正切函数的图象与性质讲义高一上学期数学苏教版

编号：048课题:§.3正切函数的图象与性质教学课时安排1、上课时间：_________________．2、课时安排：_________________．3、上课班级___________________．学科目标要求1.理解并掌握正切函数的图象与性质；2.会求正切函数的定义域、周期性、奇偶性；3.掌握正切函数的单调性及应用；4.理解并掌握正切函数图象、性质的综合应用．本节重点难点重点：正切函数的单调性及应用；难点：正切函数图象、性质的综合应用．学科素养目标三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．教学过程赏析基础知识积累正切函数的图象与性质(1)图象与性质解析式y=tanx图象定义域值域R周期π奇偶性__________函数对称中心_____________,k∈Z单调性在每一个区间___________________________上都单调递增(2)本质:根据正切函数的解析式、图象,总结正切函数的性质.(3)应用:画正切函数的图象,解决关于正切函数的定义域、值域、单调性等问题.【思考】正切函数在整个定义域上都是增函数吗?【课前基础演练】题1．函数f(x)＝lg的定义域为()A．B．C．D．题2．当x∈时，函数y＝tan|x|的图象()A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于x轴对称D．无法确定题3．已知函数f(x)＝tanωx在上单调递减，则ω的取值范围是()A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0C．－2≤ω<0 D．0<ω≤题4．函数f(x)＝tan的最小正周期、对称中心分别是()A．B．C．D．题5．已知θ是三角形的一个内角，且tanθ≥－1，则θ的取值范围是()A．B．C．D．以上都不对题6．下列关于函数y＝tan的说法正确的是()A．在区间上单调递增B．最小正周期是πC．图象关于点对称D．图象关于直线x＝对称题7(多选题)．下列各式中正确的是()A．tan735°＜tan800°B．tan1＞tan2C．tan＜tanD．tan＜tan题8(多选题)．下列函数中是偶函数，且最小正周期为π的函数为()A．y＝sin|x| B．y＝C．y＝ D．y＝题9．函数y＝的定义域是________．题10．函数y＝2tanωx(常数ω>0)在开区间上是严格增函数，则实数ω的取值范围是________．题11．求函数y＝tan的定义域、周期及单调区间．【课堂检测达标】题12.函数的定义域为()A．B．C．D．题13．函数y＝tanx＋sinx＋在区间内的图象是()题14.函数()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数题15(多选题)．函数f(x)＝tan与函数g(x)＝sin(－2x)的最小正周期相同，则可能值为()A．－1B．1C．－2D．2题16(多选题)．以下函数中是奇函数的是()A．y＝sinx＋tanxB．y＝xtanx－1C．D．题17．若tanx＞tan且x是第三象限角，则x的取值范围是______________．题18．已知函数f(x)＝2tana＝________，f(x)的对称中心为__________．题19．已知函数f(x)＝3tan.(1)求f(x)的定义域、值域．(2)讨论f(x)的周期性，奇偶性和单调性．题20．是否存在整数a，使得函数y＝tan(－ax)在x∈上是单调递增的？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【综合突破拔高】题21．函数y＝tan的最小正周期是()A．4B．4πC．2πD．2题22．若函数y＝3tan的最小正周期是，则ω＝()A．2B．－2C．D．±2题23．函数f(x)＝tan＋tan是()A．奇函数B．偶函数 C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数题24．函数y＝2tan图象的一个对称中心是()A．B．C．D．题25．函数f(x)＝x·tanx(－1≤x≤1)的图象可能是()题26．a＝tan，b＝sin，c＝tan，实数a，b，c的大小关系为()A．b<a<cB．a<b<c C．c<b<aD．c<a<b题27(多选题)．下列各式不成立的是()A．tan＞tanB．tan＜tanC．tan＜tanD．tan＞tan题28(多选题)．关于函数f(x)＝|tanx|的性质，下列叙述正确的是()A．f(x)的最小正周期为B．f(x)是偶函数C．f(x)的图象关于直线对称D．f(x)在每一个区间内单调递增题29．①函数y＝tanx在它的定义域内是增函数；②若α，β是第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ；③函数y＝Asin(ωx＋φ)一定是奇函数；④函数的最小正周期为.上列四个命题中，正确的命题是________．题30．函数y＝tan，x∈的值域是__________．题31．求函数y＝tan的定义域、周期及单调区间．题32．(1)求函数y＝tan的单调区间；(2)比较tan与tan的大小．编号：048课题:§.3正切函数的图象与性质教学课时安排1、上课时间：_________________．2、课时安排：_________________．3、上课班级___________________．学科目标要求1.理解并掌握正切函数的图象与性质；2.会求正切函数的定义域、周期性、奇偶性；3.掌握正切函数的单调性及应用；4.理解并掌握正切函数图象、性质的综合应用．本节重点难点重点：正切函数的单调性及应用；难点：正切函数图象、性质的综合应用．学科素养目标三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．教学过程赏析基础知识积累正切函数的图象与性质(1)图象与性质解析式y=tanx图象定义域值域R周期π奇偶性_奇__函数对称中心________,k∈Z单调性在每一个区间_____________上都单调递增(2)本质:根据正切函数的解析式、图象,总结正切函数的性质.(3)应用:画正切函数的图象,解决关于正切函数的定义域、值域、单调性等问题.【思考】正切函数在整个定义域上都是增函数吗?提示:不是.正切函数在每一个区间上是单调递增的.但在整个定义域上不是增函数.【课前基础演练】题1．函数f(x)＝lg的定义域为()A．B．C．D．【解析】选D.若函数有意义，则tanx－1>0，所以tanx>1，所以kπ＋<x<kπ＋，k∈Z，所以函数的定义域为.题2．当x∈时，函数y＝tan|x|的图象()A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于x轴对称D．无法确定【解析】选B.函数y＝tan|x|，x∈是偶函数，其图象关于y轴对称．题3．已知函数f(x)＝tanωx在上单调递减，则ω的取值范围是()A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0C．－2≤ω<0 D．0<ω≤【解析】选B.由f(x)在上单调递减知：ω<0，且⊆，因此－，解得－1≤ω<0.题4．函数f(x)＝tan的最小正周期、对称中心分别是()A．B．C．D．【解析】选D.因为ω＝，所以最小正周期T＝.令，得，所以f(x)的对称中心是.题5．已知θ是三角形的一个内角，且tanθ≥－1，则θ的取值范围是()A．B．C．D．以上都不对【解析】选C.作出正切函数y＝tanx(x∈(0，π))的图象，由图象可得tanθ≥－1的解集为题6．下列关于函数y＝tan的说法正确的是()A．在区间上单调递增B．最小正周期是πC．图象关于点对称D．图象关于直线x＝对称【解析】选B.令kπ－<x＋<kπ＋，k∈Z，解得kπ－<x<kπ＋，k∈Z，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋＝，k∈Z，解得x＝，k∈Z，任取k值不能得到x＝，故C错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数的图象也没有对称轴，故D错误．题7(多选题)．下列各式中正确的是()A．tan735°＜tan800°B．tan1＞tan2C．tan＜tanD．tan＜tan【解析】选ABD.因为tan735°＝tan(735°－720°)＝tan15°，tan800°＝tan(800°－720°)＝tan80°且0°＜15°＜80°＜90°，正切函数在上单调递增，所以tan735°＜tan800°；tan1＞tan0＝0，tan2＜0，所以tan1＞tan2；因为，且正切函数在上是单调递增的，所以tan＞tan，因为tan＝tan，且，正切函数在上单调递增，所以tan＜tan，即tan<tan，故A，B，D正确．题8(多选题)．下列函数中是偶函数，且最小正周期为π的函数为()A．y＝sin|x| B．y＝C．y＝ D．y＝【解析】选BC.A的图象如下，根据图象可知，图象关于y轴对称，y＝sin|x|是偶函数，但不是周期函数，所以排除A；B的图象如下，根据图象可知，图象关于y轴对称，y＝是偶函数，最小正周期是π，所以B正确．C的图象如下，根据图象可知，图象关于y轴对称，y＝是偶函数，最小正周期为π，所以C正确；D的图象如下，根据图象可知，图象关于y轴对称，y＝是偶函数，最小正周期为2π，所以排除D.题9．函数y＝的定义域是________．【解析】由题意得1－tanx≥0即tanx≤1结合图象可解得kπ－<x≤＋kπ，k∈Z.答案：(k∈Z)题10．函数y＝2tanωx(常数ω>0)在开区间上是严格增函数，则实数ω的取值范围是________．【解析】由题意可知，函数y＝2tanωx的单调递增区间为，因函数y＝2tanωx(常数ω>0)在开区间上是严格增函数，所以，解得ω∈.答案：题11．求函数y＝tan的定义域、周期及单调区间．【解析】由，得，所以函数y＝tan的定义域为.T＝＝2π，所以函数y＝tan的周期为2π.由，得.所以函数y＝tan的单调递增区间为.【课堂检测达标】题12.函数的定义域为()A．B．C．D．【解析】选B.由题可得tanx＋1≥0，即tanx≥－1，解得.题13．函数y＝tanx＋sinx＋在区间内的图象是()【解析】选A.函数y＝tanx＋sinx＋当x＝时，sinx＝，tanx＝－，所以tanx<sinx，所以f(x)＝2sinx＝>0，故排除C，D选项，当x＝时，sinx＝－，tanx＝，所以tanx>sinx，所以f(x)＝2tanx＝2>2，故排除B选项．题14.函数()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数【解析】选A.因为1＋cosx≠0，即cosx≠－1，得x≠2kπ＋π，k∈Z.又tanx中x≠kπ＋，k∈Z，所以函数的定义域关于(0，0)对称．令f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．题15(多选题)．函数f(x)＝tan与函数g(x)＝sin(－2x)的最小正周期相同，则可能值为()A．－1B．1C．－2D．2【解析】选AB.g(x)的最小正周期为π，则＝π，得ω＝±1.题16(多选题)．以下函数中是奇函数的是()A．y＝sinx＋tanxB．y＝xtanx－1C．D．【解析】选ACD.A中，f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－(sinx＋tanx)＝－f(x)，故函数y＝sinx＋tanx是奇函数；B中，f(－x)＝－xtan(－x)－1＝xtanx－1＝f(x)，故f(x)为偶函数；C中，，故f(x)为奇函数；D中，，f(x)也为奇函数．题17．若tanx＞tan且x是第三象限角，则x的取值范围是______________．【解析】因为tanx＞tan＝tan，又x为第三象限角，所以2kπ＋＜x＜2kπ＋().答案：题18．已知函数f(x)＝2tana＝________，f(x)的对称中心为__________．【解析】函数f(x)＝2tan的最小正周期是3，则3＝，得a＝，所以函数f(x)＝2tan，由，得，故对称中心为.答案：题19．已知函数f(x)＝3tan.(1)求f(x)的定义域、值域．(2)讨论f(x)的周期性，奇偶性和单调性．【解析】(1)由，解得.所以定义域为，值域为R.(2)f(x)为周期函数，周期T＝＝2π.f(x)为非奇非偶函数．由，解得.所以函数的单调递增区间为.题20．是否存在整数a，使得函数y＝tan(－ax)在x∈上是单调递增的？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【解析】存在．因为y＝tanθ在区间(kπ－，kπ＋)()上是单调递增的，所以ax∈，所以－ax∈，所以，所以解得－－≤a≤6－8k(k∈Z).令k＝0，得－≤a≤6不符合题意，令k＝－1，得≤a≤14不符合题意，令k＝1，此时－2≤a≤－2，所以a＝－2＜0，所以存在整数a＝－2，满足题意．【综合突破拔高】题21．函数y＝tan的最小正周期是()A．4B．4πC．2πD．2【解析】选D.T＝.题22．若函数y＝3tan的最小正周期是，则ω＝()A．2B．－2C．D．±2【解析】选D.依题意有T＝＝，所以|ω|＝2，所以ω＝±2.题23．函数f(x)＝tan＋tan是()A．奇函数B．偶函数 C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数【解析】选A.函数定义域为{x|x≠kπ－且x≠kπ＋，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝tan＋tan＝－tan(x＋)－tan＝－f(x)，所以函数是奇函数．题24．函数y＝2tan图象的一个对称中心是()A．B．C．D．【解析】选A.，则，验证四个选项，可知选项A正确．题25．函数f(x)＝x·tanx(－1≤x≤1)的图象可能是()【解析】选B.由f(x)＝xtanx(－1≤x≤1)，则f(－x)＝(-x)tan(-x)＝xtanx，所以f(x)＝f(-x)，即函数f(x)是偶函数，故排除A，C，当0<x<1时f(x)>0，排除D.题26．a＝tan，b＝sin，c＝tan，实数a，b，c的大小关系为()A．b<a<cB．a<b<c C．c<b<aD．c<a<b【解析】选A.a＝tan，b＝sin＝sin＝sin，c＝tan＝tan＝tan，因为y＝tanx在上单调递增，所以tan>tan即c>a，因为0<cos<1，所以a＝tan＝>sin＝b，综上，c>a>b即b<a<c.题27(多选题)．下列各式不成立的是()A．tan＞tanB．tan＜tanC．tan＜tanD．tan＞tan【解析】选ABC.tan＝tan＜tan；tan＝tan＜tan；tan＝tan，tan＝tan，因为tan＞tan，所以tan＞tan；tan＝tan＝tan＝－tan，tan＝tan＝tan＝－tan，又tan＞tan，所以tan＜tan.题28(多选题)．关于函数f(x)＝|tanx|的性质，下列叙述正确的是()A．f(x)的最小正周期为B．f(x)是偶函数C．f(x)的图象关于直线对称D．f(x)在每一个区间内单调递增【解析】选BCD.对于函数f(x)＝|tanx|的性质，根据该函数的图象知，其最小正周期为π，A错误；又f(－x)＝|tan(－x)|＝|tanx|＝f(x)，所以f(x)是