课件共62页，创作于2023年2月

或评价系统的响应速度；同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标，从整体上反映系统的快速性。直接反映了系统的相对稳定性。

稳定性能指标和抗干扰能力。越小，系统精度越。ess

3.4

控制系统瞬态性能分析第21页，课件共62页，创作于2023年2月3.4.2一阶系统瞬态性能分析

3.4

控制系统瞬态性能分析一阶系统的数学模型

控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。如RC电路:

R

i(t)

C传递函数:方框图：微分方程:R(s)C(s)E(s)(-)1/Ts第22页，课件共62页，创作于2023年2月

3.4

控制系统瞬态性能分析一般地，将微分方程为,传递函数为的系统叫做一阶系统。T的含义随系统的不同而不同。它在S平面上的极点分布为如图所示。

j

0P=-1/TS平面(a)零极点分布第23页，课件共62页，创作于2023年2月

3.4

控制系统瞬态性能分析一阶系统的单位阶跃响应输入r(t)=1(t)，

y(t)0.6320.8650.950.982初始斜率为1/T

h(t)=1-e-t/T0

tT2T3T4T1(b)单位阶跃响应曲线第24页，课件共62页，创作于2023年2月

3.4

控制系统瞬态性能分析第25页，课件共62页，创作于2023年2月

根据响应曲线，我们可以得到一阶系统可以实现的瞬态性能指标以及定量描述。首先分析快速性。描述系统的快速性使用的是时间指标。因为一阶系统的运动是单调的，只考虑调节时间ts即可。一阶系统只有一个系统参数T，即系统时间常数。当以时间常数T为参变量来考查系统的运动时，由图，可以得到下列结论：

另外，我们还可以根据时间常数T去度量系统输出的数值。例如t=T时，，而当t分别等于2T、3T、4T时，

数值将分别达到稳态值的86.5％，95％和98％。根据这一特点，可以用实验方法测定一阶系统的时间常数，或者判定所测系统是否属于一阶系统。

3.4

控制系统瞬态性能分析第26页，课件共62页，创作于2023年2月

其次分析平稳性。

平稳性的指标为超调量δ％。因为一阶系统是没有超调量的，因此认为其平稳性是好的。

最后来看准确性。

由于时间趋于无穷大时，输出响应可以趋于稳态值。虽然在理论是永远达不到的，但是在给定了允许误差范围后，即认为过了调节时间ts之后，系统就进入了稳态，所以一阶系统的准确性也是可以满足的。

3.4

控制系统瞬态性能分析第27页，课件共62页，创作于2023年2月t0.135/T0.018/TT2T3T4T初始斜率为0.368/T0.05/T0g(t)(c)单位脉冲响应曲线特点：

1)可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；

2)初始斜率为-1/T2；

3)无超调；稳态误差ess=0。

3.4

控制系统瞬态性能分析一阶系统的单位脉冲响应

输入r(t)=

(t)，第28页，课件共62页，创作于2023年2月

3.4

控制系统瞬态性能分析一阶系统的单位脉冲响应

第29页，课件共62页，创作于2023年2月

3.4

控制系统瞬态性能分析一阶系统的单位斜坡响应

输入r(t)=t

第30页，课件共62页，创作于2023年2月

3.4

控制系统瞬态性能分析一阶系统的单位斜坡响应

特点1、一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线。稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数T，即存在跟踪误差，其数值与时间T相等。2、稳态误差ess=T，初始斜率=0，稳态输出斜率=1.第31页，课件共62页，创作于2023年2月

3.4

控制系统瞬态性能分析一阶系统的单位加速度响应

跟踪误差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T)随时间推移而增长，直至无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。第32页，课件共62页，创作于2023年2月结论：一阶系统的典型响应与时间常数T密切相关。只要时间常数T小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数。线性系统对输入信号导数的响应，等于系统对输入信号响应的导数。

3.4

控制系统瞬态性能分析第33页，课件共62页，创作于2023年2月

3.4

控制系统瞬态性能分析闭环传递函数输入信号时域输出响应ess

01(t)

0t

T无穷大

1)系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数；2)系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分。第34页，课件共62页，创作于2023年2月

解:

(1)

与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s例

某一阶系统如图,（1）求调节时间ts,（2）若要求

(2)

要求ts=0.1s，即3T=0.1s,即

,得

0.1C(s)R(s)E(s)100/s(-)ts=0.1s,求反馈系数Kh.解题关键：化闭环传递函数为标准形式。Kh第35页，课件共62页，创作于2023年2月3.4.3二阶系统瞬态性能分析

3.4

控制系统瞬态性能分析

二阶系统的研究具有重要意义，它不仅在工程实际中比较常见，而且许多高阶系统在一定的条件下也可以近似为二阶系统。二阶系统的单位阶跃响应有振荡和非振荡两种情况，可以满足不同系统的要求。此外，工程上还采用所谓二阶系统的最佳工程参数作为设计系统的依据。第36页，课件共62页，创作于2023年2月•整理得传递函数

在第二章，已得微分方程：•取拉氏变换，有

标准形式3.4.3.1二阶系统的数学模型控制系统的运动方程为二阶微分方程，称为二阶系统。

3.4

控制系统瞬态性能分析第37页，课件共62页，创作于2023年2月•故得方框图

R(s)C(s)(-)•其中：ωn—自然频率；ζ—阻尼比。•又因为

标准形式

3.4

控制系统瞬态性能分析第38页，课件共62页，创作于2023年2月图二阶系统极点分布左半平面ξ>00<ξ<1ξ=1两个相等根jωnξ=0ωd=ωnσjωnβξ=0

jω右半平面ξ<0ξ>1两个不等根0特征方程：特征根从而解得两个特征根（即闭环极点）为：

3.4

控制系统瞬态性能分析第39页，课件共62页，创作于2023年2月随着阻尼比取值的不同，二阶系统的特征根也不相同。

1、欠阻尼（0＜＜1）当0＜＜1时，两个特征根为是一对共轭复根，如图a所示.2、临界阻尼（）当时，特征方程有两个相同的负实根，即此时的如图b所示.

3.4

控制系统瞬态性能分析第40页，课件共62页，创作于2023年2月

3、过阻尼（）当时，两个特征根为是两个不同的负实根，如图c所示。4、无阻尼（）当时，特征方程具有一对共轭纯虚根，如图d所示，这是欠阻尼的特殊情况。

3.4

控制系统瞬态性能分析第41页，课件共62页，创作于2023年2月

(a)0＜＜1(b)=1(c)＞1(d)=0

3.4

控制系统瞬态性能分析s1s2s1s2s1s2s2s1第42页，课件共62页，创作于2023年2月•其根决定了系统的响应形式。

其输出的拉氏变换为单位阶跃函数作用下，二阶系统的响应称为单位阶跃响应。二阶系统特征方程3.4.3.2二阶系统的单位阶跃响应

3.4

控制系统瞬态性能分析闭环极点：第43页，课件共62页，创作于2023年2月(a)闭环极点分布

j

11223345

05(b)单位阶跃响应曲线1.21.01.61.40.80.60.40.2c(t)161824681012140t21354•进一步的描述如下图：

3.4

控制系统瞬态性能分析第44页，课件共62页，创作于2023年2月1.欠阻尼二阶系统(即0<ζ<1时)

•系统有一对共轭复根：=•

阶跃响应为•其中

=cos

0

s1

ωn-

n

s2

j

j

d

3.4

控制系统瞬态性能分析第45页，课件共62页，创作于2023年2月

欠阻尼二阶系统的单位阶响应由稳态和瞬态两部分组成：

3.4

控制系统瞬态性能分析其中，称为有阻尼振荡频率。

稳态部分等于1，表明不存在稳态误差；•

瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由

n(即σ，特征根实部）决定；•

振荡角频率为阻尼振荡角频率

d（特征根虚部），其值由阻尼比ζ和自然振荡角频率

n决定。衰减速度取决于值的大小，而衰减振荡的周期为:第46页，课件共62页，创作于2023年2月

3.4

控制系统瞬态性能分析

在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。

第47页，课件共62页，创作于2023年2月

•系统有两个相同的负实根：s1,2=-

n

阶跃响应:

2.

临界阻尼二阶系统（即ζ=1时）

•系统单位阶跃响应是无超调、无振荡单调上升的，不存在稳态误差。

3.4

控制系统瞬态性能分析第48页，课件共62页，创作于2023年2月•此时系统有两个纯虚根：s1,2=±j

n

•

阶跃响应：c(t)=1-cos

nt•

系统单位阶跃响应为一条不衰减的等幅余弦振荡曲线。振荡频率为

n。•此时系统有两个不相等负实根

3.

无阻尼二阶系统（即ζ=0时）4.

过阻尼二阶系统（即ζ>1时）•系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差。•阶跃响应：

3.4

控制系统瞬态性能分析第49页，课件共62页，创作于2023年2月0123456789101112

nt

c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：

=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0

3.4

控制系统瞬态性能分析第50页，课件共62页，创作于2023年2月

上图中画出了对应于不同阻尼比的一簇曲线。应当指出，在图中，横坐标不是时间t，而是相对时间，因而曲线只是的函数。这样取标度是为了更好地反映对系统输出响应的影响。可以看出，阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短，振荡程度越加严重，

1)当＝0时出现等幅不衰减振荡;

2)当时，动态过程具有单调上升的特性;

3)在欠阻尼（0＜＜1)系统中，对应于＝0.4～0.8的动态过程，不仅具有比＝1时更短的调节时间，而且振荡程度也不严重。

3.4

控制系统瞬态性能分析因此，在一般情况下，希望二阶系统工作在＝0.4～0.8的欠阻尼状态。因为在这种状态下系统将有一个振荡特性适度、持续时间较短的瞬态过程。而对于有些不允许瞬态过程出现超调的情况（例如指示仪表系统和记录仪表系统），则需要采用临界阻尼系统或过阻尼系统。第51页，课件共62页，创作于2023年2月

阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。1.动态性能指标计算

上升时间tr

单位阶跃响应

•即

•得

•此时

3.5

欠阻尼二阶系统的动态性能指标对于不允许产生振荡的控制系统，应工作在过阻尼状态，它的瞬态响应指标类似一阶系统，可参考之。对于大多控制系统通常允许有适度的振荡特性，因此系统经常工作在欠阻尼状态。下面是二阶系统在欠阻尼状态时的瞬态响应指标。第52页，课件共62页，创作于2023年2月

•由

单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。

峰值时间tp

•由

•得

3.5

欠阻尼二阶系统的动态性能指标

单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。

超