2013年高中数学教学论文一类递推数列问题的解决与延伸

本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考一类递推数列问题的解决与延伸已知数列｛an｝,ai=a,an+i=pan+q（p工1,q工0是常数）,求数列｛an｝的通项公式an,是高中常见的递推数列问题•这类数列通常可转化为an.—-p（an•，）,或消去常数转化为二阶递推式an2.-an1=q（ani.-an），或归纳猜想证明•例1.已知数列｛a」中，a^1,an2an■1（n_1）,求｛an｝的通项公式.解析：解法一.（待定系数法）转化为ann…=p（an亠；.）型递推数列.•••an1=2anT（n_1）,/.a.1T=2（a.T）（n_1）,又a’T=2,故数列｛an-1｝是首项为2,公比为2的等比数列.•••an・1=2n，即an=2n-1.解法二.（差分法形成差数列）转化为 an2—an彳=p（an..—an）型递推数列.an1=2an+1（n》1） ① •-an2=2an+1+1 ②②一①，得an2-an1=2（an1-an）（n>1），故｛an1-an｝是首项为a2-a1=2,公比为2的等比数列， 即an1-an=2_2心=2n，再用累加法得a^2^1.解法三.用迭代法.2 n1 n2 n3 nan=2an丄•1=2（2an三T）•1=2an』•2•1二…2"a, 2一2一2^=2-1.解法四•归纳猜想证明法.a1=1,a.1=2an•1（n一1）,a2=3,a3=7比=15…猜想：an=2n_1.用数学归纳法证明（证明略）•这类递推数列解决后，其他类型的递推可以转化并解决 •类型一：an+1=qan+dn（p,d为非零常数，q=1,d=1）这类数列可变换成■a^=9_豊•1，令bn二*，则转化为bnd-pbn-q'型•d d d d d例2.设数列｛an｝满足：at =1, a. 1=3an•2“（n•N*）.求数列｛a^｝的通项公式.n n:：1 玄门-^1 3a门1 玄门解析：Tan1=3an2,两边同除以2 ,得匚7 "；.令bn n，则有222223 1 3 3 7bn1 'bn .于是，得bn1'1 （bn'1）,•数列｛bn'1｝是以首项为1，公2 2 2 4 4

比为3的等比数列，故bn7=7r3)n±，即bn=7(3)n--1，从而an=73心_丄2“"2 4 2 4 2 3can类型二：an1二一(c,d为非零常数)；an+d一 一1 d1 1 1若取倒数，得 ，令bn ，从而转化为bn.=Pbn-q'型•an1 can c ana例3.已知数列］an，中满足可=1，anj= n—，求数列的通项an.3an+1解：；数列：an沖,a1二1，an13an1解：；数列：an沖,a1二1，an13an11 11 13，即 3an+ an an*an「1 "口1 4、二数列彳—'疋以一=1,公差为3的等差数列®：a11 11-(n_1) 3,即 3n_2an an.an 1(nN)3n_2类型三：an+1=ca：(an-0,c.0,p.0,p=1)这类数列可取对数得lgan.1二Plganlgc，从而转化为bn pbn■q'数列.例4.已知数列:an?中满足a’=1,an1=10an5,求数列Can?的通项an5解：'a1=1,an1=10an1lga.1=5lga.•1..lgan. 54.lgan1是以为1首项,5为公比的等比数列I4J 41lgan--4an15n丄丄=104类型四：an2二pan1-qan可转化为a'n1二p'a'n•q'5 5 2例$.设数列｛an｝满足：a1=1,a2 ,an.2 an1an(n・N*).求数列｛an｝的通3 3 3项公式.分析：设法把an4分'an,给an2.转化为a'np'a'n■q'5 2解：由an2 an1an(n:二N*),可得3 32an平—an丰=—a2(an1—an)(n：二2(an1—an)(n：二N*).3设S=an.1-an,{bn}5是公比为一的等比数列，且d=a?_印32一1=3N*).即an—an丄=(-)n-1(n之2)•用累加法得3an-a1 =(anan-a1 =(an_an1) '(an_an2) ' '(a2 -a1)=(_)_•(_)_■3 3an—(an_anJ) '(an丄-an_2 '(a2-a1)'a12=(—)3ann1一（一）3ann1一（一）3_21-3解决这类问题，还可使用下面的定理定理:在数列（an［中，an2=pan1qann•N=pt■q的两根为二:，L；，则（1）当」一--I-'1时，an1=An•B列*.（证明略）=3[1-(2)n)].3,a1,a2为初始值.它的特征方程；(2)当:-■-时解法2：递推关系对应的特征方程为：3，2_5，•2f22anI3anI3丿2丿ai5=1,aai5=1,a2得:3a1=AB1二AB5 2AB丨 31A二3B=-2=3—3例6:在数列例6:在数列｛a.｝中，已知印=a?=1,an.2二an an(nN*,求数列{a.}的通项公式.为公比的等比数列待定）•解：令bn=an1 -：：an,使数列｛bn为公比的等比数列待定）•an2•-二an1=7(an1•