七年级数学下册第9章多边形9.2多边形的内角和与外角和课件新版华东师大版

9.2多边形的内角和与外角和新课导入顶点边内角三角形的内角和等于180°.你能从图中想象出几个由一些线段围成的图形吗？新课探索图中是四边形，它是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD.DBAC图中是五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE.ABCDE一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，也即我们已经认识的多边形.注意这也是四边形，但不在现在的研究范围内.我们现在研究的多边形都是凸多边形.∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角.∠CBE和∠ABF都是与∠ABC

相邻的外角，两者互为对顶角.ABCDEFABCDE五边形有5个内角，有10个外角.ABCDEF六边形有6个内角，有12个外角.如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.正三角形正方形正五边形连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.ABCDEFABCDEABCD探索为了求得n边形的内角和，请根据图中所示，完成下表.多边形的边数34567…n分成的三角形个数12…多边形的内角和180°360°…540°34720°5900°n–2（n–2）·180°n

边形的内角和为（n–2）·180°.“归纳推理”是数学中的一种推理方式，体现了从特殊到一般的推理过程.在这里，我们通过对三边形、四边形、五边形等的探索，发现它们的内角和与边数之间存在某种逻辑关系，从而归纳出多边形的内角和公式.这种归纳推理的方式，我们今后还会经常用到.当然，“看”出来的数学结果未必一定正确，但它们还是给我们指引了研究的方向.因此，归纳推理和演绎推理相结合是必要的.读一读例1求八边形的内角和.解八边形的内角和为（n

–2）×180°=（8–2）×180°=1080°.例2已知一个多边形的内角和等于2160°，求这个多边形的边数.解设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n

–2）×180°=2160°.解得n=14.即这个多边形的边数为14.练习若正n

边形的一个内角是144°，那么n=

.10试一试你有其他方法证明多边形的内角和吗？P在n

边形内任取一点P，连结点P与多边形的每个顶点，可得n

个三角形.则n

变形的内角和等于n

个三角形的内角和减去圆角P.即180°n–360°=（n–2）·180°若是将点P

取在多边形的边上以及多边形的外面，你能证明吗？PPABC123D45678四边形的外角和∠1+∠2+∠3+∠4就是四边形的外角和.从图中可以知道：（∠1+∠5）+（∠2+∠6）+（∠3+∠7）+（∠4+∠8）=4×180°，所以∠1+∠2+∠3+∠4=4×180°–（∠5+∠6+∠7+∠8）.而∠5+∠6+∠7+∠8=360°.

因此∠1+∠2+∠3+∠4=360°.

探索根据n

边形的每一个内角与它的相邻的外角都互为补角，可以求得n

边形的外角和据此，请将数据填人表中.多边形的边数34567…n多边形的内角和与外角和的总和…多边形的内角和180°…多边形的外角和540°720°900°3×180°=540°4×180°=720°5×180°=900°6×180°=1080°7×180°=1260°n·180°360°（n–2）·180°360°360°360°360°360°360°任意多边形的外角和都为360°.例3一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是几边形？解设多边形的边数为n，根据题意，得

n

·72°=360°.解得n=5.因此，这个多边形是五边形.

例4

一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，这个多边形是几边形？解设多边形的边数为n，根据题意，得（n–2）·180°=5×360°.解得n=12.因此，这个多边形是十二边形.课堂小结n

边形的内角和为（n–2）·180°.任意多边形的外角和都为360°.一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，也即我们已经认识的多边形.随堂演练1.下列各个度数中，不可能是多边形的内角和的是（）A.600°B.720°C.900°D.1080°2.若多边形的边数由3增加到5，则其外角和的度数（）A.增加B.减少C.不变D.不能确定AC3.一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n–2）·180°，外角和等于360°，所以（n–2）·180°=3×360°.