第三章 复变函数的积分

第三章复变函数的积分第1页，课件共33页，创作于2023年2月第一节解析函数的概念一、积分的定义

有向曲线：设C为平面给定的一条光滑（或按段光滑）的曲线，如果选定C的两个可能方向的一个作为正方向（或正向），则我们就把C称为有向曲线．与曲线C反方向的曲线记为

定义3.1.1：

简单闭曲线正向：当曲线上的点P顺此方向前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方，这时曲线方向称为正方向．

C为区域D内起点为A终点为B的一条有向光滑的简单曲线．

分2023/9/92第2页，课件共33页，创作于2023年2月2023/9/93第3页，课件共33页，创作于2023年2月2023/9/94第4页，课件共33页，创作于2023年2月三、复积分的性质因为复积分的实部和虚部都是曲线积分，因此，曲线积分的一些基本性质对复积分也成立．（估计不等式）

2023/9/95第5页，课件共33页，创作于2023年2月例1证明：

2023/9/96第6页，课件共33页，创作于2023年2月二、积分存在条件及其计算方法定理1：2023/9/97第7页，课件共33页，创作于2023年2月法一计算这种计算复积分方法在已知曲线C方程的条件下适合2023/9/98第8页，课件共33页，创作于2023年2月例．解：注意：沿不同的路径积分的结果是相同的，即积分与路径无关，

2023/9/99第9页，课件共33页，创作于2023年2月解：由此题可以看出，尽管起点、终点都一样，但由于沿不同的曲线积分，所以积分值也是不同的．练习：2023/9/910第10页，课件共33页，创作于2023年2月解：综上所述：这个积分结果以后常用，它的特点是与积分路线圆周的中心和半径无关．

例5．2023/9/911第11页，课件共33页，创作于2023年2月例：推广：2023/9/912第12页，课件共33页，创作于2023年2月第二节柯西积分定理

2023/9/913第13页，课件共33页，创作于2023年2月一、柯西积分定理定理3.2.1：（柯西积分定理）

柯西积分定理表明，函数满足一定的条件，则积分与路径无关．

2023/9/914第14页，课件共33页，创作于2023年2月说明：2023/9/915第15页，课件共33页，创作于2023年2月推论3.2.2：证明：依柯西基本定理2023/9/916第16页，课件共33页，创作于2023年2月例：．解：2023/9/917第17页，课件共33页，创作于2023年2月例1：．2023/9/918第18页，课件共33页，创作于2023年2月二、复合闭路定理定理3.2.2：证明：一个解析函数沿闭曲线的积分，不会因闭曲线在区域内作连续的变形而改变它值这事实称闭路变形定理．

2023/9/919第19页，课件共33页，创作于2023年2月例2：2023/9/920第20页，课件共33页，创作于2023年2月三、原函数与不定积分推论3.2.2：1．积分上限函数

2023/9/921第21页，课件共33页，创作于2023年2月定理3.2.4：2023/9/922第22页，课件共33页，创作于2023年2月2．原函数的概念结论：2023/9/923第23页，课件共33页，创作于2023年2月定理3.2.5：证明：类似于微积分学中的基本定理和牛顿——莱布尼兹公式

有了定理3.2.5，复变函数的积分就可用跟实变量函数微积分学中类似的方法计算，分部积分法，换元积分法均可用在复变函数积分中．

2023/9/924第24页，课件共33页，创作于2023年2月例6．解：例4：例5：2023/9/925第25页，课件共33页，创作于2023年2月第三节柯西积分公式一、柯西积分公式2023/9/926第26页，课件共33页，创作于2023年2月2023/9/927第27页，课件共33页，创作于2023年2月定理3.3.1：(柯西积分公式）2023/9/928第28页，课件共33页，创作于2023年2月2023/9/929第29页，课件共33页，创作于2023年2月2023/9/930第30页，课件共33页，创作于2023年2月第四节解析函数的高阶导数一、解析函数高阶导数公式一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导数，它的值也可以用函数在边界上的值通过积分来表示．这一点跟实变函数完全不同，一个实变函数在某一区间上可导，它的导数在这个区间上是否连续也不一定，更不要说有高阶导数存在了．下面我们讨论解析函数的各阶导数的解析问题．再继续又可得：

这是求导与积分两种运算允许交换的条件下推出的，这样作是否可行呢？我们对此加以讨论．2023/9/931第31页，课件共33页，创作于2023年2月定理3