第三章向量空间

第三章向量空间第1页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间第一节向量空间第四节欧氏空间第二节向量的线性相关性第五节线性变换第三节向量空间的基及向量的坐标第2页，课件共116页，创作于2023年2月1．理解n维向量的概念。2．理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解有关的重要性质并会进行判别。3．理解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念，并会求向量组的最大无关组与向量组的秩。4．知道n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念，知道基变换和坐标变换。本章学习要求：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。第3页，课件共116页，创作于2023年2月

5．了解向量内积的概念，了解标准正交基的概念，会用线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法。

6．了解线性变换的概念，了解正交变换和正交矩阵的概念和性质。

7．理解线性变换的特征值与特征向量的概念并掌握其求法。

8．了解相似矩阵的概念及性质。了解矩阵对角化的充要条件。会求实对称矩阵的相似对角形矩阵。本章学习要求：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。第4页，课件共116页，创作于2023年2月§1.向量空间第三章向量空间我们知道三维向量的概念，知道三维向量与一个三元有序数组形成一一对应，实际生活中很多事物也可用多个数构成的有序数组来刻划.a1x1+a2x2+…+anxn=b就可用n+1个数构成的有序数组(a1,a2,…,an,b)来代表.如一个n元线性方程组一、n

维向量的定义及运算我们把三维向量的概念予以推广，讨论n维向量.由n

个数构成的有序数组(a1,a2,…,an)称为一个n

维向量,其中ai称为该向量的第i个分量(i=1,2,…,n).1.n维向量定义1第5页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间我们也可把n维向量的分量排成一列，如此时可称

为n维列向量；相应地称把分量排成一行的向量称为n维行向量，如

=(a1,a2,…,an).由上面可看出，n

维向量的概念与运算实际上与1

n(或n

1)矩阵一致.上一页第6页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间设A是一个m行n列的矩阵，则A

的每一行是一个n维行向量，A的每一列是一个m维列向量，分别称它们为A的行向量与列向量.并可以表示为上一页第7页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间一般用希腊字母

,

,

,…表示n

维向量.分量全是实数的向量称为实向量.以后我们所讨论的向量都是指实向量.注意：n>3时的向量没有直观的几何意义.规定:对于

=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn),

=

ai=bi,i=1,2,…,n.1)加减法设

=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn),定义

=(a1

b1,a2

b2,…,an

bn).2)数乘设

=(a1,a2,…,an),k为实数，定义数k与向量

的乘积为k=(ka1,ka2,…，kan).2.n维向量的运算第8页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间易验证，向量的运算满足如下八条基本规律：1)加法交换律

+

=

+

;2)加法结合律(

+

)+

=(

+

)+

;3)向量0=(0,0,…,0)称为零向量，它有性质4)(1)

=(

a1,a2,…,

an)称为

的负向量，记为

.显然有：

+(

)=0;

+0=

;5)1

=;6)数乘结合律k(l

)=(kl);7)第一分配律k(

+

)=k+k;8)第二分配律(k+l)

=k+l,(其中

,

,

为任意n维向量,k,l为实数).上一页第9页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间设V是一些n维向量的非空集合，如果V关于向量的加法与数乘封闭，即(1)

,

V,有

+

V.(2)

V,k

R,有k

V.则称V是一个向量空间.二、向量空间定义1§1.向量空间第10页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间例1全体n

维向量的集合{(x1,x2,…,xn)|xi

R,i=1,2,…,n}是一个向量空间，记为Rn.特别的n=1时全体实数R是一个向量空间;n=3时全体三维向量{(x1,x2,x3)|xi

R,i=1,2,3}是一个向量空间，记为R3.n=2时全体平面中的向量{(x1,x2)|xi

R,i=1,2}是一个向量空间，记为R2.

第11页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间例3例2而W={(a1,a2,…,an)|是一向量空间.不是一向量空间,因为它关于加法与数乘均不封闭.仅含一个n维零向量0=(0,0,…,0)的集合{0}构成一个向量空间，称为零空间.上一页第12页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间设V是一个向量空间，W

V,W.如果W关于向量的加法与数乘也封闭，则称W

是V

的子空间.定义3例4V本身和{0}都是V的子空间，称它们为V的平凡子空间.它们分别构成V的最大和最小的子空间.V的其他的子空间称为非平凡子空间.上一页二、子空间由定义可知，向量空间V的非空子集W是V的子空间当且仅当对任意的α，β∈W及数k,l∈R,都有

kα+lβ∈W.第13页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间例5n个分量都是Rn

的子空间.及例6设

V,则L(

)={k|k

R}为V

的子空间，称它为由

生成的子空间，

称为这子空间的生成元.是V

的由

1,

2,…,

s

生成的子空间.更一般地，设

1,

2,…,

s

V.上一页第14页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间例7设A为m行n列实矩阵，设A的列向量为

1,

2,…,

n,则L(

1,

2,…,

n)是Rm的子空间，称为A的列空间，记为N(A)，设

A的行向量为

1,

2,…,

n,则

L(

1,

2,…,

n)也是Rn的子空间，称为A

的行空间.上一页例8线性方程组Ax=0的解集合S

构成一个向量空间，其中A

为已知m

Xn

矩阵，x

为n

维未知列向量.第15页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间例9设W1，W2

是向量空间

V的两个子空间，则V的子集以及上一页都是V

的子空间.前者称为

W1

和

W2

的交，记为后者称为W1和W2

的和，记为第16页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间§2.向量的线性相关性一、向量组的线性相关与线性无关的概念对于n维向量组

1,

2,…,

s，如果存在不全为零的实数k1,k2,…,ks使得k1

1+k2

2+…+ks

s=0,否则，称

1,

2,…,

s线性无关.则称n维向量组

1,

2,…,

s线性相关，定义1三维空间中两向量“共线”，三个向量“共面”的概念加以推广.得到所谓

1,

2,…,

s线性无关，即如果k1

1+k2

2+…+ks

s=0,则必有k1=k2=…=ks=0.第17页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间例1设R³中的向量

1=(1,-1,1),

2=(2,0,2),

3=(2,-1,0),因为2

1+

2

2

3=0.练习向量组

1=(1,2,0,1),

2=(1,1,

1,3),

3=(1,3,1,

1)是否线性相关？2

1

2

3=0.则向量组

1，

2，

3

线性相关.第18页，课件共116页，创作于2023年2月例2第三章向量空间证明n维向量组e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,…,0),…,en=(0,0,…,1)线性无关.令k1e1+k2e2+…+knen=0,即(k1,k2,…,kn)=(0,0,…,0)，所以k1=k2=…=kn=0,即

e

1,e

2,…,e

n线性无关.证上一页第19页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间设k1,k2,…,ks

R,

1,

2,…,

s是n维向量，若

=k1

1+k2

2+

…+ks

s则称

为向量

1,

2,…,

s的一个线性组合，或称

可由向量组

1,

2,…,

s线性表出.定义2上一页例3设R³中的向量

1=(1,2,1),

2=(0,1,2),

3=(4,0,1),β=(14,3,3).因为2

1-

2+3

3=β.所以β

可以由

1，

2，

3线性表示.第20页，课件共116页，创作于2023年2月例4第三章向量空间设ε1=(1,0,0),ε2=(0,1,0),ε3=(0,0,1)，则对任意的α=(a1,a2,a3)∈R³,有

α=a1ε1+a2ε2+a3ε3.

所以R³中的任一向量都可以由ε

1,ε

2,ε3

线性表示.上一页定理1当s≥2时，向量组

1,

2,…,

s线性相关的充分必要条件是其中至少有一向量能由其余向量线性表出.第21页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间必要性k1

1+k2

2+

…+ks

s=0.于是即

s可由

1,

2,…,

s1

线性表出.设

1,

2,…,

s线性相关，则有不全为零的实数

k1,k2,…,ks，使若某个向量例如

1可被其余向量线性表出，即有

1=k2

2+k3

3+

…+ks

s,于是1

1+(

k2)

2+

…+(ks)

s=0,其系数

不全为零，故

1,

2,…,

s线性相关.充分性证不妨设ks0,上一页第22页，课件共116页，创作于2023年2月例5第三章向量空间含有零向量的n维向量组必定线性相关，因为若向量组

1,

2,…,

s中有一为零向量，不妨设

1=0，则0

2+0

3+…+0

s=0=α1,由定理1可知，该向量组线性相关.上一页第23页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间定理2如果向量组

1,

2,…,

s中有一部分向量线性相关，则这s个向量也线性相关；如果向量组

1,

2,…,

s线性无关，则其任何部分向量组也线性无关.不妨设前r(r<s)个向量

1,

2,…,

r线性相关，即存在不全为零的数k1,k2,…,kr使得k1

1+k2

2+

…+kr

r=0再取kr+1=kr+2=…=ks=0,则有k1

1+k2

2+

…+kr

r+kr+1

r+1+…+ks

s=0,而k1,k2,…,ks不全为零，所以

1,

2,…,

s线性相关.证上一页另一方面，若向量组

1,

2,…,

s线性无关，由于原命题与逆否命题等价，故其任何部分向量组必线性无关.部分相关则整体相关；整体无关则部分无关.第24页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间上一页定理3如果向量组

1,

2,…,

s线性无关，而向量组

1,

2,…,

s，β线性相关，那么β

一定可以由向量组

1,

2,…,

s线性表示，且表示法唯一.由于向量

1,

2,…,

s,β

线性相关，即存在不全为零的数k1,k2,…,ks,k

使得证如果k=0,那么上式变为而且k1,k2,…,ks不全为零，这与

1,

2,…,

s线性无关矛盾，故

k≠0.从而，第25页，课件共116页，创作于2023年2月则那么β

一定可以由向量组

1,

2,…,

s唯一地线性表示.第26页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间二、向量组的线性相关性与矩阵的秩§2.向量的线性相关性定理4设

1=(a11,a12,…,a1n),

2=(a21,a22,…,a2n),…,

m=(am1,am2,…,amn)所构成的矩阵为且A的秩为r，则A中存在

r个行向量（列向量）线性无关，且A的任一行（列）都可以由这r个行向量（列向量）线性表示.第27页，课件共116页，创作于2023年2月设

1,

2,…,

m为

m个n维向量，A是以它们为行向量构成的m

n矩阵，则

1,

2,…,

m线性相关的充要条件是r(A)<m.推论1由定理4知，向量组的秩等于它构成的矩阵的秩，故由定理4可得：第28页，课件共116页，创作于2023年2月证设

r(A)=r.由定理4，A有r个行向量线性无关.若

r=m,则A的m个行向量线性无关，即

1,

2,…,

m

线性无关；若

r<m,则A的其余的行向量可由这r个行向量线性表示，所以

1,

2,…,

m

线性相关；第29页，课件共116页，创作于2023年2月推论2n个的n维向量组线性相关的充要条件是其构成的方阵

A是降秩的，即|A|=0；n个的n维向量组线性无关的充要条件是其构成的方阵

A是满秩的，即|A|≠0；当m>n时，m个

n维向量一定线性相关.推论3第30页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间由定理4及其推论可知判断一个向量组的线性相关性的问题可转化为求矩阵的秩的问题.总结：（向量组线性相关性的矩阵判别法）若矩阵的秩等于向量的个数，则向量组线性无关；若矩阵的秩小于向量的个数，则向量组线性相关.一般分三种情况：1)向量的个数大于向量的维数，则必线性相关；2)向量的个数等于向量的维数，则可利用向量组构成的矩阵A的行列式：若|A|

0,则线性无关，若|A|=0,则线性相关；3)向量的个数小于向量的维数，则可利用向量组构成的矩阵A

的秩：若r(A)等于向量的个数,则线性无关，若

r(A)小于向量个数,则线性相关；第31页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间例6判断向量组

1=(1,-2,0,2),

2=(-2,4,6,-6),

3=(2,1,2,3),

4=(3,3,3,4)是否线性相关.解第32页，课件共116页，创作于2023年2月因为r(A)=3<4,从而该向量组线性相关.练习判断下列向量组的线性相关性.1)

1=(1,2,0),

2=(3,1,2),

3=(4,5,9),

4=(4,5,9)2)

1=(1,5,9),

2=(3,0,1),

3=(5,5,1)；3)

1=(1,2,1,0),

2=(1,1,1,1),

3=(3,4,3,2)第33页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间1)由于4>3,所以

1,

2,

3,

4线性相关；2)由于=1400,所以

1,

2,

3线性无关；解所以r(A)=2<3,从而可知

1,

2,

3线性相关.3)

第34页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间三、向量组的极大无关组与秩如果向量组

I（可以含有无穷多个向量）中的部分组显然，一个向量组线性无关当且仅当它的极大无关组就是它自身.满足条件:2)向量组I中任一向量都可以由

1,

2,…,

r线性表示，1)线性无关，

1,

2,…,

r是向量组I的一个极大无关组.则称定义3§2.向量的线性相关性第35页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间例7向量组

1=(1,0,0),

2=(1,1,0),

3=(2,1,0)中，显然

1,

2线性无关，且

3=

1+

2,即

3能由

1,

2线性表出，所以

1,

2就是向量组

1,

2,

3的一个极大无关组.同样可验证

1,

3及

2,

3均是向量组的极大无关组.第36页，课件共116页，创作于2023年2月定理5由有限个行向量组成的向量组的任一极大无关组所含向量的个数均相等，且等于该向量组所构成的矩阵的秩.由上例可看出一个向量组的极大无关组可能不止一个，但可以证明：定义4向量组的极大无关组中所含向量的个数称为向量组的秩.第37页，课件共116页，创作于2023年2月定理6矩阵A的秩就等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩.定理6说明，求向量组的秩等价于求矩阵的秩.例8求向量组的一个极大无关组，并求其秩.第38页，课件共116页，创作于2023年2月解则r(A)=r(B)=3.可以看出，矩阵B的左上角的三阶子式不为零，从而，第39页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间练习求向量组

1=(1,2,1,2,2),

2=(4,1,2,1,3),

3=(1,1,1,1,1/3),

4=(2,5,4,1,-1)的秩,并找出它的一个极大无关组.上一页定理7如果线性无关向量组可以由向量组线性表示，则第40页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间推论4设一向量组的秩为r，则向量组中任意r

个线性无关的向量可构成一极大无关组.由推论4易得推论5设向量组的秩为r，则该向量组中任意多于r个向量构成的部分组一定线性相关.上一页推论6向量组的任一线性无关部分组都可以扩充为向量组的一个最大无关组.第41页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间设V是一向量空间,

1,

2,…,

r

V且满足(1)

1,

2,…,

r线性无关;(2)

V,

可由

1,

2,…,

r线性表出.一、向量空间的基与维数则称向量组

1,

2,…,

r为向量空间V

的一组基底(基)，而r称为向量空间V

的维数，记为dimV=r.§3向量空间的基及向量的坐标定义1规定：零空间的维数为0,它没有基.由上定义可知，向量空间的基就是它的一个极大无关组.由于向量组的极大无关组是不唯一的，所以向量空间的基也是不唯一的.第42页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间例2例1设Rn为全体n维向量构成的向量空间,证明n维向量组e1=(1,0,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),…,en=(0,0,0,…,1)是Rn的基,且dimRn=n.由矩阵判别法知e1,e2,…,en

线性无关.设

=(x1,x2,…,xr

)为任一n维向量,显然有

=x1e1+x2e2+…+xnen.所以

可由e1,e2,…,en

线性表出,即

e1,e2,…,en

是Rn的基,从而dimRn=n.证设V为一向量空间，且dimV=r,而

1,

2,…,

r为V中r个线性无关的向量，证明

1,

2,…,

r必为向量空间V的一组基.证上一页第43页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间显然

1,

2,…,

r线性无关，任取

V,由于dimV=r,则

1,

2,…,

r,

线性相关，于是存在不全为零的实数k1,k2,…,kr,k,使k1

1+k2

2+…+kr

r+k

=0.若

k=0,则

k1,k2,…,kr不全为零，且k1

1+k2

2+…+kr

r=0.而

1,

2,…,

r线性无关，与题设矛盾.证故

k0.从而由k1

1+k2

2+…+kr

r+k

=0.得即

可由

1,

2,…,

r线性表示，由定义1知

1,

2,…,

r为V的一组基.若向量空间V为r维的，则V中任意r个线性无关的向量是

V的一组基.定理1第44页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间例3证明向量组

1=(1,2,1),

2=(3,0,1),

3=(2,3,5)为空间R3

的一组基.由于dimR3=3,故只要证明

1,

2,

3线性无关即可.

1,

2,

3线性无关，从而

1,

2,

3可构成空间R3的一组基.证上一页

注意：

任意n个线性无关的

n维向量都是Rn

的一组基.第45页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间二、向量在给定基下的坐标设

1,

2,…,

m

是向量空间V的一个基,

V,

可由

1,

2,…,

m

线性表出:

=x1

1+x2

2+…+xm

m,则组合系数(x1,x2,…,xm)称为向量

在基

1,

2,…,

m

下的坐标.(x1,x2,…,xm

R)(5.1)§3向量空间的基及向量的坐标定义2注：

在基

1,

2,…,

m下的坐标是唯一的.

=y1

1+y2

2+…+ym

m

,(5.2)由(5.1)式减去(5.2)式,得(x1y1)

1+(x2y2)

2+…+(xmym)

m=0,由于

1,

2,…,

m线性无关,故x1y1=x2y2=…=xmym=0,即xi=yi(i=1,2,…,m).事实上,若还有另一坐标(y1,y2,…,ym),即第46页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间例4已知e1=(1,0,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),…,en=(0,0,0,…,1)是Rn的基.而对Rn中任一向量

,有

=(x1,x2,…,xn)=x1e1+x2e2+…+xnen,所以

在基e1,e2,…,en下的坐标就是其自身.故

e1,e2,…,en称为空间Rn

的标准基.上一页第47页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间例5设

1=(1,1,1)T,

2=(1,1,-1)T,

3=(1,-1,-1)T,证明

1,

2,

3是R3

的一个基,并求

=(1,2,1)T

在这个基下的坐标.上一页解以

1,

2,

3为列向量构成矩阵A,因为所以

1,

2,

3线性无关,从而是R3的一个基.令

=x1

1+x2

2+x3

3,即

x1=1,x2=1/2,x3=1/2.所以

在基

1,

2,

3下的坐标为(1,1/2,1/2).第48页，课件共116页，创作于2023年2月练习设

1=(1,1,2),

2=(1,3,0),

3=(1,0,1),证明

1,

2,

3是R3

的一个基,并求

=(0,1,3)在这个基下的坐标.DimR3=3,而解所以

1,

2,

3线性无关,从而是R3的一个基.令

=x1

1+x2

2+x3

3,所以

在基

1,

2,

3下的坐标为(2,1,1).即(0,1,3)=x1(1,1,2)+x2(1,3,0)+x3(1,0,1),则x1+x2+x3=0,x1+3x2=1,3x1+2x2+x3=3,

x1=2,x2=1,x3=1.

第49页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间三、基变换与坐标变换公式设向量空间V的维数为n,则V中任意n个线性无关的向量都是V的基,对于不同的基,同一个向量的坐标一般是不同的.下面我们来看看同一个向量在两个不同基下的坐标之间有什么关系.§3向量空间的基及向量的坐标设

1,

2,…,

r及

1,

2,…,

r是向量空间V的两个基.那么由基的定义,向量

i(i=1,2,…,r)可由

1,

2,…,

r唯一线性表出.设

第50页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间矩阵A称为由基

1,

2,…,

r

到基

1,

2,…,

r的过渡矩阵,它是可逆的.(证明请自己完成)令即(1)第51页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间将(1)式简记为:(

1,

2,…,

n)=(

1,

2,…,

n

)A(2)新基旧基过渡矩阵公式(2)称为基变换公式.上一页注：第52页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间例6求R3中由标准基e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1),到基

1=(1,1,2),

2=(1,3,0),

3=(1,0,1)

的过渡矩阵.

所求过渡矩阵为解上一页第53页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间命题1关于过渡矩阵,下面两个结论是经常用到的:设由基

1,

2,…,

r

到基

1,

2,…,

r

的过渡矩阵为A,则由基

1,

2,…,

r

到基

1,

2,…,

r

的过渡矩阵为A1.基

1,

2,…,

r

A基

1,

2,…,

rA

1命题2设由基

1,

2,…,

r

到基

1,

2,…,

r

的过渡矩阵为C1,则由基

1,

2,…,

r

到基

1,

2,…,

r的过渡矩阵为C2,则由基

1,

2,…,

r

到

1,

2,…,

r的过渡矩阵为C1

C2.基

1,

2,…,

n

C1基

1,

2,…,

n基

1,

2,…,

nC2C1C2上一页第54页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间练习求R3中由基

1=(3,1,2),

2=(1,1,1)

,

3=(2,3,1)到基

1=(2,1,1),

2=(1,2,3)

,

3=(2,0,1)的过渡矩阵.由标准基e1,e2,e3

到基

1,

2,

3及基

1,

2,

3的过渡矩阵分别为和解即(

1,

2,

3)=(e1,e2,e3)C1,(

1,

2,

3)=(e1,e2,e3)C2故(e1,e2,e3)=(

1,

2,

3)C11从而=(

1,

2,

3)C11C2(

1,

2,

3)=(e1,e2,e3)C2上一页第55页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间故由知基

1,

2,

3到基

1,

2,

3的过渡矩阵C为上一页第56页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间将上式用矩阵表示为将基变换公式代入得设向量

在基

1,

2,…,

r与基

1,

2,…,

r

下的坐标分别为(x1,x2,…,xr)与(y1,y2,…,yr

)即(3)上一页第57页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间由向量坐标的唯一性,可得或(4)上式说明了

在两个不同基下的坐标之间的关系,称为坐标变换公式.新坐标旧坐标上一页第58页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间上面的讨论可总结为:设由向量空间V的基

1,

2,…,

r

到基

1,

2,…,

r

的过渡矩阵A,而向量

在基

1,

2,…,

r与基

1,

2,…,

r

下的坐标为(x1,x2,…,xr

)与(y1,y2,…,yr

),则(β1,β2,…,βr

)=(α1,α

2,…,α

r

)A,且上一页第59页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间例7设R3中两组基分别为

1=(1,2,1)T,

2=(2,3,3)T,

3=(3,7,1)T,β1

=(3,1,4)T,β2=(5,2,1)T,β3=(1,1,-6)T.求由基

1,

2,

3到基β1,β2,β3的过渡矩阵A，并求向量

=2β1–β2+β3

在基

1,

2,

3下的坐标.则

1=(1,2,1)T,

2=(2,3,3)T,

3=(3,7,1)T,β1=(3,1,4)T,β2=(5,2,1)T,β3=(1,1,-6)T.解上一页第60页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间上一页由坐标变换公式可得向量α=2β1-β2+β3

在基

α1，α2

,α

3

下的坐标为第61页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间练习设R3中一组基为

1=(3,1,2),

2=(1,1,1),

3=(2,3,1),求向量

=(1,0,0)在基

1,

2,

3下的坐标.设

=(1,0,0)

在基

1,

2,

3下的坐标为(y1,y2,y3),在基

e1,e2,e3下的坐标为(x1,x2,x3)=(1,0,0)

,则由于(

1,

2,

3)=(e1,e2,e3)由基e1,e2,e3(旧基)到基

1,

2,

3(新基)的过渡矩阵为解上一页第62页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间从而上一页第63页，课件共116页，创作于2023年2月1.空间向量及两向量的夹角(回顾)实际问题中,既有大小又有方向的物理量称为向量.第五章欧氏空间§4.欧氏空间向量

=(x,y,z)的长度

向量的方向角将空间两向量

,

的起点移至一点o,两有向线段的夹角

(0≤≤)，称为向量

与

的夹角,当时，称

与

垂直(正交)，记作

.当

=0或

时，称

与

平行(共线)，记作

//

.

记为(a,b)第64页，课件共116页，创作于2023年2月第五章欧氏空间例如,常力f

作用于物体,使之产生位移s,sf2.空间向量的数量积(内积).这个力所作的功为定义1设

,

R3,记

与

的夹角为,称数为向量

与

的数量积(内积

),即(1)上一页第65页，课件共116页，创作于2023年2月第五章欧氏空间在直角坐标系下,设空间向量

=(x1,y1,z1),

=(x2,y2,z2),由于

,

及

构成三角形的三条边,

则由余弦定理知:即所以(2)3.内积的坐标表示.上一页第66页，课件共116页，创作于2023年2月第五章欧氏空间

与

的夹角

的长度因为

=x12+y12+z12,(

,

0).,所以4.用内积表示向量的长度及向量的夹角上一页第67页，课件共116页，创作于2023年2月第三章向量空间设α

=(

x1,x2,…,xn

),

β=(y1,y2,…,yn)为两个

n维向量，实数称为向量α

与

的内积，记为(

,

),即一、向量的内积§4欧氏空间定义1（1）对称性:定义了内积的向量空间称为欧氏空间.内积性质：（2）双线性性:（3）非负性:第68页，课件共116页，创作于2023年2月定义2第五章欧氏空间二、向量的长度与向量间的夹角三维欧氏空间R3具有直观性,习惯上称之为几何空间.

R3中向量长度及两向量的夹角等概念通过内积可平行推广到Rn,使n

维欧氏空间具有可度量性.设

=(x1,x2,…,xn)为欧氏空间V中的向量,定义向量

的长度(4)特别地,零向量的长度为0；时,称

为单位向量.当故称为

的单位化向量.=1,§4.欧氏空间第69页，课件共116页，创作于2023年2月向量的长度的性质：（1）正齐次性:（2）三角不等式:定义设

,

Rn,

=(x1,x2,…,xn),

=(y1,y2,…,yn),称为空间两点(或两向量间)的距离，并称之为欧氏距离.第70页，课件共116页，创作于2023年2月第五章欧氏空间定理1向量内积满足(5)且等号成立当且仅当

与

线性相关.(5)式称为柯西施瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式.当

,

0,由柯西施瓦兹不等式可得：证上一页第71页，课件共116页，创作于2023年2月第五章欧氏空间1)当

=0(或

=0)时,(5)式成立.2)当

0,且

0时,对于任意实数t,有记从而有即证所以

与

线性相关综合(1),(2)定理证毕.

+t=0

(

+t,

+t)=0

=0第72页，课件共116页，创作于2023年2月定理定义3向量α，

之间的夹角定义为(6)称

与

正交，记

.称

与

共线，记

//

.由定义知：几何学中的三角不等式,余弦定理,勾股定理可推广至n维欧氏空间Rn.设a,b是欧氏空间Rn

中的两个向量，则(7)(8)(1)(2)(三角不等式)(余弦定理)证第五章欧氏空间上一页第73页，课件共116页，创作于2023年2月第五章欧氏空间证故(1)(2)故(8)式成立.第74页，课件共116页，创作于2023年2月定理第五章欧氏空间(勾股定理)设

1,

2,…,

k是n

维欧氏空间Rn中的向量,且i

j时,(

i,j)=0,则

证上一页第75页，课件共116页，创作于2023年2月定义第五章欧氏空间§4欧氏空间三、标准正交基1.正交向量组:如果欧氏空间中的不含零向量的向量组

1,

2,…,

m

中任意两个向量都是相互正交的,即

(

i,

j)=0,i

j,i,j=1,2,…,m,则称

1,

2,…,

m

为正交向量组(简称正交组.)定理正交向量组一定是线性无关的.第76页，课件共116页，创作于2023年2月第五章欧氏空间证设

1,

2,…,

m是一个正交的向量组,又设

k1

1+k2

2+…+km

m=0则由于故ki=0,故

1,

2,…,

m线性无关.上一页第77页，课件共116页，创作于2023年2月定义4第五章欧氏空间2.标准正交基设

1,

2,…,

n

Rn,如果则称

1,

2,…,

n是Rn的一组标准正交基.显然是Rn的标准正交基.在R3中,分别为三个坐标轴正向的单位矢量.上一页欧氏空间中的标准正交基不是唯一的.例如也是R3的标准正交基.第78页，课件共116页，创作于2023年2月第五章欧氏空间定理设

1,

2,…,

n是Rn的一组标准正交基,则Rn中向量

在

1,

2,…,

n下的坐标向量的第j个分量为则设证上一页第79页，课件共116页，创作于2023年2月与Rn

的标准正交基密切相关的概念是正交矩阵:定义5设A

是n阶实矩阵，如果ATA=E，则称A为一个正交矩阵.定理2A是正交矩阵当且仅当A

的行向量（列向量）是

Rn的一组标准正交基.证设按分块矩阵的乘法有第80页，课件共116页，创作于2023年2月因此，ATA=E

当且仅当即A

的列向量是R

n

的一个标准正交基.类似可证明A

是正交矩阵当且仅当A

的行向量是Rn

的一组标准正交基.注意：由ATA=E

可知AT=A

-1,因此也有AAT=E.第81页，课件共116页，创作于2023年2月第五章欧氏空间3.施密特(Schmidt)正交化方法求标准正交基下面讨论由Rn的一组基构造Rn的标准正交基的方法,为直观起见,先从R3开始讨论.

o

,

R3

在

上的投影为：

在

上的投影向量为：为了便于讨论,首先介绍一个向量在另一向量上的投影及投影向量.第82页，课件共116页，创作于2023年2月第五章欧氏空间设

1,

2,

3是R3

的一组基,令

1=

1,将

2在

1

上的投影向量记为

2,则

2=k12

1,

其中

2

2

o再取则

2

1.

1=1

2

2o将

在

1,

2上的投影向量分别记为

3在

1,

2所在平面上的投影向量为

3.则其中

3取则上一页第83页，课件共116页，创作于2023年2月第五章欧氏空间因此是两两正交的非零向量组.再将单位化,即取则就是R3

的一组标准正交基.

3上一页第84页，课件共116页，创作于2023年2月第五章欧氏空间一般地,设是Rn中的一个线性无关组,取容易验证两两正交,上述由得到的过程称之为向量组的正交化上一页第85页，课件共116页，创作于2023年2月第五章欧氏空间将这个正交化的向量组再单位化,即取就得到正交的单位向量组称之为标准正交组.上述从线性无关组求得标准正交组的方法称为施密特(Schmit)正交化方法.上一页从以上正交化方法知，定理3设是欧氏空间V

的一组基，则存在

V

的一组标准正交基，且可由线性表示.第86页，课件共116页，创作于2023年2月第五章欧氏空间例1解设V=L(α1,α2,α3)，其中

1=(1,1,0,0),

2=(1,0,1,0),

3=(1,0,0,1).试用施密特正交化方法求V

的一组标准正交基.令则所求的一组标准正交基为：上一页第87页，课件共116页，创作于2023年2月第88页，课件共116页，创作于2023年2月第五章欧氏空间练习解设R3的一组基为

1=(1,2,1),

2=(1,3,1),

3=(4,1,0),试用施密特正交化方法构造R3

的一组标准正交基.取

1=

1,取便为所求的一组标准正交基.上一页第89页，课件共116页，创作于2023年2月定义1一、线性变换的定义设

是向量空间V到向量空间

W

的一个映射，如果

满足:1)

(

+

)=

(

)+

(

),2)

(k)=k(

).其中

,

为V中任意向量，k为任意实数有上面的性质也说成

保持向量的线性运算.简言之，线性映射就是保持线性关系的映射.则称

是V到W的一个线性映射.

(

)称为

在

下的象，也可记为

.§5线性变换第三章向量空间向量空间V

到其自身的线性映射称为V

中的线性变换.第90页，课件共116页，创作于2023年2月(1)向量空间中变换的写法

:(x,y)(x+y,x

y),(x,y)R2

(x,y)=(x+y,x

y),(x,y)R2注：(2)可简写成

(

+

)=

(

)+

(

),

(k)=k(

).第三章向量空间(3)通常用花体字母T,S

,…来表示V中的线性变换.向量

α在线性变换

T

下的像，记为T(α)或T

α.第91页，课件共116页，创作于2023年2月例1设A为n阶实矩阵，对任意的n维行向量α，令T(α)=αA,α∈V.

事实上,设

,

∈

V，因为T

(

+

)=(

+

)A=A+

A=T(

)+T

(

).故T

是

Rn

中线性变换.第六章线性变换上一页T

(k)=(k

)A=k(αA)=kT

(α)

第92页，课件共116页，创作于2023年2月例2

设

V是一向量空间，λ∈R.对任意的α∈V，令T(α)=λα，则

T是V中的一个线性变换.所以T

是V

中的线性变换.称这种变换为数乘变换.

E(

)=

,O(

)=0.第六章线性变换上一页事实上,设

,

∈

V，k∈R，因为T

(

+

)=λ(

+

)=λ

+λ

=T(

)+T

(

).T

(k)=λ(k

)=k(λα)=kT

(α)

特别地，当λ=1时，T(α)=α，T称为恒等变换，记为E；当λ=0

时，T

(α)=0，T

称为零变换，记为O，即第93页，课件共116页，创作于2023年2月例3R3中

(x,y,z)=(x,y,0)是线性变换.事实上,设

=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2)

(

+

)=

(x1+x2,y1+y2,z1+z2)=(x1+x2,y1+y2,0

)=(x1,y1,0)+(x2,y2,0)=(

)+

(

).证

(k)=

(k

x1,k

y1,kz1)=(k

x1,k

y1,0

)=k(x1,y1,0

)=k(

).故

(x,y,z)=(x,y,0)是

R3中线性变换，称之为R3中向

xOy

面的投影变换.xyz(x,y,z)(x,y,0)0第六章线性变换上一页第94页，课件共116页，创作于2023年2月例4在R2中，设0≤

<2

,令

：(x,y)(xcos

ysin

,xsin

+ycos

)则

是R2

的一个线性变换.称线性变换

是绕原点按逆时针方向旋转

角的旋转变换.xy(x,y)0

事实上，由

((x,y)+(x1,y1))=

(x+x1,y+y1)证故

是线性变换.第六章线性变换上一页第95页，课件共116页，创作于2023年2月二、线性变换的性质和运算§5线性变换第六章线性变换定理1设T是V

中的线性变换，则（1）T把零向量变到零向量，把α的负向量变到α的像的负向量，即

T

(0)=0,T(

)=T(

).（2）T

保持向量的线性组合关系不变，即T=k1T(α1)+k2T(α2)+…+ksT(αs)（3）T

把线性相关的向量组变为线性相关的向量组，即

若

1,

2,…,

s线性相关，则T

(

1),T

(

2),…,T(

s)也线性相关.第96页，课件共116页，创作于2023年2月第六章线性变换易验证，T+S

，TS以及kT都是V中的线性变换.定义2设

L(V)是向量空间V中的全体线性变换的集合，定义

L(V)

中的加法、数乘与乘法如下：（1）加法：(T+S)α=T(

)+S(

)；（2）数乘：(kT

)α=k

T(

)；（3）乘法：(T

S)α=T(S(

)),其中，α∈V，k∈R,

T,S∈L(V).第97页，课件共116页，创作于2023年2月§5线性变换三、线性变换的矩阵设V是一个m维向量空间,

1,

2,…,

m

是V

的一组基.T是V

的一个线性变换.(1)

T(

1)=a11

1+a21

2+…am1

m,

T(

2)=a12

1+a22

2+…am2

m,……………

T(

m)=a1m

1+a2m

2+…amm

m,可用矩阵形式表示为：设第六章线性变换T(k1α1+

k2α2+…+kmαm)=k1T(α1)+k2T(α2)+…+kmT(αm)因此，若已知基向量α1,α2

,…,αm

在线性变换T下的像，就可知道V中任意向量在线性变换T下的像了.第98页，课件共116页，创作于2023年2月=(

1,

2,…,

m)

(T(

1),T(

2),…,T(

m))A(T

(

1),T

(

2),…,T(

m))=(

1,

2,…,

m)A.称矩阵

A

为线性变换T

在基

1,

2,…,

n下的矩阵.记T

(

1,

2,…,

m