第三章 离散系统的时域分析

第三章离散系统的时域分析第1页，课件共65页，创作于2023年2月连续系统与离散系统的比较连续系统常系数线性微分方程卷积积分离散系统常系数线性差分方程卷积和第2页，课件共65页，创作于2023年2月LTI离散系统的响应单位序列和单位序列响应卷积和本章要点：第3页，课件共65页，创作于2023年2月差分与差分方程—前向差分、后向差分以及差分方程差分方程解—数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐次解和不同激励对应的特解零输入响应和零状态响应§3.1LTI离散系统的响应第4页，课件共65页，创作于2023年2月一、差分与差分方程1、前向差分与后向差分一阶后向差分一阶前向差分第5页，课件共65页，创作于2023年2月2、前向差分与后向差分的关系3、差分方程的一般形式将各阶差分写为y(k)及其各移位序列的线性组合：常系数差分方程，用来描述LTI离散系统；变系数差分方程第6页，课件共65页，创作于2023年2月1、用迭代法求差分方程的数值解

差分方程是具有递推关系的代数方程，当已知初始条件和激励时可以利用迭代法求得差分方程的数值解

当差分方程阶次较低时可以使用此法

二、差分方程的解例3.1－1若描述某离散系统的差分方程为已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2k(k),求y(k)第7页，课件共65页，创作于2023年2月解：将差分方程中除y(k)以外的各项都移到等号右端，得对k=2，将已知初始值y(0)=0,y(1)=2代入上式，得依次迭代可得特点：便于用计算机求解例3.1－1第8页，课件共65页，创作于2023年2月若单输入-单输出的LTI系统的激励为f(k),全响应为y(k)，则描述系统激励与响应之间关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程，一般可写为：

2、差分方程的经典解

第9页，课件共65页，创作于2023年2月解由齐次解和特解两部分组成：1）齐次解：齐次方程的解称为齐次解.它的n个根λi（i=1,2,…,n)称为差分方程的特征根令y(k)=C

k第10页，课件共65页，创作于2023年2月均为单实根时的齐次解：λ1为r重根，其余(n-r)为特征单根：有一对共轭复根λ1、2=a+jbYh(k)=ρk[Ccos(βk)+Dsin(βk)]（其中β=arctan(b/a)，ρ=(a2+b2)1/2第11页，课件共65页，创作于2023年2月几种典型激励函数相应的特解激励函数f(t)响应函数y(t)的特解第12页，课件共65页，创作于2023年2月选定特解后代入原差分方程，求出待定系数就得出方程的特解。3）全解

代入初始条件求出待定系数Ci，于是得到完全解的闭式见书P88第13页，课件共65页，创作于2023年2月解：方程的特征方程为例3.1-2,若描述某系统的差分方程为已知初始条件y(0)=0,y(1)=-1,激励f(k)=2k,k0。求方程的全解特征根为

1＝2＝－2，为二重根，齐次解为由题意，设特解为第14页，课件共65页，创作于2023年2月将yp(k)代入到原方程得全解为：将已知条件代入，得C1＝1,C2=1/4自由响应强迫响应第15页，课件共65页，创作于2023年2月1、解形式

零状态响应，仅由激励引起零输入响应，激励为零时的响应三、零状态响应和零输入响应第16页，课件共65页，创作于2023年2月当特征根均为单根时，有：czii由初始状态决定，czsi由激励决定，且ci=czii+czsi第17页，课件共65页，创作于2023年2月由于yzs(k)为零状态响应，k<0时激励还没有接入，所以有：yzs(-1)=yzs(-2)=…=yzs(-n)=0而，y(k)=yzi(k)+yzs(k)，故：yzi(-1)=y(-1)，yzi(-2)=y(-2)，…，yzi(-n)=y(-n)----系统的初始状态2、求初始值第18页，课件共65页，创作于2023年2月初始值：y(0),y(1)…y(n-1)可由差分方程推出例3.1-4若描述某离散系统的差分方程为已知f(k)=0,k<0,初始条件y(-1)=0,y(-2)=1/2,求零输入响应解：零输入响应满足初始状态：第19页，课件共65页，创作于2023年2月求初始值差分方程的特征方程为：齐次解为：第20页，课件共65页，创作于2023年2月将初始值代入得：第21页，课件共65页，创作于2023年2月作业P1103.6(2)(5)第22页，课件共65页，创作于2023年2月3.2单位序列和单位序列响应一、离散系统的零状态响应二、复习离散信号有关知识三、单位序列和单位阶跃序列四、单位序列响应和阶跃响应第23页，课件共65页，创作于2023年2月一、离散系统的零状态响应零状态响应：当系统的初始状态为零，仅由激励f(k)所产生的响应。用yzs(k)表示，满足如下方程：非齐次方程若特征根均为单根，则有Czsj为待定系数，yp(k)为特解。第24页，课件共65页，创作于2023年2月例3.1-5，若描述离散系统的差分方程为注意：零状态响应的初始状态yzs(-1),yzs(-2),…yzs(-n)为零，但其初始值yzs(0)，yzs(1)，yzs(2)，…,yzs(n-1)不一定为零。其中，f(k)=2k,k0,求该系统的零状态响应。解：零状态响应满足下一步？？第25页，课件共65页，创作于2023年2月令k=0,1，并将初始状态值代入，得由（1）式可求得解为：方程的特征根为

1＝-1,2＝-2,所以有：将初始值代入，可求得第26页，课件共65页，创作于2023年2月小结：一个初始状态不为零的离散系统，在外加激励的作用下，其完全响应为若特征根都为单根，则全响应为：齐次方程解的形式？第27页，课件共65页，创作于2023年2月二、基本离散信号定义：连续信号是连续时间变量t的函数，记为f(t)。离散信号是离散时间变量tk（k为任意整数）的函数，记为f(tk)。离散信号表示：（a）图形表示：（tk－t(k－1)）在图a中为变数；在图b，c中为常数第28页，课件共65页，创作于2023年2月（b）解析表示：第29页，课件共65页，创作于2023年2月三、单位序列和单位阶跃序列1.单位序列（单位脉冲序列或单位样值序列）：位移单位序列：第30页，课件共65页，创作于2023年2月加：(k)

+2(k)＝3(k)运算：乘：δ(k)⋅δ(k)=δ(k)延时：0取样性质：f(k)δ(k)=f(0)δ(k)第31页，课件共65页，创作于2023年2月第32页，课件共65页，创作于2023年2月2.单位阶跃序列：ε(k)(1)定义：(2)运算：第33页，课件共65页，创作于2023年2月3)δ(k)与ε(k)的关系：

δ(k)=▽ε(k)=ε(k)-ε(k-1)差分表示，对应的微分δ(t)=dε(t)/dt

ε(k)=对应的是连续系统的积分式中，令i=k-j,则当i=-时，j=;当i=k时，j=0,故第34页，课件共65页，创作于2023年2月四、单位序列响应和阶跃响应单位序列响应当LTI离散系统的激励为单位序列(k)时，系统的零状态响应为单位序列响应，用h(k)表示。和连续系统的h(t)相类似。求h(k)的方法：

解差分方程；z变换法（第六章）由于(k)仅在k=0时等于1，而在k>0时为零，因而在k>0时，系统的h(k)和系统的零输入响应的函数形式相同。因此，求h(k)的问题转化为求差分方程的齐次解的问题，而h(0)可按零状态的条件由差分方程确定。第35页，课件共65页，创作于2023年2月例题例3.2-1求下图所示离散系统的单位序列响应h(k)。见书p96第36页，课件共65页，创作于2023年2月（2）h(k)满足h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=δ(k)h(-1)=h(-2)=0(3)求初始值：用迭代法h(k)=h(k-1)+2h(k-2)+δ(k)h(0)=h(-1)+2h(-2)+1=1h(1)=h(0)+2h(-1)+0=1(4)k＞0时,h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=0h(k)=c1(-1)+c2(2)h(0)=c1+c2=1；h(1)=-c1+2c2=1得c1=1/3;c2=2/3所以（1）列写差分方程：y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)第37页，课件共65页，创作于2023年2月

阶跃响应：g(k)1).定义：g(k)=T[0,ε(k)]2).h(k)与g(k)的关系：第38页，课件共65页，创作于2023年2月经典法;由h(k)求出例：同例3.2-1①经典法：g(k)-g(k-1)-2g(k-2)=ε(k)g(-1)=g(-2)=0对k≥0,g(k)-g(k-1)-2g（k-2）=1齐次解：gn(k)=c1(-1)k+c2(2)k

特解：gp(k)=p0=-½

求g(k)的方法∴g(k)=c1(-1)k+c2(2)k-½k≥0见书P87，表3－2第39页，课件共65页，创作于2023年2月g(-1)=-c1+2c2-½=0g(-2)=c1+¼c2-½=0所以：c1=1/6;c2=4/3②利用h(k)求g(k):∴g(k)=[1/6

(-1)k+4/3(2)k-½]ε(k)第40页，课件共65页，创作于2023年2月第41页，课件共65页，创作于2023年2月3.3卷积和1.卷积和的定义:f(t)yzs(t)=h(t)*f(t)δ(t)h(t)

f(k)yzs(k)=h(k)*f(k)δ(k)h(k)第42页，课件共65页，创作于2023年2月f(k）的分解：k=-2,f(-2)*δ(k+2)k=-1,f(-1)*δ(k+1)k=0,f(0)*δ(k)k=1,f(1)*δ(k-1)k=i,f(i)*δ(k-i)

第43页，课件共65页，创作于2023年2月3.一般定义:

i:求和变量：-∞～+∞；k:参考量：-∞～+∞第44页，课件共65页，创作于2023年2月3.3卷积和1.序列的时域分解任意离散序列f(k)可表示为f(k)=…+f(-1)δ(k+1)+f(0)δ(k)+f(1)δ(k-1)+f(2)δ(k-2)+…+f(i)δ(k–i)+…第45页，课件共65页，创作于2023年2月2.任意序列作用下的零状态响应根据h(k)的定义：第46页，课件共65页，创作于2023年2月3.卷积和的定义已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和为f1(t)与f2(t)的卷积和，简称卷积；记为f(k)=f1(k)*f2(k)注意：求和是在虚设的变量i下进行的，i为求和变量，k为参变量。结果仍为k的函数。第47页，课件共65页，创作于2023年2月例题例1：f(k)=a

kε(k),h(k)=b

kε(k)，求yzs(k)。解：yzs(k)=f(k)*h(k)当i<0,ε(i)=0；当i>k时，ε(k-i)=0这种卷积和的计算方法称为：解析法。第48页，课件共65页，创作于2023年2月例2已知序列x(k)=(3)-k

(k)，y(k)=1,-∞＜k＜∞,试验证x(k)和y(k)的卷积和运算满足交换律，即证:先计算x(k)*y(k)，考虑到

(k)的特性，有第49页，课件共65页，创作于2023年2月再计算y(k)*x(k)，同样考虑到u(k)的特性，可得求解过程中对k没有限制，故上式可写为x(k)*y(k)=y(k)*x(k)=1.5-∞＜k＜∞可见，x(k)*y(k)运算满足交换律。所以第50页，课件共65页，创作于2023年2月例3：求ε(k)*ε(k)解：例4：求akε(k)*ε(k−4)解：第51页，课件共65页，创作于2023年2月考虑到

(i)的特性，可将上式表示为例设f1(k)=e-k

(k)，f2(k)=

(k),求f1(k)*f2(k)。解由卷积和定义式得第52页，课件共65页，创作于2023年2月显然，上式中k≥0，故应写为第53页，课件共65页，创作于2023年2月二、卷积的图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元：k换为i→得f1(i)，f2(i)（2）反转平移：由f2(i)反转→f2(–i),右移k→f2(k–i)（3）乘积：f1(i)f2(k–i)（4）求和：i从–∞到∞对乘积项求和。注意：k为参变量。下面举例说明。第54页，课件共65页，创作于2023年2月例1：f1(k)、f2(k)如图所示，已知f(k)=f1(k)*f2(k)，求f(2)=？（1）换元（2）f2(i)反转得f2(–i)（3）f2(–i)右移2得f2(2–i)（4）f1(i)乘f2(2–i)（5）求和，得f(2)=4.5第55页，课件共65页，创作于2023年2月解：画出f1(i),f2(i),f2(-i)第56页，课件共65页，创作于2023年2月??第57页，课件共65页，创作于2023年2月第58页，课件共65页，创作于2023年2月列表法求卷积和f(k)=f1(k)*f2(k)=f1(i)f2